Научите понимать косинус

[bigarcus]

Я написал же что понимаю как задают его длину - указанием координат концов.
А как задают направление?

-- Пн июл 22, 2013 22:31:43 --

Вот отрезок понятно как задается.
А что к нему добавить чтобы в вектор превратить? На рисунке то понятно, а формально, в записи.

[Xaositect]

По поводу векторов и направлений.
Если Вы читаете в учебнике начального уровня или в учебнике для физиков, что вектор задается величиной и направлением или что-то подобное, то это утверждение имеет не вполне формальный характер и служит как мотивация для введения понятия вектора, поскольку всем нам в обычной жизни известны такого рода величины --- разные скорости, силы и т.п. То есть мы неформально говорим, что векторы - это штуки, которые мы будем использовать для моделирования таких величин. Дальше мы можем ввести координатное представление векторов и тогда у нас вектор будет формально определен как кортеж координат, или бескоординатное. В любом случае мы считаем, что длина и направление --- это некоторые характеристики вектора и если вектор однозначно задан своими координатами, то его длина и направление тоже заданы.
Длину мы потом можем формализовать как метрику на векторном пространстве, а понятию направления можно придать формальный математический смысл (сонаправленные векторы - это векторы, получающиеся друг из друга умножением на положительный коэффициент, направление вектора можно определить либо как класс эквивалентности сонаправленных ему векторов, либо как единичный вектор, ему сонаправленный).

[Otta]

bigarcus в сообщении #748454 писал(а):

Я написал же что понимаю как задают его длину - указанием координат концов.
А как задают направление?

Указанием, где начало, где конец.
Формально, в записи, для Ваших нужд $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BA}$ - это два вектора, соотв. отрезку $AB$, с противоположным направлением. Первый - с началом в точке $A$ и концом в точке $B$, второй - наоборот.

[mihailm]

bigarcus в сообщении #748454 писал(а):

Я написал же что понимаю как задают его длину - указанием координат концов.
А как задают направление?...

(Оффтоп)

Все равно угадаю)

Направляющими косинусами?
Хотя нет, нельзя, вы же что такое косинус не понимаете, а направляющие косинусы это почти в два раза сложнее просто косинусов.

[bigarcus]

arseniiv в сообщении #748435 писал(а):

Да, теорему Пифагора можно доказать без разрезания кучей способов. Например, рассмотрим квадрат $AA'A''A'''$ со стороной $a + b$. Поставим точечки $B, B', B'', B'''$ на сторонах $AA', A'A'', A''A''', A'''A$ так чтобы $AB = A'B' = A''B'' = A'''B''' = a$. Посмотрим на фигуры $\triangle B'''AB, \triangle BA'B', \triangle B'A''B'', \triangle B''A'''B''', BB'B''B'''$. Первые четыре — это прямоугольные треугольники с катетами длин $a$ и $b$ и гипотенузами равной длины — пусть это будет $c$. Пятая фигура — это не только ромб, но и квадрат (рассмотрите углы). Руководствуясь свойствами площади и доказав, что ничего кроме объявленных фигур в квадрате не содержится и они не пересекаются, получаем $(a + b)^2 = 4\cdot\frac12\cdot ab + c^2$, ничего разрезать не пришлось. Нет, теорема ещё не доказана: надо доказать, что для каждого прямоугольного треугольника со сторонами $a, b, c$ есть нужный квадрат. Ну, ему придётся быть, конечно.

А как доказать существование квадрата?

[arseniiv]

bigarcus в сообщении #748438 писал(а):

Я думал наоборот, есть система координат, на ней вводятся вектора и пр.

Если у вас есть геометрические аксиомы, например, Гильберта, в которых векторы не упоминаются, то векторы (фиксированные) можно определить через упорядоченные пары точек $\overrightarrow{AB} := (A, B)$. Свободные будут фактор-множеством по отношению эквивалентности $\overrightarrow{AB} \sim \overrightarrow{CD} :\Leftrightarrow |AB| = |CD| \mathbin\& |AC| = |BD|$ (вроде так). Базисы и системы координат вводятся потом.

Если начинать с аксиом линейного пространства, векторы уже есть, но базисы и системы координат всё равно вводятся после.

bigarcus в сообщении #748444 писал(а):

Задание координат концов это неупорядоченная двойка вроде, в отличие от порядка задания координат.

