равномерность

[vicvolf]

Руст в сообщении #628727 писал(а):

Потому что суммирование по х проходит по полному периоду. При вычислении суммы мы пользуемся только определением $g$ функции $g(x)=\{x\}-\frac{1}{2}, x\not \in Z, g(n)=0,n\in Z$. Встречаются все дробьные доли по одному разу. С каждым $\frac{k}{Q}, 0<k<Q$ встречается так же $\frac{Q-k}{Q}$, соответственно сумма двух таких значений $g$ функции дает $(\frac{k}{Q}-\frac 12)+(\frac{Q-k}{Q}-\frac 12)=0.$

Так почему в этом случае q-суммы для прямой не равны 0? Зачем к q-суммам добавляется Qb, ведь эта площадь не входит в погрешность R?

Руст в сообщении #623427 писал(а):

Таким образом

$$N=\frac{1}{h_2}\sum_n f(nh_1) -R, R=\sum_n g(\frac{f(nh_1)}{h_2}.$$

Здесь первая часть аппроксимация площади интеграла методом трапеции (ошибка обычно порядка $O(1)$) в единицах $h_1h_2$, а $g$ сумма с точностью до знака совпадает с погрешностью.

[Руст]

vicvolf в сообщении #628745 писал(а):

Так почему в этом случае q-суммы для прямой не равны 0? Зачем к q-суммам добавляется Qb, ведь эта площадь не входит в погрешность R?

Допустим, вы поняли равенство суммы нулю в случае $b=0$. Тогда в случае $b=\frac{C+\delta}{Q},0<\delta<1$. каждому значению $g(ax+b)=g(\frac{Px+C}{Q}+\frac{\delta}{Q}=\{frac{Px+C}{Q}\}-\frac{1}{2}+\frac{\delta}{Q}$. Просуммировав по периоду получаем $S=\delta -\frac 12=g(Qb)$.

[vicvolf]

Руст в сообщении #628839 писал(а):

Просуммировав по периоду получаем $S=\delta -\frac 12=g(Qb)$.

Поясните, пожалуйста, $S=\delta -\frac 12=g(Qb)$, так как $\delta = Qb-c$ и при взятии $q(Qb-c-1/2)=q(Qb)$ целое с отбрасывется, а 1/2?

[Руст]

vicvolf в сообщении #629482 писал(а):

Руст в сообщении #628839 писал(а):

Просуммировав по периоду получаем $S=\delta -\frac 12=g(Qb)$.

Поясните, пожалуйста, $S=\delta -\frac 12=g(Qb)$, так как $\delta = Qb-c$ и при взятии $q(Qb-c-1/2)=q(Qb)$ целое с отбрасывется, а 1/2?

$S=\delta-\frac 12=\{Qb\}-\frac 12 =g(Qb)$, так как по определению $g(x)=\{x\}-\frac 12$, если х не целое, когда целое 0.

[vicvolf]

По определению ($g(x)=\{x\}-\frac 12$, если х не целое, когда целое 0) результат не зависит от самой функции?

[Руст]

vicvolf в сообщении #629797 писал(а):

По определению ($g(x)=\{x\}-\frac 12$, если х не целое, когда целое 0) результат не зависит от самой функции?

От какой еще функции? Для каждого значения аргумента х определено значение функции g для данного аргумента $g(x)$.

[vicvolf]

Прошу прощения, что я Вас мучаю! Но я хочу разобраться, чтобы использовать. Сейчас с рациональной линейностью кажется понял. Остался только вопрос. Нельзя ли показать, что в данном случае при использовании метода трапеций ошибка порядка O(1)? Вы об этом уже несколько раз писали, но не доказывали.

