В чём отличие оператора от функции?

[valtih1978]

Математики говорят что это одно и то же, типа ящик с входом и выходом, но при этом почему-то в википедии две разные статьи: про операторы и функции. Я их читаю и понять не могу: в чём разница? Разве что функции они больше привычные - числовые (как вариант функция нескольких переменных принимает на вход несколько чисел на вход, типа один вектор). Но в любом случае о обычной функции на выходе одно число. А оператор, нам препод рассказывал, он типа с векторами (функциями) работает. Так что можно считать что оператор - многозначная функция. Или я вообще ничего не понимаю и математика только на словах точная, строгая и определённая?

[Leox]

А как вам препод давал определение функции и определение оператора?

[Munin]

Функция в "обычном" смысле - это на вход что угодно, на выход - число.
Но в математике чаще функцию понимают в самом общем смысле: на вход, что угодно, на выход что угодно.
При этом некоторые частные случаи носят специальные названия, потому что для них работает специальные интуитивные образы, не те же самые, что для функций в "обычном" смысле.

Поле (в анализе нескольких переменных) - это функция, на входе которой точка пространства, а на выходе - число, вектор, или какая-то ещё более сложная штука. Полями (в этом смысле слова, есть ещё алгебраический) описываются физические поля, например, поле гравитации, электрическое поле, поле скоростей жидкости.

Отображение (map) - это функция из пространства в аналогичное пространство. Например, из искривлённого пространства (многообразия) в другое такое многообразие той же размерности, причём разные точки - в разные. Это примерно похоже на то, как одно пространство, как гибкую плёнку, мы надеваем на другое пространство, допуская всякие искажения, но не разрывы. Ещё примерно такой же смысл может носить слово преобразование.

Оператор - это обычно функция из линейного пространства в линейное пространство, причём зачастую в то же самое. Например, оператор может, не сдвигая начала координат, растянуть пространство, повернуть его, сдвинуть наискосок, спроецировать в плоскость. То же самое могут делать операторы, переводящие функции в функции, только здесь надо представлять себе пространство функций как линейное пространство. Например, взятие производной - оператор, проецирующий некоторые векторы в нуль, а другие - некоторым образом поворачивающий.

Функционал - обычно функция, на выходе которой число, а на входе - какая-то другая функция. Такие функционалы изучаются в вариационном исчислении. Другой вариант использования этого термина - линейный функционал - на выходе даёт число, а на входе получает вектор.

Есть и много других важных частных видов функций (изоморфизмы, расслоения), которые встречаются постепенно в своих разделах математики.

[ewert]

valtih1978 в сообщении #558814 писал(а):

Так что можно считать что оператор - многозначная функция.

Нельзя. Оператор -- однозначная функция. Как и однозначная функция вообще. Просто на выходе той функции могу получаться числа, векторы, цвета, запахи и вообще что угодно. На входе, кстати -- аналогично. Лишь бы однозначно.

В общем же, правильно говоря "математики" -- это действительно синонимы. Разница лишь в стилистике.

[valtih1978]

Munin в сообщении #558856 писал(а):

Отображение (map) - это функция из пространства в аналогичное пространство.

Я как-то на лекции по дискретке интересовался у профессора как раз про отличие функций от отображений. :) Он сказал ровно наоборот: функция - частный случай отобр., как раз когда пространства совпадают.

Munin в сообщении #558856 писал(а):

Оператор - это обычно функция из линейного пространства в линейное пространство

То есть частный случай отображения? И даже для нелинейного оператора, $Ax=y$, x и y - всё равно элементы векторного пространства?

Munin в сообщении #558856 писал(а):

Функционал - обычно функция, на выходе которой число, а на входе - какая-то другая функция. Такие функционалы изучаются в вариационном исчислении. Другой вариант использования этого термина - линейный функционал - на выходе даёт число, а на входе получает вектор.

Функция - пример вектора. Не?

ewert в сообщении #558859 писал(а):

Оператор -- однозначная функция. Как и однозначная функция вообще. Просто на выходе той функции могу получаться числа, векторы

Ну так что такое вектор, если не ряд чисел? Выражение "могут получаться числа" равнозначно "получается вектор 1- или скольугодномерный вектор". То же и со входами: дадим два числа или один вектор - разницы между функцией одной переменной и функцией нескольких переменных - никакой. Тут по-прежнему говорят о функциях. Но функция по-определению берёт все объекры входа и активизирует один и только один выход. Функциональная зависимость = однозначно определённая зависимость. Поэтому многозначные функции



совей неоднозначностью как бы противоречат определению функции и поэтому не функции, хоть так и называются. Под "оператор как многозначная функция" я имел ввиду что функция всегда имеет фиксированное количество упорядоченных выходов - вектор/функцию. И вот когда выходов становится не одно число, а вектор, тогда вместо функции начинают говорить "оператор". Это мой путь.

Leox в сообщении #558837 писал(а):

А как вам препод давал определение функции и определение оператора?

