великая теорема Ферма и ее доказательство

[aleks-30-03]

Доказательство теоремы Ферма для n=3.
Уравнение
$X^3 +Y^3=Z^3$
не имеет натуральных корней.
Доказательство.
Пусть корнями уравнения $X^3 + Y^3 = Z^3$ являются числа a, b, c, причём
0<b<c<a, предположим, что b и а натуральные. Осталось выяснить будет ли c натуральным.
Тогда
$b^3+c^3=a^3$
или
$c^3=a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
Пусть
$a-b=d$, где d>1 и $d$ целое
тогда, чтобы существовал
$\sqrt[3]{(a-b)(a^2+ab+b^2)}$
необходимо, чтобы
$a^2+ab+b^2=d^{3k+2}$, где k целое неотрицательное число
$c^3=dd^{3k+2}$, где

$c=\sqrt[3]{dd^{3k+2}}=d^k\sqrt[3]{dd^2}$
$a=b+d$
$a^2+ab+b^2=(b+d)^2+(b+d)b+b^2=d^2$,
или
$b^2+2bd+d^2+bd+b^2+b^2=d^2$
или
$3bd+3b^2=0$
Пришли к противоречию, так как сумма произведений натуральных чисел не может быть
равна 0.
Значит
$\sqrt[3]{dd^2}$
не будет натуральным, а соответственно и $c$ не будет натуральным.

Пусть
$a-b=1$
тогда $b$ и $a$ два последовательных числа, а $c$ находится между ними, значит оно не натуральное.

Пусть
$b=c$,
тогда
$a=b\sqrt[3]{2}$,
то есть $a$ не будет натуральным.

Пусть
$a=b$,
тогда
$c=0$,
А 0 не натуральное число.

Пусть
$c=a$,
тогда
$b=0$,
а 0 не натуральное число.

Рассмотрены все случаи, значит уравнение
$x^3+y^3 =z^3$
не имеет натуральных корней.




Разложение на множители.

Все мы хорошо помним, что «Разность кубов разлагается на разность оснований и неполный квадрат суммы этих оснований»
Чем отличается неполный квадрат (куб..) суммы от квадрата (куба...) суммы? Тем, что у неполного квадрата (куба...) суммы все коэффициенты при переменных равны единице.
$(a^3-b^3)=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
Разложим разность четвёртых степеней:

$$(a^4-b^4)=(a^2-b^2)(a^2+b^2)=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)=(a-b)(a^3+ a^2b+ab^2+b^3)$$

.
$a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)$
«Разность четвёртых степеней разлагается на разность оснований и неполный куб суммы этих оснований».
По аналогии «Разность пятых степеней разлагается на разность оснований и неполную четвёртую степень суммы этих оснований».
$ a^5-b^5=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)$
Докажем это:

$$(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)=a^5+a^4b+a^3b^2+ a^2b^3+ab^4-a^4b-a^3b^2-a^2b^3-ab^4-b^5=a^5-b^5$$

равенство выполняется.

Лемма: «Разность n-х степеней разлагается на разность оснований и неполную (n-1)-ю степень суммы этих оснований».

$$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2} b+a^{n-3} b^2+...+a^2 b^{n-3}+ a b^{n-2}+b^{n-1})$$

Докажем это.

$$$(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+...+a^{2} b^{n-3}+ a b^{n-2}+b^{n-1})=a^{n}+a^{n-1} b+a^{n-2}b^{2}+... +a^{3} b^{n-3}+a^{2} b^{n-2}+a b^{n-1}-a^{n-1}b- a^{n-2}b^{2}-...-a^{3}b^{n-3}-a^{2} b^{n-2}-ab^{n-1}-b^{n}= a^{n}-b^{n}$$

.
Лемма доказана.

Великая теорема Ферма

Используя лемму «Разность n-х степеней разлагается на разность оснований и неполную
$(n-1)$-ю степень суммы этих оснований» докажем теорему Ферма.
« Уравнение $X^n+Y^n=Z^n$ при $ n>2$ не имеет корней в натуральных числах».

