Задача про веревку и гвоздь

[Kamaz]

Oleg Zubelevich в сообщении #551435 писал(а):

не очевидно, в системе масса увеличивается

вроде считается, что силы тяжести нет, как я понимаю.

R-o-m-e-n в сообщении #551430 писал(а):

Это не может быть ответом. Ответ получается на следующем шаге.

Это именно ответ. Какой следующий шаг? это имеено полная (проинтегрированная по вссем элементам веревки, огибающим гвоздь) сила, точнее - прекция полной силы на биссектрису угла, данного в задаче.

[Oleg Zubelevich]

Kamaz в сообщении #551439 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #551435 писал(а):
не очевидно, в системе масса увеличивается


вроде считается, что силы тяжести нет, как я понимаю.

силы тяжести нет, но $\frac{d}{dt}(mv)=\dot mv+m\dot v$ и так далее. Вообщем если Вы получили ответ как в книжке не учитывая этого, то я сливаю воду. В том смысле, что пытаться получить этот ответ не стану.

[Kamaz]

собственно, я могу выложить свое решение здесь, но пока ТС не предложил своей попытки решения.

-- Пт мар 23, 2012 22:08:42 --

Oleg Zubelevich
а в вашей записи масса - это масса чего? где она меняется со временем?

[Munin]

Масса не увеличивается, поскольку верёвка, не прошедшая сквозь щель, всё равно ещё приделана к той, которую тянут.

Если Oleg Zubelevich сливает воду, то, подозреваю, сорвёт этим аплодисменты.

[Oleg Zubelevich]

Kamaz в сообщении #551451 писал(а):

а в вашей записи масса - это масса чего? где она меняется со временем?

во-первых, в моих формулах надо положить $g=0$, я не сразу сообразил, что силы тяжести нет. В качестве системы я рассматривал кусок веревки начинающийся от точки защемления. И $F$ считал как силу и от трения и от отброшенного куска веревки, который остался ниже защемления. За изменение массы в моих формулах отвечает член $\rho v^2$.

-- Пт мар 23, 2012 18:24:59 --

Kamaz в сообщении #551451 писал(а):

я могу выложить свое решение здесь

вот это не надо

[Kamaz]

Oleg Zubelevich

ну и с учетом всех изменений, которые вы написали, каков ваш ответ к задаче?

[obar]

Приведенный ответ $N=2(F-\rho v^2)\cos(\alpha /2)$ правилен. Чтобы его получить нужно учесть, что при движении веревки по гвоздю на нее действует центробежная сила. Сила натяжения веревки постоянна (гвоздь гладкий).

[Kamaz]

в этом ответе важно, что не действует сила тяжести. Это не очевидно из условия задачи.

[Oleg Zubelevich]

да у меня тоже с ответом сошлось, но совершенно элементарными средствами, без интегрирований и предположений круглости гвоздя, а условие отрыва веревки не требуют даже гладкости гвоздя и трение возможно

[Oleg Zubelevich]

Всетаки выложу решение. Задача, как я тут случайно обнаружил, болтается по интернету уже несколько лет и нигде не разобрана. а в этой ветке я еще старательно всех запутывал

Решение
Протянем ось $Y$ горизонтально справа на лево, ось $X$ вертикально вниз (см. рисунок); начало координат -- гвоздь

Запишем теорему о движении центра масс веревки

$$M\dot{\overline {v}}=\overline G+\overline F+\overline R\qquad (*)$$

$M$ -- масса веревки; $v$ -- скорость центра масс; $G$ -- сила с которой тянут веревку; $F$ -- трение; $R$ -- реакция гвоздя

Расписывая уравнение (*) по введенным осям, получаем

$$\rho v^2\cos\alpha+\rho v^2=G\cos\alpha +F+R_x,\quad \rho v^2\sin\alpha=G\sin\alpha+R_y$$

найти скорость при которой произойдет отрыв веревки можно уже сейчас: $R_x=R_y=0$. Отсюда $F=\rho v^2$.
Далее будем считать, что трения о гвоздь нет:

Kamaz в сообщении #551408 писал(а):

Поскольку скорость скорость постоянна, то тянут, очевидно, с силой, равной силе трения

т.е. $F=G$.
отсюда $R_y=\sin\alpha(\rho v^2-F),\quad R_x=(\cos\alpha+1)(\rho v^2-F).$

[anik]

Oleg Zubelevich в сообщении #551629 писал(а):

Запишем теорему о движении центра масс веревки

$$M\dot{\overline {v}}=\overline G+\overline F+\overline R\qquad (*)$$

$M$ -- масса веревки; $v$ -- скорость центра масс; $G$ -- сила с которой тянут веревку; $F$ -- трение; $R$ -- реакция гвоздя

Здесь я что-то не пойму, если скорость $v$ постоянна, то $\dot{\overline{v}}=0$. Получается тождество 0=0, или как?