Я на информатике учился и уверен что на остальных, не физико-матиматических факультетах, точно также: операторы всплывают только в магистратуре. Функции нам никто не объяснял (их и так все знают из школы и матана). Но когда речь про квантовые формулы зашла, препод написал

Af = g

и, предвидя очевидное - что никто про операторы не слышал, сразу объяснил что тут одна функция преобзауется в другую, дал пару примеров - умножение на скаляр и диффиренциривание - а дальше абстрагировался от функций и начал оперировать только операторами.

С нами на "Cовременной физике" ещё начальный курс физ-матовцев занимался. Но им доцент всё точно также объяснял. Так что я удивляюсь, почему матиматики не считают также как и я, почему не думают что оператор - это особая функция, которая имеет на выходе не просто число, а целый вектор?

[Sapsar]

(Оффтоп)

а теперь главный вопрос-а не все ли равно?...

Любую вещь можно назвать трамваем, надо только об этом договориться

[Joker_vD]

valtih1978 в сообщении #558997 писал(а):

И вот когда выходов становится не одно число, а вектор, тогда вместо функции начинают говорить "оператор". Это мой путь.

Есть такой термин "вектор-функция"... т.е. функция, имеющая на выходе векторы.

"Отображение", "функция", "оператор", "функционал" — все это разные термины для одной идеи. Есть множества $A$ и $B$, есть правило $f$, которое каждому элементу $x$ из $A$ сопоставляет вполне определенный элемент (обозначаемый $f(x)$ или $fx$) из $B$. Такое правило и называют функцией (отображением).

Но множества $A$ и $B$ могут быть любой природы. Например, и $A$, и $B$ могут быть множествами, состоящими из функций, скажем, из $X$ в $Y$. Но говорить "функция от функции" несколько, хм, утомительно. Поэтому говорят "оператор". А если, скажем, $A$ — это множество каких-то функций из $X$ в $\mathbb R$, то функции из $A$ в $\mathbb R$ обычно называют функционалами.

Разница — чисто терминологическая, если не считать мелких заморочек с областями определения/прибытия и понятием обратимости.

[arseniiv]

valtih1978 в сообщении #558997 писал(а):

Ну так что такое вектор, если не ряд чисел? Выражение "могут получаться числа" равнозначно "получается вектор 1- или скольугодномерный вектор".

Вектор $\ne$ координаты вектора.

[ewert]

Joker_vD в сообщении #559017 писал(а):

"Отображение", "функция", "оператор", "функционал" — все это разные термины для одной идеи.

И называется эта идея -- "отображением". Поскольку "функцией" её назвать никак нельзя: уж больно этот термин исторически привязан к конкретным ситуациям. "Отображение" же -- ни к кому конкретно не привязано, и вполне добродушно нейтрально.

[Munin]

valtih1978 в сообщении #558997 писал(а):

Я как-то на лекции по дискретке интересовался у профессора как раз про отличие функций от отображений. :) Он сказал ровно наоборот: функция - частный случай отобр., как раз когда пространства совпадают.

Ну, на самом деле, я сообразил потом, "отображение" считается точным синонимом слова "функция", и самым общим термином. Просто употребляется в других случаях.

valtih1978 в сообщении #558997 писал(а):

И даже для нелинейного оператора

А вы много видели нелинейных операторов?

valtih1978 в сообщении #558997 писал(а):

Функция - пример вектора. Не?

Да. Но не самый интуитивно очевидный.

valtih1978 в сообщении #558997 писал(а):

Ну так что такое вектор, если не ряд чисел?

Вектор - это элемент векторного пространства, а ряд чисел - это только в конечномерном случае.

valtih1978 в сообщении #558997 писал(а):

Поэтому многозначные функции совей неоднозначностью как бы противоречат определению функции и поэтому не функции, хоть так и называются. Под "оператор как многозначная функция" я имел ввиду что функция всегда имеет фиксированное количество упорядоченных выходов - вектор/функцию. И вот когда выходов становится не одно число, а вектор, тогда вместо функции начинают говорить "оператор". Это мой путь.

Нет, это ерунда. Во-первых, оператор - это совсем не то же, что многозначная функция. Во-вторых, многозначная функция - это нормальная полноценная функция, принимающая значения в множестве подмножеств некоторого множества. И наконец, вектор-функция (конечномерная) - это функция, принимающая значения в множестве кортежей фиксированной длины, а не подмножеств.

[valtih1978]

arseniiv в сообщении #559100 писал(а):

valtih1978 в сообщении #558997 писал(а):

Ну так что такое вектор, если не ряд чисел? Выражение "могут получаться числа" равнозначно "получается вектор 1- или скольугодномерный вектор".

Вектор $\ne$ координаты вектора.

Вопрос уже поднимался. Мнения разделились. Ваша позиция, в пользу "нельзя", никаких аргументов не высказала. И не удивительно. Многие вещи похоже нельзя объяснить без "координатного" представления. Начиная с того что функция для каждого агрумента возвращает конкретное значение из области значений. Это значит что для каждого базового вектора, которые пробегает "индекс" x, существует определённая координата y.

