Начинающие будут благодарны тому, кто распишет на полстраницы, почему геометрический объект (тензор) с верхними и нижними индексами при переходе от одной системы координат к другой изменяется совокупностью как прямых, так и обратных преобразований. И на абзац, чем отличаются ковариантные индексы от контрвариантных, кроме формального определения. Существует
Так или иначе, это просто определения. Но и определения можно сделать менее формальными если поразмышлять, откуда они могут вылезти...
Поглядим на компоненты контра- и ко- векторов как на обобщения дифференциала

и градиента

соответственно. Мы можем вычислить как они преобразуются при замене координат

:

и

. Вторая формула следует из первой и из инвариантности формы первого дифференциала:

. Если замена координат обратима, то вторую формулу можно перевернуть:

. Теперь рассмотрим произвольные наборы чисел, не являющиеся ни дифференциалами ни компонентами градиента, но зато преобразующиеся при заменах точно по таким же законам:

и

. Инвариантность формы первого дифференциала намекает нам, что свёртка

будет инвариантом. Проверяем и убеждаемся в этом.
Рассмотрим двухиндексный набор чисел

. Все числа этого набора могут быть получены по одному правилу:

. Замечаем, что "по построению" правило одно и то же в любых координатах. Следовательно, в "каком-то смысле" наш объект должен быть инвариантен. Исследуем смысл этого "какого-то смысла":

. Обращает на себя внимание тот факт, что

преобразуется в точности как произведение

. Кроме того, всегда можно написать

и посмотреть на это выражение в штрихованных координатах. Поскольку наше выражение инвариант, двухиндексной величине просто не остаётся выбора как преобразовываться. Убеждаемся в этом прямым вычислением и, вдохновясь намёками, рассматриваем наконец произвольноиндексные наборы чисел, преобразующиеся точно так же, как произведения одноиндексных. Осталось обозвать их всех каким-то словом... ну, например,
тензоры.
ПримечаниеЯ умышленно не объяснил принятую нотацию. Любопытно было бы узнать, что в ней (с точки знения новичка) требует объяснения?