Задача из книги В.Феллера по теории вероятностей.

[eugenedobro]

Не могу решить задачу из В.Феллера Введение в теорию вероятностей и её приложения (том 2).
Глава 1 задача 7)
Для пуассоновского процесса (такого как ожидание автобуса на остановке, когда автобусы приезжают в согласии с пуассоновским процессом) случайная величина $Z$ - это время между моментом $t$ (момент моего прибытия на остановку) и последним предшествующим прибытием, иными словами "возраст" текущего времени между прибытиями.
Необходимо найти распределение $Z$ и показать, что при $t$, стремящимся к бесконечности, оно стремится к показательному.

Мое решение:
Пусть $X_1, X_2, ...$ последовательные поступления, независимые и одинаково распределенные (показательно).
$S_n = X_1 + ... + X_n$ есть момент n-го поступления.
$N(t)$ - есть число поступлений в интервале (0, t].
Допустим, что мы уже знаем, что плотность $S_n: g(x) = \alpha\cdot\exp(-\alpha\cdot x)\cdot\frac{(\alpha\cdot x)^{n-1}}{(n - 1)!}$
и еще знаем, что элемент $X_k$, удовлетворяющий условию $S_k-1 < t \leqslant S_k$ имеет плотность:
$v_t (x) = \alpha x\exp(-\alpha x) , 0<x<t&
$v_t (x) = \alpha(1 + \alpha t)\exp(-\alpha x) , x>t$
(Эту штуку мне подсказали:) Тогда я могу утверждать, что время ожидания следующего поступления, назовем его $W_t = S_k - t$ имеет распределение
$F_w (x) = P(W_t<x) = \exp(-\alpha t)-\exp(-\alpha(x+t))+ \sum \int(g_n(y)(\exp(-\alpha(t - y))-\exp(-\alpha(x+t-y))))dy = 1 - \exp(-\alpha x)$
,где $y\in[0,x], x\in[0,t] $

Создается впечатление, что $Z$ это тоже самое, что и $W_t$. Так ли это?
И если формально считать $Z$, то видимо надо действовать аналогично с $W_t = S_k - t$, тогда $Z = S_{k-1} + t$

Заранее благодарю за помощь.

[--mS--]

Ну, Феллера-то можно было и не переписывать.

Нет, $Z$ - не то же самое, что $W_t$ ($Z$ - время от момента $t$ "назад", $W_t$ - вперёд), но распределения их абсолютно одинаковы. Вот только почему $Z=S_{k-1}+t$? Наоборот, $Z=t-S_{k-1}$.

Ну и вероятность $\mathsf P\{Z<x\}$ можно безо всяких плотностей $v_t(x)$ (которые и Феллер для вычисления $\mathsf P\{\W_t \leqslant x}$ никак не использует) сосчитать напрямую. Просто следует просуммировать по всем возможным $n$ вероятности событий $\{S_{n-1} \leqslant t,\, S_{n-1}+X_n > t,\, t-S_{n-1} \leqslant x\}$. Эти вероятности выражаются сразу же через интегралы от соответствующих плотностей:

$$\mathsf P\{S_{n-1} \leqslant t,\, S_{n-1}+X_n > t,\, t-S_{n-1} \leqslant x\} = \mathsf P\{ t-x \leqslant S_{n-1} \leqslant t,\, X_n > t- S_{n-1}\} = $$

$$ =\int\limits_{t-x}^t \mathsf P\{S_{n-1}\in dy\} \mathsf P\{X_n > t-y\} =\int\limits_{t-x}^t g_n(y) \mathsf P\{X_n > t-y\} \, dy. $$

[eugenedobro]

Спасибо большое.

Я правильно понимаю, что это случай для $x < t$?
Будут ли какие-нибудь изменения при $x > t$?

[--mS--]

Разумеется. Вероятность станет единичной.

[eugenedobro]

Ясно. Спасибо.