[Руст]

Оценим теперь $g$ сумму около критической точки, пусть это будет минимум (максимум рассматривается аналогично), достигаемой в точке $x_*$. Пусть $m_0=\lceil f(x_*)\rceil, \theta=m_0-f(x_*), A=\lceil x_*\rceil, B=\lceil f^{-1}(m_0)\rceil,Q=B-A$. Оценим сумму $S_{gf}(A,B)$ воспользовавшись этой леммой:

$$S_{gf}(A,B)=\frac{g(f(A))+g(f(B))}{2}+\sum_{i=1}^{Q-1}g(f(A+i))=-Q(m+\frac 12)+S',$$

$$S'=\frac{sign(\{f(A)\})+sign(\{f(B)\})-2}{4}+\frac{Q(f(A)+f(B))}{2}-\frac{f''(\frac{A+B}{2})Q(Q^2-1)}{12}+\frac{\delta Q^3}{6}.$$

В дальнейшем будем пренебрегать изменением второй производной в небольших интервалах аппроксимации (около критической точки), точнее будем считать, что

$$\frac{|f''(x+l)-f''(x)|}{|f''(x)|}<\epsilon , if \ l<\frac{1}{\sqrt{|f''(x)|}}.$$

Последнее условие выполняется при подсчете целых точек в области, ограниченной дважды непрерывно дифференцируемой границей, при любых шагах сетки $h$, меньших некоторого, за исключением окрестности точки перегиба, так как эквивалентен условию малости $\frac{h^2\Delta \phi''}{\phi''},l<\sqrt h$. Тогда последним членом (с $]delta$) можно пренебречь несколько (незначительно) изменяя коэффициент перед предпоследним членом. Тогда $Q=\sqrt{\frac{2\theta}{f''(x_*)}}+O(1),|O(1)|<2$, а сумма с точностью до $O(1)$ вычисляется как площадь под параболой $S_{gf}(A,B)=\frac{(3-4\theta)\sqrt{\theta}}{6}\sqrt{\frac{2}{f''(x)}}+O(1).$ Аналогично вычислим суммы между следующими уровнями функции $f$. Пусть $A=A_m=\lceil f^{-1}(m)\rceil, B=A_{m+1}, m\ge m_0$. Вычислим $g-$ сумму для этого случая поточнее (включая члены О(1)). Первые члены дадут $\frac 12 (Q_m\{f(A_m)\}-\frac{\sign(\{f(A_m)\})}{2}+Q_m\{f(A_{m+1})\}-\frac{sign(\{f(A_{m+1})\})}{2}.$ Обозначим для краткости записи обратную функцию через $\phi((y)=f^{-1}(y), f(\phi(y))\equiv y$ в интервале суммирования. Тогда, если $\{f(A_m)\}=0$, то и $\{\phi(m)\}=0$ и если $\{f(A_m)\}>0$, то и $\{\phi(m)\}>0,g(\phi(m))=\frac{1}{2}-\frac{\{f(A_m)\}}{f'(A_m-\delta_m)}.$ Аналогично для точки B. Таким образом:

$$S_{gf}(A_m,A_{m+1})+\frac{g(\phi(m))+g(\phi(m+1))}{2}=\frac 12\sum_{i=m}^{m+1}\{f(A_i)\}(Q_m-\frac{1}{f'(A_i-\delta_i)}) +S'', \eqno(5)$$

где

$$s''=\frac{-f''(\frac{A_m+A_{m+1}}{2})Q_m(Q_m^2-1)}{12}+\frac{\delta Q_m^3}{6}.$$

Оценим теперь величины, обозначив $x_m=\frac{A_m+A_{m+1}}{2}. a_m=\frac{f''(x_m)}{2},b_m=f'(x_m).$
Тогда из квадратичного приближения вблизи $x_m$ получаем:

$$Q_m=\frac{1+\{f(A_{m+1)}-\{f(A_m)\}}{b_m},f'(A_{m+1})=b_m+a_m*Q_m, f'(A_m)=b_m-a_m*Q_m.$$