Доказательство:

Пусть это уравнение имеет корни $a,b,c$, причём $0<b<c<a$
и предположим, что $a$ и $b$ натуральные числа, тогда

$$c^{n}=a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2} b+a^{n-3}b^{2}+...+ a^2 b^{n-3}+a b^{n-2}+b^{n-1})$$

Пусть
$a-b=d$, где $d>1$
тогда, чтобы существовал

$$\sqrt[n]{(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+a^2b^{n-3}+ ab^{n-2}+b^{n-1})}$$

необходимо,чтобы

$$a^{n-1}+a{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}= d^{kn+(n-1)}$$

, где k целое неотрицательное число

$c^n=dd^{kn+(n-1)}$
$c=\sqrt[n]{dd^{kn+(n-1)}}=d^k\sqrt[n]{dd^{n-1}}$

Чтобы $c$ было натуральным, достаточно чтобы
$\sqrt[n]{dd^{n-1}}$
был натуральным.
Тогда
$a=d+b$,
или

$$$a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+...+a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}= [(d+b)^{n-1}]+[(d+b)^{n-2} b+(d+b)^{n-3} b^{2}+...+ (d+b)^{2} b^{n-3}+(d+b) b^{n-2}+b^{n-1}]=[d^{n-1}+(n-1)d^{n-2}b+...+(n-1)db^{n-2}+b^{n-1}]+[(d+b)^{n-2}b+(d+b)^{n-3}b^{2}+...+(d+b)^{2}b^{n-3}+(d+b)d^{n-2}+b^{n-1}]=d^{n-1}$$

.
или

$$[d^{n-1}+(n-1)d^{n-2}b+...+(n-1)db^{n-2}+b^{n-1}]+[(d+b)^{n-2}b+...+ (d+b)b^{n-2}+b^{n-1}]=d^{n-1}$$

или

$$(n-1)d^{n-2}b+...+(n-1)db^{n-2}+b^{n-1}+(d+b)^{n-2}b+...+ (d+b)b^{n-2}+b^{n-1}=0$$

Пришли к противоречию,так как в левой части равенства сумма произведений натуральных чисел, а в правой части равенства 0.
Тогда
$\sqrt[n]{dd^{n-1}}$
не будет натуральным, а соответственно и c не будет натуральным.

Пусть
$a-b=1$,
тогда $b$ и $a$ два последовательных натуральных числа. а $c$ находится между ними, значит оно не натуральное.

Пусть
$b=c$,
тогда
$b^n+b^n=a^n$
$a^n=2b^n$
$a=b\sqrt[n]{2}$,
то есть $a$ не натуральное.

Пусть
$a=b$,
тогда
$c=0$,
а 0 не натуральное число

Пусть
$c=a$,
тогда
$b=0$,
а 0 не натуральное число.

Рассмотрены все случаи. значит уравнение
$X^n+Y^n =Z^n$
не имеет корней в натуральных числах.

Теорема Ферма доказана.

Учитель математики ЩЕГЛОВ АЛЕКСЕЙ МИХАЙЛОВИЧ,
Учитель математики и информатики КОРОЛЕВА АНАСТАСИЯ АНДРЕЕВНА
[e-mail]

[warlock66613]

aleks-30-03 в сообщении #758429 писал(а):

t=p^{3s+2}
или после вынесения из под кубического корня получим
t=p^2

Вот тут ошибка. Или $t=p^{3s+2}$, или $t=p^2$, но не то и другое вместе - это противоречивые утверждения (кроме случев $s=0$, или $p=0$, или $p=1$, но это все неинтересные варианты).

[lasta]

aleks-30-03 в сообщении #758429 писал(а):

Предположим, что (a - b) = p , где p натуральное число.
Тогда
$a =p+b$
$t=(p+b)^2 +(p+b)b+b^2 =p^2+2pb+b^2+pb+b^2+b^2=p^2+3pb+3b^2$
$c^3=pt$.
Чтобы существовал натуральный кубический корень достаточно, чтобы
t=p^{3s+2}
или после вынесения из под кубического корня получим
$t=p^2$

$a-b$ является кубом, если $c$ не кратно трем, а так как $t,p$ числа взаимно простые
то
$t=v^3$ со всеми последствиями...

[Алексей К.]

aleks-30-03 в сообщении #758429 писал(а):

$a^n-b^n =( a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+…+a^2b^{n-3}+
+ab^{n-2}+b^{n-1})$.

Между долларами не должно быть переноса строки.

$a^n-b^n =( a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\ldots+a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})$

$a^n-b^n =( a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\ldots+a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})$

Либо используйте двойные доллары $$ b^2+\ldots+a^2 $$.

[Deggial]

aleks-30-03, предупреждение за дублирование сообщений из Карантина, за неправильное оформление формул.

Тема перемещена из форума «Великая теорема Ферма» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы криво оформлены $\TeX$ом

aleks-30-03, наберите все формулы $\TeX$ом, так, чтобы они отображались нормально. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
Попытку доказательства для $n=3$ напишите в начале поста, поскольку по правилам раздела "Великая теорема Ферма" приведена сначала должна быть именно она.

После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.