Munin в сообщении #559161 писал(а):

Вектор - это элемент векторного пространства, а ряд чисел - это только в конечномерном случае.

называется бесконечным рядом или просто рядом

Munin в сообщении #559161 писал(а):

А вы много видели нелинейных операторов?

Практически какую функцию в инфотехнологии не возмёшь - нелинейная. Но главное что "исключение предполагает правило". Если линейные операторы - частный случай, то в общем операторы должны быть нелинейные. Поэтому я понитересовался насчёт того с чего вы операторы привязываете к линейной алгебре?

Munin в сообщении #559161 писал(а):

многозначная функция - это нормальная полноценная функция, принимающая значения в множестве подмножеств некоторого множества.

Strictly speaking, a "well-defined" function associates one, and only one, output to any particular input. The term "multivalued function" is, therefore, a misnomer because functions are single-valued.

Что такое "misnomer" переводить надо?

[Joker_vD]

А, valtih1978! Я вас вспомнил! То есть вы так и не выучили, что базис — это такая система векторов, по которой любой другой вектор однозначно раскладывается в конечную линейную комбинацию?

valtih1978 в сообщении #559280 писал(а):

Что такое "misnomer" переводить надо?

Не надо. Все знают, что это слово переводится как "неправильное употребление термина". Но Википедия — не самый главный авторитет. В 19-ом веке (и в начале 20-го) "функцией" спокойно называли многозначные функции, и все было в порядке. Сейчас принято "функцией" называть только однозначную функцию, а для многозначной всегда проговаривать слово "многозначная"... и то, это в ТФКП очень утомительно и не всегда выдерживается.

(Оффтоп)

valtih1978 в сообщении #559280 писал(а):

Многие вещи похоже нельзя объяснить без "координатного" представления.

И именно поэтому последние сотню-полторы сотни лет в математике активно развивают бескоординатный подход.

[valtih1978]

Joker_vD в сообщении #559291 писал(а):

То есть вы так и не выучили, что базис — это такая система векторов, по которой любой другой вектор однозначно раскладывается в конечную линейную комбинацию?

Как $\sin(x)$ конечно разлагается в стандартный базис?

Почему я должен был учить то о чём нигде не написано и не требуется? Кроме того

Базис Ша́удера, в определении которого рассматриваются и бесконечные линейные комбинации, а именно — разложение в ряды


Тут на конечности рядов кто-то зачем-то настаивал. А оказывается и ряды и базисы бывают бесконечными.

Joker_vD в сообщении #559291 писал(а):

valtih1978 в сообщении #559280 писал(а):

Что такое "misnomer" переводить надо?

Но Википедия — не самый главный авторитет.

Так говорят те у кого серьёзных возражений нет. Или вы главнее?
Википедия содежит только общеупотребимые вещи - господтвующие в обществе заблуждения. Поэтому утверждать что википедия не права можно только если приведённое там утверждение противоречит логике. Но как это ни удивительно, в данном случае против логики взялись выступать математики dxdy.

Joker_vD в сообщении #559291 писал(а):

и то, это в ТФКП очень утомительно и не всегда выдерживается.

При этом как мы видим, что когда выдерживается до полной строгости, обобщённая функция перестаёт быть функцией. Поэтому когда тебя один математик одёрнет: про это нельзя говорить функция, потом другой - про это нельзя говорить это не функция, так и хочется им сказать: идите ...

Joker_vD в сообщении #559291 писал(а):

И именно поэтому последние сотню-полторы сотни лет в математике активно развивают бескоординатный подход.

А я вот что не открою - везде графики да "standard basis vectors". Даже не важно что так подают. Важно что под вектором подразумевается список координат, а базис следует из этого. Как вы объясните что такое вектор, если не упорядоченый список? Упорядоченный список чего, если не координат?

[alcoholist]

valtih1978 в сообщении #559280 писал(а):

Вопрос уже поднимался. Мнения разделились.

мнения не делились:)

valtih1978 в сообщении #559280 писал(а):

Многие вещи похоже нельзя объяснить без "координатного" представления.

приведите пример одной из "многих":)

[Joker_vD]

valtih1978 в сообщении #559338 писал(а):

Как вы объясните что такое вектор, если не упорядоченый список?

Да раз плюнуть. Вектор — это элемент векторного пространства. Или так: вектор — это направленный отрезок (точнее, целый класс таких отрезков).

valtih1978 в сообщении #559338 писал(а):

А я вот что не открою - везде графики да "standard basis vectors".

Везет же вам! В моей книге по алгебраической геометрии было всего четыре или пять рисунков

Насчет же базисов Шаудера — для них нужна топологическая структура. Это несколько в стороне от алгебры.

alcoholist
Сейчас вам valtih1978 тоже задаст вопрос: "А вы чо, тут авторитет?".

Векторы... базисы... так уж сложилось, что все векторные пространства над полем $F$ размерности $n$ изоморфны $F^n$, а у $F^n$ имеется до черта автоморфизмов (собственно, выбор базиса — это задание автоморфизма $F^n$).