Нам достаточно пользоваться приближениями, сохраняющими порядок величин. В этом смысле координата $A_m$, ближайшая сверху к точке $\phi(m)\approx x_*+\sqrt{2(\theta+m-m_0)}{f''(x_*)}.$ Средний наклон в интервале $b_m\approx \sqrt{(2\theta+2m-2m_0+1)f''(x)}$ и интервал суммирования между уровнями $Q_m=\frac{1}{b_m}+O(1)$. Отсюда получается, что до уровня $m-m_0$ порядка $\sqrt{\frac{2}{f''(x_*)}}$ суммы $S''$ остаются ограниченными величиной порядка $m-m_0$, положительными в окрестности $\theta \approx \frac 12$ и отрицательными, когда $\theta \approx 1$. Более точно коэффициент можно вычислить сведя к знакопеременной сумме или интегралу. Сформулируем и докажем соответствующую лемму:
Лемма 5. Пусть $f(x_*)$ минимальное значение, $\lceil f(x_*)\rceil -f(x_*)=\theta, a=\frac{f''(x_*)}{2}$ и $f(A)=f(x_*)+\frac{1}{f''(x_*)}=f(B).$ Тогда

$$S_{gf}(A,B)=\frac{1}{\sqrt{a}}\int_0^{\infty}\frac{g(c+y)dy}{\sqrt y} +o(\frac{1}{\sqrt a}, \eqno(6)$$

$$S_{ef}(A,B)=\frac{e(c)}{\sqrt{a}}\int_0^{\infty}\frac{e(y)dy}{\sqrt y} +o(C)=\frac{e(c)(1+i)}{2\sqrt a}+o(\frac{1}{\sqrt a}). \eqno(7)$$

Доказательство. Рассмотрим вначале начальный уровень. В этом интервале функция хорошо приближается квадратичной аппроксимацией $f(x)=a(x-x_8)^2+c, c=f(x_*),a<<1.$ Соответственно количество целых х, для которых $y<a(x-x_*)^2<y+dy,0<y<1$ равно $2d\sqrt{\frac{y}{a}}=\sqrt{\frac{1}{ay}}dy+o(1).$ Беря разбиение шага $dy=a^{1/4}$ получаем ошибку аппроксимации интеграла порядка $O(1)$.
Между собой компенсируются $g(c+y)+g(c+1-y)$ и $e(c+y)+e(c+y+\frac 12)$. Соответственно

$$S_{gf}(A,B)=\int_0^{\frac 12}g(c+y)(\sqrt{\frac{1}{ay}}-\sqrt{\frac{1}{a(1-y)}})dy +O(1)=\frac{1}{6\sqrt a}(1-3(1-2\sqrt \theta )^2)+)(1).$$

Аналогично:

$$S_{ef}(A,B)=\int_0^{\frac 12}e(c+y)(\sqrt{\frac{1}{ay}-\sqrt{\frac{1}{a(1-y)}})dy +O(1)=\frac{2e(c)}{\sqrt a}\int_0^1e(z^2)dz +O(1).$$

Пока наклон мал можно аналогично считать интеграл до $y\le C=\frac{1}{\sqrt a}$. При этом несложно показать, что ошибка будет о(С) даже пользуясь плохими оценками. Нам достаточно оценка, что вся сумма $O(C)$. Т.е. взяв $A,B=f^{-1}(c+C)=O(C^{3/2})=O(a^{-3/4}),A<B$ получаем:

$$S_{gf}(A,B)=\frac{1}{\sqrt a}\int_0^C\frac{g(c+y)dy}{\sqrt y} +o(C)=O(C),$$

$$SS_{ef}(A,B)=\frac{e(c)}{\sqrt a}\int_0^C\frac{e(y)dy}{\sqrt y} +o(C)=\frac{e(c)(1+i)}{2\sqrt a} +o(C).$$