Нет, упорядоченная. Неупорядоченная у фиксированных ээ… отрезков. Хотя, нефиксированные отрезки пока мне не встречались.

Раз упорядоченная, получается $\overrightarrow{AB} \equiv (A, B) \ne (B, A) \equiv \overrightarrow{BA}$, если точки разные. (На свободные это переносится тоже.) Потом можно показать, что $\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}$ — это трактуется как то, что у них противоположные направления.

Беда в классической (или как она зовётся?) геометрии в том, что одно и то же может называть разные вещи: отрезок — это только концы или множество точек прямой через них, находящихся между? угол — это лучи или ещё и какая-то из двух частей плоскости? треугольник — это вершины, вершины с рёбрами или ещё и внутренность? Обычно из контекста ясно, что имеется в виду, но…

bigarcus в сообщении #748459 писал(а):

А как доказать существование квадрата?

Существованием четырёх различных точек, существованием четырёх отрезков между ними, равенством их длин, прямостью соответствующих углов. Думаю, это очень нудно и много расписывать. Такое доказательство для квадрата с любой положительной стороной должно быть, да и для вырожденного квадрата $AAAA$ тоже — там только доказать существование одной точки $A$.

[bigarcus]

(Оффтоп)

arseniiv и Гельфанд хорошие люди.
Хоть что-то понятно.

[arseniiv]

Вы только не думайте, что то доказательство теоремы Пифагора — хорошее. Наверно, есть и проще, просто не помню или не знаю.

[bigarcus]

ррочитал,что все док-ва теоремы Пифагора с обращением к площадям плохие
т.к. понятие площади трудноточноопределямое
в это верится
такие дела

[Joker_vD]

bigarcus в сообщении #748468 писал(а):

т.к. понятие площади трудноточноопределямое

Да ладно. Да ладно? Положительность, аддитивность, инвариантность, нормировка — и все, эти свойства однозначно задают площадь. Хм, или все-таки нужна сигма-аддитивность?

[bigarcus]

Не знаю.
Попробуйте дать строгое определение площади. Вроде там в теорию меру понесёт

-- Пн июл 22, 2013 23:45:24 --

А вот док-во Тао
http://terrytao.wordpress.com/2007/09/14/pythagoras-theorem/
может кто пояснить, то которое с определителем?

[nikvic]

Вот ещё вариантик - как бы задача.
Часовая стрелка на башенных часах имеет длину 2 метра. Насколько выше её конец центра циферблата через 1234 минуты? А 1234 минуты до этого полудня?

[arseniiv]

Joker_vD в сообщении #748469 писал(а):

Хм, или все-таки нужна сигма-аддитивность?

Для теоремы Пифагора она точно нужна? Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, её не нужно, а дальше тоже только конечные семейства множеств. В общем случае сигма-аддитивность нужна, вроде бы.

bigarcus в сообщении #748470 писал(а):

Попробуйте дать строгое определение площади. Вроде там в теорию меру понесёт

Не обязательно знать, что площадь — мера. Можно и свой маленький велосипед построить.

[bigarcus]

любопытное механическое "док-во" теоремы Пифагора:
http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/MechanicalProofs.shtml
куда лучше чем с переливанием воды!

в конце ссылка на механическое "док-во" формулы Герона, со ссылкой на этот форум, кстати

-- Пн июл 22, 2013 23:57:14 --

про ваши сигмы ничего не понял первый раз слышу

[arseniiv]

bigarcus в сообщении #748470 писал(а):

А вот док-во Тао
http://terrytao.wordpress.com/2007/09/1 ... s-theorem/

может кто пояснить, то которое с определителем?

То, которое с определителем, использует матрицы линейных операторов. Матрица $\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$ в прямоугольных координатах определяет оператор такого поворота и растяжения, что точка $(1, 0)$ перейдёт в $(a, b)$. Матрица $\begin{bmatrix} c & 0 \\ 0 & c \end{bmatrix}$ определяет растяжение в $c$ раз. Во сколько будет растяжение, покажет корень из определителя матрицы (должен бы. Сегодня обоснования не будет). Определитель матрицы поворота, следовательно, единичный. Так же из этого последует, что определитель произведения — произведение определителей. Если сделать треугольник с вершинами $(0, 0), (a, 0), (a, b)$, …что-то будет. Пойду-ка спать.

А вот первое доказательство замечательное. Присмотритесь к нему, если доказательство теоремы Пифагора вам нужно.