Задача про веревку и гвоздь

[Danmir]

Веревку, перекинутую через гладкий гвоздь, протаскивают со скоростью $v$ сквозь щель. Сила трения в щели $F$, масса единицы длины веревки $\rho$. Определите силу, действующую на гвоздь, если участки веревки по разные стороны гвоздя образуют угол $\alpha$. При какой скорости веревка отойдет от гвоздя?
Можете помочь решить ?

[Munin]

Нужны свои попытки решения.

[Kamaz]

Поскольку гвоздь неподвижен, то сила равна нулю.

[Александрович]

Danmir в сообщении #551225 писал(а):

При какой скорости веревка отойдет от гвоздя?

А почему она должна от него отойти?

[Oleg Zubelevich]

Если веревка массивная, она не может быть расположена так, как показано на рисунке. Наклоненная часть веревки должна провисать, иначе мы получим противоречие с законами движения. А если учитывать провисание, то это уже будет недеЦкая задача, и ставить ее надо будет иначе.
Видимо, надо решать задачу в тот промежуток времени, когда наклоненная часть веревки очень мала (по сравнению с чем тоже надо еще вдуматься) и ее массой можно пренебречь . По-видимому, еще надо предположить, что веревка скользит по гвоздю без трения. Что с той частью веревки, которая ниже защемления тоже надо уточнять.

-- Пт мар 23, 2012 12:01:23 --

Kamaz в сообщении #551333 писал(а):

Поскольку гвоздь неподвижен, то сила равна нулю.

Автор наверное хотел сказать, что ищется сила действующая на гвоздь со стороны веревки. Но не сказал этого. И не только этого.

[anik]

Александрович в сообщении #551335 писал(а):

А почему она должна от него отойти?

Я тоже присоединяюсь к этому вопросу.

-- Пт мар 23, 2012 16:27:44 --

Предположим, что при некоторой скорости верёвка отойдёт от гвоздя, тогда гвоздь становится уже не нужен, и его можно совсем убрать. Нехилое получилось изобретение, оказывается можно вытаскивать ведро с водой из колодца вообще без ворота или блока, если тащить верёвку с достаточной скоростью. Верёвка сама в воздухе будет изгибаться! Что-то подобное было в "Сталкере", там трос висел в воздухе.

[srm]

anik, может подразумевается отрицательная скорость (то есть, верёвку толкают). Хотя, глупо как-то и условий не достаточно.

[Xey]

Александрович в сообщении #551335 писал(а):

А почему она должна от него отойти?

Отойти - расплывчатое слово.
Касание будет всегда. Меняя направление движения веревка будет огибать гвоздь по радиусу , большему чем радиус гвоздя.
Кажется , отхождение веревки от гвоздя должно бы происходить в точке, положение которой зависит от скорости.

[Oleg Zubelevich]

Будем рассматривать часть веревки выше защемления и считать, что со стороны защемления на эту часть действует постоянная сила $F$.
Через $T$ обозначим силу натяжения веревки рядом с гвоздем. Тогда уравнение движения вертикальной части веревки имеет вид $T=Mg+F$, где $M$ -- масса вертикальной части веревки.
Пусть $G$ -- сила с которой тянут наклоненную часть веревки. Уравнение движения наклоненной части веревки в проекции на нее саму имеет вид $G-T+\rho v^2/2=0$. Откуда $G=Mg+F-\rho v^2/2$.

Danmir в сообщении #551225 писал(а):

При какой скорости веревка отойдет от гвоздя?

По-видимому, имеется ввиду скорость при которой $G=0$

[Xey]

Oleg Zubelevich в сообщении #551384 писал(а):

Будем рассматривать часть веревки

Надо бы рассмотреть элемент веревки, двигающийся по радиусу вокруг гвоздя.
С обеих сторон действует сила натяжения веревки, равнодействующая создает центростремительное ускорение, в результате которого элемент движется по радиусу. Если этот радиус больше радиуса гвоздя, веревка отходит. ("отход" происходит в некоторой точке.)

[Oleg Zubelevich]

похоже автор задачи вообще пренебрегает силами тяжести т.е. система в невесомости ($g=0$), тогда все сходится с данными в условии. И ответ на вопрос

Danmir в сообщении #551225 писал(а):

При какой скорости веревка отойдет от гвоздя?

должен оказаться таким

$$v_*=\sqrt{\frac{2F}{\rho}}$$

Силы, действующие на гвоздь -- очевидны из решения.

[Kamaz]

Такая задача есть в сборнике задач физматшколы Новосибирского ГУ. Там нет решений, но есть ответ:
$N=2(F-\rho v^2)\cos(\alpha /2)$. Мне пока не удалось получить это решение. Силой тяжести, я думаю, пренебрегают. Поскольку скорость скорость постоянна, то тянут, очевидно, с силой, равной силе трения. Если бы можно было пренебречь центростремительным вкладом обернутой вокруг гвоздя части веревки, то, очевидно, ответ был бы $N=2F\cos(\alpha /2)$. Поскольку задача все же школьная, то как найти центростремительный вклад без интегрирования пока не понятно.

-- Пт мар 23, 2012 19:40:38 --

видимо нужно попарно центростремительные силы складывать от элементов веревки находящихся симметрично относительно биссектрисы угла.

[Kamaz]

В общем, интегрированием (правда простеньким, от косинуса) этот ответ получается. Видимо, подразумевается, что школьники интегрировать умеют.

[R-o-m-e-n]

Kamaz в сообщении #551408 писал(а):

Там нет решений, но есть ответ:$N=2(F-\rho v^2)\cos(\alpha /2)$.

Это не может быть ответом. Ответ получается на следующем шаге.

А двойка точно перед скобкой?

[Oleg Zubelevich]

Kamaz в сообщении #551408 писал(а):

Поскольку скорость скорость постоянна, то тянут, очевидно, с силой, равной силе трения

не очевидно, в системе масса увеличивается