Интегралы в интервале $(C,\infty)$ будут величиной порядка $o(1)$, что и доказывает лемму.
Для $g$ суммы точные значения интегралов не удалось посчитать. Минимальное значение достигается при $c=0 (\theta=1)$ примерно $-1$, максимальное значение при $c=\frac 12 =\theta$, меньше 0.5. Можно и дальше суммировать. Только при этом надо считать так же $g$ суммы для обратной функции.
Немного о том, для чего нужны оценки сумм около критической точки. Я уже говорил, что $g$ суммы почти инвариантны относительно модулярных преобразований. $g$ сумму в окрестности наклона $\frac{P}{Q}$ можно свести к $g$ сумме в окрестности критической точки. Оценивая их и складывая можно уже получить оценку погрешности между количеством целых точек и площадью, у которой гладкая граница без точек перегиба, порядка $O(h^{-5/8+\epsilon})$ (у классиков степень $-2/3$). Применяя оценки многократно индукцией оценку можно довести то показателя $O(h^{-1/2 +\epsilon})$, т.е. доказать равномерность в среднем распределения дробных долей $\frac 1h f(hn)$. Первоначально я использовал такой подход, потом захотел оценить точнее с учетом степеней от логарифмов. Но это более сложный и длинный путь, и я пожалуй здесь не буду приводить.
Покажу, для чего надо исключить случай с точками перегиба. Пусть $f_1(x)=c(x-x_*)+d+O(|x-x_*|^\alpha ), \alpha>2.$ Это значит $x=x_*$ точка перегиба. Тогда в интервале $|x-x_*|<\beta h^{1/alpha}$ функция $f(y)=\frac{1}{h_2}f_1(yh_1)=f_2(y)+f_3(y),f_2(y)=cy+d, c=\frac{h_1}{h_2}f_1'(x_*),d=\frac{f_1(x)}{h_2}$ хорошо аппроксимируется линейной функцией, соответственно, когда $c=\frac{P}{Q}$ рационально (или хорошо приближается рациональным) числом (этого можно добиться за счет выбора $\frac{h_1}{h_2}$, сумма будет $S_{gf}(A,B)=O(R^{1-\frac{1}{\alpha}}),R=\frac{1}{h_1}$. Поэтому нельзя оценить лучше, чем $O(R^{2/3})$ как и у классиков, которые не выделяли в отдельный класс суммы с точкой перегиба. Соответственно, в случае наличия точек перегиба нет равномерности.

[Руст]

Всвязи с отсутствием интереса к теории равномерности и $g$ сумм, я не буду продолжать в дальнейшем. Приведу только обещанное доказательство того, что из утверждения 3 (равномерность распределения простых в среднем по модулю) вытекает РГР (утверждение 4) и из утверждения 1 (равномерность распределения простых в среднем) вытекает ГР.
Заметим вначале, что

$$\zeta (\lambda,s)=\sum_n \frac{\lambda (n)}{n^s}=\prod_p \frac{1}{1-\frac{\lambda(p)}{p^s}}$$

задается равномерно сходящимся рядом при $Re(s)=\sigma\ge \epsilon>0$. При выполнении условий утверждения 3 легко получается равномерная сходимость произведения при $Re(s)\ge \frac 12 +\epsilon$, соответственно произведение не имеет нулей в области $Re(s)\ge \frac 12+\epsilon$. Так как $\epsilon$ любое положительное число, то при $Re(s)>\frac 12$ нулей нет и нули могут быть только на критической прямой (учитывая еще симметричное продолжение).
Для главного характера (для обычной $\zeta$ функции) и ряд и произведение расходятся. Ряд легко связать со сходящимся. Хотя это и не имеет отношения к теме, укажу еще один способ продолжения. Рассмотрим функцию от двух аргументов:

$$\zeta(s,z)=\sum_n \frac{z^{n-1}}{n^s}, \zeta(s,-1)=\sum_n \frac{(-1)^{n-1}}{n^s}=\zeta(s)-\frac{2}{2^s}\zeta(s)=\frac{1-\frac{1}{2^{s-1}}}{1-\frac{1}{2^s}}\prod_{p>2}\frac{1}{1-\frac{1}{p^s}}.$$

