великая теорема Ферма и ее доказательство

[aleks-30-03]

Доказательство теоремы Ферма для n=3.
Пусть корнями уравнения $X^3 + Y^3 = z^3$ являются числа a, b, c, причём
0<b<c<a, причём b и а натуральные. Осталось выяснить будет ли c натуральным.
Тогда
$c^3=a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
Пусть если
$a-b=d$,
тогда, чтобы извлекался кубический корень
$a^2+ab+b^2=d^2$,
тогда
$c^3=dd^2e^3$,
где $e$ натуральное число, тогда
$c=e \sqrt[3]{dd^2}$
Чтобы c было натуральным достаточно, чтобы $\sqrt[3]{dd^2}$ был натуральным.
Тогда
$a=b+d$
$(b+d)^2+(b+d)b+b^2=d^2$
или
$d^2+2bd+b^2+bd+b^2+b^2=d^2$,
или
$3bd+3b^2=0$.
А сумма произведений натуральных чисел не может быть равно 0.
Пришли к противоречию, значит
$\sqrt[3]{dd^2}$
не будет натуральным, а значит и c не будет натуральным.

Предположим, что
$a - b = 1$,
Тогда b и a последовательные натуральные числа, а
c между ними, значит оно не натуральное.

Предположим, что
$b=c$
тогда
$a^3=b^3+b^3=2b^3$
$a=b\sqrt[3]{2}$
то есть $a$ не натуральное число.

Пусть
$a=b$
Тогда
$c^3=a^3-a^3=0$,
а 0 не натуральное число.

Пусть
$c=a$
тогда
$b=0$
а 0 не натуральное число.

Рассмотрены все случаи, значит уравнение
$X^3 + Y^3 = Z^3$
не имеет корней в натуральных числах.


Разложение на множители.

Все мы хорошо помним, что «Разность кубов разлагается на разность оснований и неполный квадрат суммы этих оснований»
Чем отличается неполрый квадрат (куб..) суммы от квадрата (куба...) суммы? Тем, что у неполного квадрата (куба...) суммы все коэффициенты при переменных равны единице.
$(a^3-b^3)=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
Разложим разность четвёртых степеней:

$$(a^4-b^4)=(a^2-b^2)(a^2+b^2)=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)=(a-b)(a^3+ a^2b+ab^2+b^3)$$

.
$a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)$
«Разность четвёртых степеней разлагается на разность оснований и неполный куб суммы этих оснований».
По аналогии «Разность пятых степеней разлагается на разность оснований и неполную четвёртую степень суммы этих оснований».
$ a^5-b^5=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)$
Проверим это:

$$(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)=a^5+a^4b+a^3b^2+ a^2b^3+ab^4-a^4b-a^3b^2-a^2b^3-ab^4-b^5=a^5-b^5$$

Равенство выполняется.

Лемма: «Разность n-х степеней разлагается на разность оснований и неполную (n-1)-ю степень суммы этих оснований».

$$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2} b+a^{n-3} b^2+...+a^2 b^{n-3}+ a b^{n-2}+b^{n-1})$$

Докажем это.
Выражение

$$a^{n-1}+a^{n-2} b+a^{n-3} b^2+...+a^2 b^{n-3}+ a b^{n-2}+b^{n-1}$$

есть сумма членов геометрической прогрессии с первым членом $a^{n-1}$,
знаменателем равным $b/a$ и числом членов $n$, тогда

$$$(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2} b+a^{n-3} b^2+...+a^2 b^{n-3}+ a b^{n-2}+b^{n-1})=(a-b)[a^{n-1}(1-(b/a)^n)]:(1-b/a)=(a-b)a^{n-1}[(a^n-b^n)/a^n]:(a-b)/a=a^n-b^n.$$

лемма доказана.

Великая теорема Ферма


« Уравнение $X^n+Y^n=Z^n$ при n>2 не имеет корней в натуральных числах».

Используя лемму «Разность n-х степеней разлагается на разность оснований и неполную (n-1)-ю степень суммы этих оснований» докажем теорему Ферма.

Доказательство:

Пусть это уравнение имеет корни $a,b,c$, причём
$0<b<c<a$
и где $a$ и $b$ натуральные числа, тогда

$$c^n=a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2} b+a^{n-3}b^2+...+ a^2 b^{n-3}+a b^{n-2}+b^{n-1})$$

Пусть
$a-b=d$
тогда, чтобы существовал

$$\sqrt[n]{(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+a^2b^{n-3}+ +ab^{n-2}+b^{n-1})}$$

необходимо,чтобы

$$a^{n-1}+a^{n-2} b+a^{n-3} b^2+...+a^2b^{n-3}+ a b^{n-2}+b^{n-1}=d^{n-1}$$

$c^n=dd^{n-1} e^n $
$c=e\sqrt[n]{dd^{n-1}}$.
Чтобы c было натуральным, достаточно чтобы
$\sqrt[n]{dd^{n-1}}$
был натуральным.
Тогда
$a=d+b$,
или

$$$a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}= [(d+b)^{n-1}]+[(d+b)^{n-2} b+(d+b)^{n-3} b^2+...+ (d+b)^2 b^{n-3}+(d+b) b^{n-2}+b^{n-1}]=d^{n-1}$$

.
или

$$[d^{n-1}+(n-1)d^{n-2}b+...+(n-1)db^{n-2}+b^{n-1}]+[(d+b)^{n-2}b+...+ (d+b)b^{n-2}+b^{n-1}]=d^{n-1}$$

или

$$(n-1)d^{n-2}b+...+(n-1)db^{n-2}+b^{n-1}+(d+b)^{n-2}b+...+ (d+b)b^{n-2}+b^{n-1}=0$$

Пришли к противоречию,так как в левой части равенства сумма произведений натуральных чисел, а в правой части равенства 0.
Тогда
$\sqrt[n]{dd^{n-1}}$
не будет натуральным, а соответственно и c не будет натуральным.

Пусть
$a-b=1$,
тогда $b$ и $a$ два последовательных натуральных числа. а $c$ находится между ними, значит оно не натуральное.

Пусть
$b=c$,
тогда
$b^n+b^n=a^n$
$a^n=2b^n$
$a=b\sqrt[n]{2}$,
тое сть $a$ не натуральное.

Пусть
$a=b$,
тогда
$c=0$,
а 0 не натуральное число

Пусть
$c=a$,
тогда
$b=0$,
а 0 не натуральное число.

Рассмотрены все случаи. значит уравнение
$X^n+Y^n =Z^n$
не имеет корней в натуральных числах.

Теорема Ферма доказана.


Учитель математики ЩЕГЛОВ АЛЕКСЕЙ МИХАЙЛОВИЧ.
Учитель математики и информатики КОРОЛЕВА АНАСТАСИЯ АНДРЕЕВНА

[e-mail]

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Великая теорема Ферма» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы криво оформлены, не приведено доказательство для $n=3$

aleks-30-03, наберите формулы читабельно, проверьте текст сообщения после отправки. Вот, например, вообще неоформленные формулы:

aleks-30-03 в сообщении #755483 писал(а):

P=7^{8}13^{2}5^{43}
достаточно, чтобы t=7^{10-8}13^{10-2}5^{10-3}

По правилам раздела "Великая теорема Ферма" Вы должны явно выписать доказательство для случая $n=3$.

Оформите все формулы $\TeX$ом либо в этой теме, либо в предыдущей. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).

После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена. Сообщить - это значит написать текст типа "Сообщение исправлено + ссылка на тему topic75202.html". Писать в тему свои выкладки вот таким вот образом не нужно

замечание за дублирование тем.