Задача на идеалы и смежные классы

[Joker_vD]

Если произведение двух классов смежности равно третьему классу смежности, то это что-то говорит о том, как связаны представители трех этих классов? Говорит. Что именно? Что вы можете сказать о связи между $g(x)$, $s(x)$ и $1$?

[Naatikin]

насколько я понял, Вы имеете ввиду следующие: $(g(x)+(f(x)))(s(x)+(f(x)))=1+(f(x))$ произведение двух смежных классов является смежным классом, элементы этих смежных классов находятся в таком же соответствии: $g(x)s(x)=1(\mod f(x))$ а это тоже самое, что $g(x)s(x)+f(x)b(x)=1(\mod f(x))$, а это есть предстваление НОДа: НОД$(g(x),f(x))=1$

[Sonic86]

Все-таки теперь попробуйте собрать доказательство из имеющихся запчастей, либо явно показать, где Вы теперь застреваете.

[Naatikin]

Я застрял на том, что НОД не обязательно 1,а $F^*$ это все возможные полиномы.

[AV_77]

Naatikin в сообщении #586980 писал(а):

$F^*$ это все возможные полиномы.

Это не все возможные полиномы, а всего лишь мультипликативная группа поля $F$.

[Joker_vD]

Naatikin в сообщении #586980 писал(а):

Я застрял на том, что НОД не обязательно 1

Если НОД $\ne1$, то вышеуказанного представления единицы существовать не может $\Longrightarrow g(x)$ необратим.

-- Вт июн 19, 2012 22:10:36 --

$g(x)s(x)+f(x)b(x)=1(\mod f(x))$ — это, конечно, правда, но модуль тут писать уже ни к чему.

(Оффтоп)

Кстати, обычно пишут так:
$a\equiv b \pmod m$
$a \equiv b \pmod m$

[Naatikin]

AV_77 в сообщении #586982 писал(а):

Это не все возможные полиномы, а всего лишь мультипликативная группа поля .

да, но поле $F$ это и поле полиномов, а не только целых чисел

Joker_vD в сообщении #586986 писал(а):

Если НОД , то вышеуказанного представления единицы существовать не может необратим.

это если НОД равен 1, а если полиному?

[Joker_vD]

Naatikin
Вы издеваетесь? Я говорю "Если НОД не равен 1, то...", а вы тут же: "Это если НОД равен 1, а если нет?".

Naatikin в сообщении #587006 писал(а):

да, но поле $F$ это и поле полиномов, а не только целых чисел

Во-первых, целые числа поля не образуют. Во-вторых, мне глубоко безразлично, что это $F$ за поле на самом деле. Вам это тоже должно быть без разницы. Мы работаем с кольцом $F[x]$ многочленов над полем $F$.

[Naatikin]

Joker_vD в сообщении #587012 писал(а):

Вы издеваетесь?

ни капли, просто пытаюсь разобраться

доказательство строится на том, что смежный класс имеет обратный смежный класс, если НОД=1, соотвественно если НОД не равен 1, то обратного смежного класса не существует. так ведь?

но по условию задачи смежный класс обратим, тогда и только тогда когда НОД$\in F^*$, т.е. НОД может быть и полиномом

[Joker_vD]

Naatikin в сообщении #587025 писал(а):

доказательство строится на том, что смежный класс имеет обратный смежный класс, если НОД=1, соотвественно если НОД не равен 1, то обратного смежного класса не существует. так ведь?

Да. Именно.

Naatikin в сообщении #587025 писал(а):

но по условию задачи смежный класс обратим, тогда и только тогда когда НОД$\in F^*$

Это так, хотя вам следует знать, что НОД — это нормированный многочлен, и среди $F^*$ есть только один нормированный многочлен — $1$.

Naatikin в сообщении #587025 писал(а):

т.е. НОД может быть и полиномом

Что значит "может"? Он и есть полином, полином над полем $F$. Или вы ожидали, что общий делитель двух многочленов внезапно может оказаться не многочленом, а венской булкой?

[AV_77]

Joker_vD в сообщении #587027 писал(а):

Это так, хотя вам следует знать, что НОД — это нормированный многочлен

Это смотря как определить. Но обычно да, для многочленов выбирают унитарные НОДы.

[Naatikin]

Joker_vD в сообщении #587027 писал(а):

Это так, хотя вам следует знать, что НОД — это нормированный многочлен

я всегда считал, нормированный - это приведенный.

я понимаю, что НОД это полином степени 0.

но ведь может быть такая ситуация, что НОД равен $x^2+2$?

-- 19.06.2012, 23:51 --

Naatikin в сообщении #587036 писал(а):

я понимаю, что НОД это полином степени 0.

не так выразился, что число это полином степени 0

[Joker_vD]

Naatikin в сообщении #587036 писал(а):

но ведь может быть такая ситуация, что НОД равен $x^2+2$?

Может. Это значит, что $g(x)$ необратим.

[Naatikin]

нормированный многочлен - старший коэфициент равен 1?

$x^2+2$ не принадлежит $F^*$? почему нормированный многочлен в $F^*$ только 1?

[AV_77]

Naatikin в сообщении #587041 писал(а):

$x^2+2$ не принадлежит $F^*$? почему нормированный многочлен в $F^*$ только 1?

Еще раз. $F^*$ - это мультипликативная группа поля $F$, ее элементами являются обратимые элементы поля $F$. Других элементов в ней нет.