Очевидно, что $\zeta(s,-1)$ отличается от $\zeta (s)$ только на не нулевой множитель и сходится при $Re(s)>0$.
Но произведение (то же самое кроме первого члена) все равно расходится. Однако, нам достаточно выбрать сходящиеся подпоследовательности. Для этого можно фиксировать мнимую часть $Im(s)=t, Re(s)=\sigma\ge \frac 12+\epsilon$. Выберем произведения

$$a_k=\prod_{2\pi k\le \ln p<2\pi (k+1)}\frac{1}{1-\frac{1}{p^s}}.$$

Из условия (1) получаем, что произведения $\prod_k a_k$, т.е. суммы от $\sum_k \ln (а_k)$, а так же все суммы от всех производных $\ln (a_k)$ сходятся равномерно. Отсюда получаем, (хотя мы продолжаем только по прямым $Ims)=t$, что сумма $\sum_k \ln (a_k)$ сходится и аналитична, т.е. совпадает с логарифмом дзета функции. Соответственно она не имеет нулей при $Re(s)>\frac 12$.

Вот в этом заключается мое доказательство ГР и РГР. Технические детали может восполнить почти любой математик за исключением пожалуй одного-двух важных моментов, над которыми я размышлял несколько ночей. Здесь главное в использовании мультипликативного варианта записи этих функции, откуда из равномерности распределения простых чисел получается сходимость произведения, т.е. отсутствие нулей при $Re(s)>\frac 12$. Равномерность распределения простых получается через оценки сумм мультипликативных функций, которые получаются из оценок $g$- сумм под гиперболой.

На самом деле получаются более сильная равномерность распределения, чем необходимая для ГР и РГР равномерность в среднем. Соответственно, они должны привести к решению задач, не вытекающих из ГР и РГР, например бинарная проблема Гольдбаха-Эйлера, бесконечность пар простых $(p,p+a)$ при любом четном $a$ (в частности решение проблемы близнецов, иницировавших эту тему), гипотеза Лежандра. Что касается гипотезы Крамера, упоминаемой здесь, она не получается из теории равномерности. У меня есть план как приступить к решению этой проблемы путем создания некоторой антогонистической теории к теории плотности и равномерности, а именно разрабатывая теорию пробелов и не равномерности (оценки снизу к R, вместе оценок сверху). Но это другая тематика.

[vicvolf]

Руст в сообщении #630437 писал(а):

Всвязи с отсутствием интереса к теории равномерности и $g$ сумм, я не буду продолжать в дальнейшем.

Почему отсутствует интерес. Мне лично очень интересно! Просто материал сложный и не просто воспринимается! Для Вас это тоже более глубокая проработка некоторых вопросов и подготовка статьи.

Цитата:

Приведу только обещанное доказательство того, что из утверждения 3 (равномерность распределения простых в среднем по модулю) вытекает РГР (утверждение 4) и из утверждения 1 (равномерность распределения простых в среднем) вытекает ГР.

Большое спасибо!

Цитата:

Равномерность распределения простых получается через оценки сумм мультипликативных функций, которые получаются из оценок $g$- сумм под гиперболой.

А можно это доказательство для функции $1/\ln x$ подробнее, ведь мы ранее об этом говорили!

Цитата:

На самом деле получаются более сильная равномерность распределения, чем необходимая для ГР и РГР равномерность в среднем. Соответственно, они должны привести к решению задач, не вытекающих из ГР и РГР, например бинарная проблема Гольдбаха-Эйлера, бесконечность пар простых $(p,p+a)$ при любом четном $a$ (в частности решение проблемы близнецов, иницировавших эту тему), гипотеза Лежандра.

Значит все-таки получилось доказательство более сильной равномерности для близнецов, т.е. доказательство равномерности для функции $1/\ln^2 x$. Очень интересно! Можно ознакомиться?

Цитата:

Что касается гипотезы Крамера, упоминаемой здесь, она не получается из теории равномерности. У меня есть план как приступить к решению этой проблемы путем создания некоторой антогонистической теории к теории плотности и равномерности, а именно разрабатывая теорию пробелов и не равномерности (оценки снизу к R, вместе оценок сверху). Но это другая тематика.

Наверно сюда войдут и k-кортежи (k>2)?