[sonny]

А можно поинтересоваться, почему вероятность при $x > t$ будет единичной?
И в условии задачи сказано, что "Z - это время между моментом t и последним прибытием или 0", тогда видимо вероятность $P(Z < x) = 0$, при некотором условии?

[sonny]

И еще вопрос:
В конце получаем интеграл:

$$ \int\limits_{t-x}^t \mathsf P\{S_{n-1}\in dy\} \mathsf P\{X_n > t-y\} =\int\limits_{t-x}^t g_n(y) \mathsf P\{X_n > t-y\} \, dy. $$

попробую продолжить до конца:

$$\int\limits_{t-x}^t g_n(y) \exp(-\alpha(t - y)) \, dy = \alpha (\frac{1}{\alpha}\exp(-\alpha(t - t))\ - \exp(-\alpha(t - t + x))) = 1 - \exp(-\alpha x).$$

В нем $\mathsf P\{S_{n-1}\in dy\} \mathsf P\{X_n > t-y\}$ тоже что и $g_n(y)\exp(-\alpha(t - y)) $ потому как мы суммируем по всем возможным не только n но и y?

[--mS--]

sonny в сообщении #573697 писал(а):

А можно поинтересоваться, почему вероятность при $x > t$ будет единичной?

Это мой глюк. Не будет, конечно. Она при всех $x>0$ одна и та же показательная ф.р.

sonny в сообщении #573724 писал(а):

И еще вопрос:
В конце получаем интеграл:

$$ \int\limits_{t-x}^t \mathsf P\{S_{n-1}\in dy\} \mathsf P\{X_n > t-y\} =\int\limits_{t-x}^t g_n(y) \mathsf P\{X_n > t-y\} \, dy. $$

В нем $\mathsf P\{S_{n-1}\in dy\} \mathsf P\{X_n > t-y\}$ тоже что и $g_n(y)\exp(-\alpha(t - y)) $ потому как мы суммируем по всем возможным не только n но и y?

Не поняла вопроса. Мы нигде ничего в этом равенстве не суммируем, а просто подставляем плотность $g_n(y)$ распределения $S_{n-1}$, которое есть просто гамма с параметрами $\alpha$ и $n$, и хвост функции распределения $X_n$.

[sonny]

Отнюдь не одна и та же. Все же первый ответ, что она будет единична, мне кажется верным. Ведь Z это случайная величина - "возраст" текущего ожидания. Мы смотрим вероятность $P(Z < x)$. И здесь видно, что если x будет больше t, то $P(Z < x) = 1$, так как Z "живет" с момента $S_{n-1}$ до момента t, не так ли?

На счет суммирования:
если мы обозначим $S_{n-1} = y$
тогда при некоторой комбинации n и y получим $t-y < X_n < x$ и от сюда, при условиях $S_{n-1} < t, S_{n-1} + X_n > t$ следует, что

$$P(Z < t) = P(y < t, y + X_n > t, t-y < x) = P(t-x < y < t, X_n > t - y)$$

теперь суммируем по всем возможным n и получаем:

$$P(Z < x) = \sum_{n=0}^{\infty}\int\linits_{t-x}^t g_n(y)\exp(-\alpha(t - y))dy$$

[sonny]

Там опечатка, не P(Z < t) , а P(Z < x).

[--mS--]

sonny в сообщении #573999 писал(а):

Отнюдь не одна и та же. Все же первый ответ, что она будет единична, мне кажется верным. Ведь Z это случайная величина - "возраст" текущего ожидания. Мы смотрим вероятность $P(Z < x)$. И здесь видно, что если x будет больше t, то $P(Z < x) = 1$, так как Z "живет" с момента $S_{n-1}$ до момента t, не так ли?