-- Пн мар 26, 2012 11:36:16 --

И что, всё-таки, Вы понимаете под "отрывом верёвки"?

[Xey]

anik в сообщении #552209 писал(а):

$R$ -- реакция гвоздя

найти скорость при которой произойдет отрыв веревки можно уже сейчас: $R_x=R_y=0$

Так не должно быть, контакт веревки и гвоздя никогда не прерывается.

"Отхождение веревки"- это когда она касается гвоздя в одной точке (в других точках веревка летит по радиусу больше, чем радиус гвоздя).

[anik]

Xey в сообщении #552221 писал(а):

anik в сообщении #552209 писал(а):

$R$ -- реакция гвоздя

найти скорость при которой произойдет отрыв веревки можно уже сейчас: $R_x=R_y=0$

Так не должно быть, контакт веревки и гвоздя никогда не прерывается.

"Отхождение веревки"- это когда она касается гвоздя в одной точке (в других точках веревка летит по радиусу больше, чем радиус гвоздя).

Я этого не писал.
Если верёвка касается гвоздя в одной точке, то силы взаимодействия верёвки и гвоздя равны нулю! Это как раз случай, когда $R_x=R_y=0$.
Представьте себе верёвку натянутую горизонтально (неподвижную). Под силой тяжести эта верёвка провисает. Если гвоздём коснуться верёвки сверху или снизу, так, чтобы было касание в одной точке, но не было силы, то кривизна линии верёвки в точке касания не нарушится. Силы натяжения верёвки в точке касания направлены по касательной к цилиндрической поверхности гвоздя. Чтобы натянутая верёвка давила на гвоздь, она должна его огибать, так, чтобы силы натяжения верёвки с двух сторон гвоздя были направлены по двум касательным, составляющим между собой некоторый, пусть малый, угол. Чем больше этот угол, тем больше сила давления гвоздя на верёвку (и наоборот).
Если верёвка касается гвоздя в одной точке, то она не давит на гвоздь, и гвоздь можно вообще убрать.

[Xey]

anik в сообщении #552234 писал(а):

Я этого не писал.

Извините , приведенная мной выше цитата

Oleg Zubelevich в сообщении #551629 писал(а):

$R$ -- реакция гвоздя

найти скорость при которой произойдет отрыв веревки можно уже сейчас: $R_x=R_y=0$.

не Ваша.

Но вот эта цитата Ваша

anik в сообщении #552234 писал(а):

Если верёвка касается гвоздя в одной точке, то она не давит на гвоздь, и гвоздь можно вообще убрать.

И это заключение сомнительно. Веревка движется по радиусу большему, чем радиус гвоздя. Контакт в точке, а равнодействующая сил натяжения веревки ненулевая.

[anik]

Xey в сообщении #552244 писал(а):

И это заключение сомнительно. Веревка движется по радиусу большему, чем радиус гвоздя. Контакт в точке, а равнодействующая сил натяжения веревки ненулевая.

Давайте разберёмся.
Равнодействующая сил натяжения верёвки всегда нулевая. Если мысленно разрезать верёвку некоторым сечением, то силы натяжения в этом сечении подчиняются третьему закону Ньютона: сила действия равна силе противодействия.
Другое дело, если мы рассматриваем условие равновесия элемента длины верёвки, тогда мы имеем два сечения. Предположим, верёвка весит вертикально, тогда силы в верхнем сечении больше сил в нижнем сечении на величину силы тяжести части верёвки между сечениями. Если верёвка движется с ускорением, то необходимо добавить ещё инерционную силу для элемента длины.
Если верёвка натянута горизонтально, то её ось криволинейна. В этом случае два нормальных сечения составляют между собой некоторый угол, такой же, как и угол между силами в сечениях. Сила натяжения верёвки на косинус этого угла даст силу веса элемента длины верёвки.
Если верёвка движется по дуге, то кривизна оси верёвки обусловлена центробежными инерционными силами. Тогда произведение силы натяжения верёвки на косинус угла между плоскостями нормальных сечений, даст величину инерционной силы действующей на элемент длины верёвки, ограниченный этими плоскостями.
Кривизна оси верёвки в этих случаях не связана с гвоздём или блоком.
Чтобы натянутая верёвка действовала на гвоздь или блок, необходимо, чтобы она огибала этот гвоздь по дуге конечной длины, тогда верёвка будет действовать на гвоздь или блок силой равной произведению силы натяжения верёвки на косинус угла между радиусами, ограничивающими эту дугу. Если длина этой дуги равна нулю (касание в точке), то и сила действия верёвки на гвоздь равна нулю.