[Руст]

vicvolf в сообщении #630560 писал(а):

Цитата:

Равномерность распределения простых получается через оценки сумм мультипликативных функций, которые получаются из оценок $g$- сумм под гиперболой.

А можно это доказательство для функции $1/\ln x$ подробнее, ведь мы ранее об этом говорили!

Само плотность $\frac{1}{\ln x}$ вытекает совсем из других соображений, оно даже не связано (как я получаю) тем, что сумма $\sum_{k=1}^n \frac 1k$ или интегральный коэффициент $\int_1^n \frac{dx}{x}$ под гиперболой ведет себя как $\ln n$. Гипербола появляется из теории мультипликативных функций. Если мы имеем два ряда Дирихле
$\sum_k \frac{a_k}{k^s}, \sum_k \frac{b_k}{k^s}$, то произведению рядов соответствует ряд $\sum_n \frac{c_n}{n^s}, c_n=\sum_{kl=n}a_kb_l$, являющейся мультипликативной сверткой коэффициентов заданных рядов $a_k,b_k$. Соответственно сумма коэффициентов для 1 соответствует количеству целых точек под гиперболой. Вообще $\sum_{k=1}^n c_k = \sum_{ij\le n}a_ib_j$. Область суммирования состоит из $ij\le n$ целых точек под гиперболой. Вот откуда связь ГР с гиперболой.

Цитата:

Значит все-таки получилось доказательство более сильной равномерности для близнецов, т.е. доказательство равномерности для функции $1/\ln^2 x$. Очень интересно! Можно ознакомиться?

Пока не проработал до конца. Ожидаю, что получится.

Цитата:

Наверно сюда войдут и k-кортежи (k>2)?

нет.

[vicvolf]

Руст в сообщении #629827 писал(а):

Соответственно, в случае наличия точек перегиба нет равномерности.

А функция при наличии точек перегиба разве будет гладкой?

[Руст]

vicvolf в сообщении #630880 писал(а):

А функция при наличии точек перегиба разве будет гладкой?

Я рассматривал только дважды непрерывно дифференцируемые функции. Точка перегиба для таких функций эта точка, где $f''$ обращается в 0. Соответствено это приводит к не равномерности распределения дробных долей значений такой функции в окрестности точки перегиба.

[Руст]

Как то в одной статье встретил обсуждение, почему именно у зета функции все нетривиальные нули находятся на критической прямой и чем она уникально.
1) Имеется формула продолжения через симметрию $s\to 1-s$ домножением на ненулевой множитель.
2) Имеется формула произведения.
На самом деле для произвольной функции ни то, ни другое ни гарантирует это свойство. Там как то это отмечается, но в то же время довольно наивны рассуждения авттора.
Естественно свойство 2) очень важное для этого, а свойство 1) только обеспечивает симметрию нулей относительно этой прямой. Чтобы свойство (2) приводило к этому необходимо и достаточно, чтобы

$$f(s)=\prod_n \frac{1}{1-\frac{1}{p_n^s}}$$

с произвольной последовательностью монотонно растущих чисел было распределено равномерно в среднем. При этом аддитивная запись

$$f(s)=\sum_n \frac{a_n}{n^s}$$

этой функции получается из выражения коэффициентов $a_k$ как число решений $n=\prod_i p_i^{k_i}$. Когда последовательность не является последовательностью простых, у такой функции аддитивные коэффициенты $a_k$ не являются тождественно равными 1, что приводит вообще говоря к не выполнению свойства 1). Тем не менее при Re(s)>\frac 12$ функция (до туда продолжается аналитически по крайней мере в случае равномерности) не будет иметь нулей, когда $p_n$ равномерна в среднем.

[vicvolf]

Руст в сообщении #628124 писал(а):

Продолжу

$$S_{gf}(A,B)=\sum_{A\le x\le B}g(f(i)),f(i)=\frac{1}{h_2}f_1(ih_1),A=\frac{a}{h_1},B=\frac{b}{h_1}.$$

Почему $f_1$?. Такой функции в условии нет.