Да, конечно. Скачок у ф.р. в точке $t$ будет, и его величина есть $\exp(-\alpha t)$.

sonny в сообщении #573999 писал(а):

На счет суммирования:
если мы обозначим $S_{n-1} = y$
тогда при некоторой комбинации n и y получим $t-y < X_n < x$ и от сюда, при условиях $S_{n-1} < t, S_{n-1} + X_n > t$ следует, что

$$P(Z < t) = P(y < t, y + X_n > t, t-y < x) = P(t-x < y < t, X_n > t - y)$$

теперь суммируем по всем возможным n и получаем:

$$P(Z < x) = \sum_{n=0}^{\infty}\int\linits_{t-x}^t g_n(y)\exp(-\alpha(t - y))dy$$

Вместо "теперь суммируем по всем возможным $n$" следует написать "теперь интегрируем по всем возможным $y$" и будет всё так. Ну, кстати, с индексами у меня выше напутано: плотность $S_{n-1}$ есть плотность гамма с параметрами $\alpha$ и $n-1$, соответственно это будет $g_{n-1}(y)$. Впрочем, на суммировании это не сказывается. Ну и суммировать следует не от $n=0$, а от $n=1$ или даже $n=2$.

[sonny]

А почему если мы "интегрируем по всем возможным y", то у нас появится сумма?

Еще раз по порядку. $Z = t - S_{n-1}$
Обозначим $S_{n-1} = y$
Рассматриваем случай x<t:
$P(Z < x) = P(t - y < x)$
Принимая во внимание то, что $S_{n} > t ; S_{n-1} < t ; S_{n} = S_{n-1} + X_{n}$ получаем:
$P(t - y < x) = P(t - y < x, y < t, y + X_{n} > t) = P(t - x < y < t, X_{n} > t - y)$
и вот дальше я запутался, как мы переходим к интегралу (и почему он не двойной, у нас же участвуют две сл. вел. $S_{n-1}$ и $X_{n}$)?

-- 30.05.2012, 14:30 --

Еще на счет суммы:
пусть $\tau = \min\{n: S_n > t\}$
Тогда

$$P(Z < x) = P(t - S_{\tau-1} < x) = \sum_{n\geqslant1}P(S_{n-1} > t -x, \tau = n) =$$

$$= \sum_{n\geqslant1}P(S_{n-1} > t -x, S_{n} > t, S_{n-1} < t) = \sum_{n\geqslant1}P(t - x < S_{n-1} < t, X_{n} > t - S_{n-1})$$

и вот дальше я снова не понимаю как мы переходим к интегралам.

-- 30.05.2012, 14:53 --

Кажется я понял:

$$P(Z < x) = P(t - S_{\tau-1} < x) = \sum_{n\geqslant1}P(S_{n-1} > t -x, \tau = n) =$$

$$= \sum_{n\geqslant1}P(S_{n-1} > t -x, S_{n} > t, S_{n-1} < t) = \sum_{n\geqslant1}P(t - x < S_{n-1} < t, X_{n} > t - S_{n-1}) = $$

$$= \sum_{n\geqslant1}\int\limits_{t-x}^x\int\limits_{t-y}^{\infty}g_{n-1}(y)\alpha e^{-\alpha z}dzdy$$

[--mS--]

sonny в сообщении #578420 писал(а):

А почему если мы "интегрируем по всем возможным y", то у нас появится сумма?

Сумма - не появится. Сумма - есть изначально.

Не понимаю, почему бы Вам было не прочесть самый первый ответ в теме, где всё уже посчитано?

[Maryna4537291-]

Не могу решить первые две задачи из книги Феллера после 14 главы. Есть некоторые мысли, но все равно не могу довести задачи до конца.

[Someone]

Maryna4537291- в сообщении #1556156 писал(а):

Не могу решить первые две задачи из книги Феллера после 14 главы. Есть некоторые мысли, но все равно не могу довести задачи до конца.

Если хотите получить ответ, создайте тему в разделе Помогите решить / разобраться (М), напишите в ней условия задач (лучше каждую задачу в отдельной теме), изложите собственные попытки решения. Не забудьте, что формулы необходимо записывать в формате LaTeX, даже односимвольные (типа $a$ или $5$). Ссылки на правила оформления формул: http://dxdy.ru/topic8355.html, http://dxdy.ru/topic183.html.