касательная плоскость через прямую

[patriarch]

Найти уравнение касательной плоскости к x^2+2y^2=1, проходящей через прямую \alpha : x=y=1
я так понимаю z=x^2+2y^2-1 частные производные в точках (1,1) равны z'_x=2 и z'_y=4
А что дальше делать?
Так как трехмерное пространство это будет цилиндр элиптический. Как точки касания найти?

[ИСН]

Найдите для начала уравнение касательной плоскости в произвольной точке.

[AKM]

patriarch,

формулы пишутся так:

я так понимаю $z=x^2+2y^2-1$ частные производные в точках (1,1) равны $z'_x=2$ и $z'_y=4$ 

а не так:

я так понимаю [math]z=x^2+2y^2-1[/math] частные производные в точках (1,1) равны [math]z'_x=2[/math] и [math]z'_y=4[/math] 

Здесь об этом рассказано.

[patriarch]

ИСН
я так понимаю вы про вот эту систему?
\begin{cases}x_0^2+2y_0^2=1 \\x_0+2y_0=1 \end{cases}$

[Алексей К.]

От фонаря, похоже, написано. Что здесь касательного, в этой системе?
Найдите для начала уравнение касательной плоскости в произвольной точке.

-- 02 янв 2012, 21:08:26 --

"Пусть точка $(x_0,y_0,z_0)$ принадлежит заданной поверхности $F(x,y,z)=0$. Тогда уравнение касательной плоскости в этой точке имеет вид..."

[patriarch]

Алексей К.
ну насколько я понял, это эллиптический цилиндр. я Записал уравнение касательной к эллипсу и подставил туда точку (1,1) это первое уравнение.
А второе уравнение это то, что точка касания принадлежит эллипсу.

[Алексей К.]

patriarch в сообщении #522356 писал(а):

Записал уравнение касательной к эллипсу и подставил туда точку (1,1) это первое уравнение.
А второе уравнение это то, что точка касания принадлежит эллипсу.

Наоборот. Но не важно, просто Вы скрыли много деталей, а результат, похоже, правильный.

Отчего систему не решаете?

-- 02 янв 2012, 21:55:48 --

patriarch в сообщении #520393 писал(а):

я так понимаю z=x^2+2y^2-1 частные производные в точках (1,1) равны z'_x=2 и z'_y=4

Вот это --- совершенно неправильное понимание вопроса, и эти частные производные ни при чём. И точка (1,1,???) не принадлежит поверхности.

Поверхность $z=x^2+2y^2-1$ не имеет ничего общего с изначально заданной поверхностью, и не является никаким цилиндром.

-- 02 янв 2012, 22:15:53 --

patriarch в сообщении #520393 писал(а):

Найти уравнение касательной плоскости к [поверхности] x^2+2y^2=1...
я так понимаю z=x^2+2y^2-1

Поймите, Вы в первой строке (условии) пишете про (неявно заданную) поверхность

$${\color{magenta}0\cdot z}+x^2+2y^2-1=0,$$

А во второй строке (решении) подменяете её (явно заданной) поверхностью

$${\color{magenta}1\cdot z}{-}(x^2+2y^2-1)=0,$$

Но это совсем другая поверхность, совсем другое множество точек $(x,y,z)$. Например, точка (1,0,99999) принадлежит первой поверхности, но никак не принадлежит второй.

(Оффтоп)

Так только Чуров решает задачки по математике. Приличные люди так не делают.

[patriarch]

Алексей К.
Систему не решал, так как не был уверен, что она правильная. Да и Вы написали, что я от балды написал всё.
Решил получилось 2 точки (1,0) и (-1/3,2/3) Это я так понимаю точки касания. А что дальше?

[bot]

Вам уже не раз говорили - пространственная у Вас задача, не плоская.

-- Вт янв 03, 2012 21:16:08 --

Алексей К.
вон красным цветом букву z раскрашивал.

[Алексей К.]

Вашу пространственную задачу можно свести к плоской, и Вы, похоже, как-то до этого догадались.
Но при этом в решении пишете всякую ерунду, мною выше отмеченную.
Получаете правильные формулы, сопровождая их странными рассуждениями.
Пропустили-сократили в условии слово "поверхность"; пишете то про эллипс, то про цилиндр.
Непонятно, как Вам помогать.

• Либо Вы чётко и обоснованно переформулируете задачу в плоскую ("Поскольку заданная поверхность --- вертикальный цилиндр, и все её касательные плоскости вертикальны, и заданная прямая параллельна оси аппликат, то ... ... ..."),
• либо Вы решаете пространственную задачу и отвечаете на уже дважды заданный вопрос:
  ИСН в сообщении #520409 писал(а):

  Найдите для начала уравнение касательной плоскости в произвольной точке.

Реально непонятно, как Вам помогать, кроме как написать за Вас все рассуждения и формулы.

[patriarch]

Алексей К. в сообщении #522348 писал(а):

От фонаря, похоже, написано. Что здесь касательного, в этой системе?
Найдите для начала уравнение касательной плоскости в произвольной точке.

-- 02 янв 2012, 21:08:26 --

"Пусть точка $(x_0,y_0,z_0)$ принадлежит заданной поверхности $F(x,y,z)=0$. Тогда уравнение касательной плоскости в этой точке имеет вид..."

ну нам нужно посчитать градиент в этой точке функции F и пусть он имеет вид $(A,B,C)$ тогда уравнение касательной плоскости будет $Ax+By+Cz+D=0$

В моем случае градиент в точке (1,1) будет (2,4,0), а плоскость имеет вид $2x+4y-6=0$

[Алексей К.]

patriarch в сообщении #522650 писал(а):

ну нам нужно посчитать градиент в этой точке функции F и пусть он имеет вид $(A,B,C)$ тогда уравнение касательной плоскости будет $Ax+By+Cz+D=0$

В моем случае градиент в точке (1,1) будет (2,4,0), а плоскость имеет вид $2x+4y-6=0$

ну нам нужно посчитать вектор нормали к поверхности F в неизвестной пока точке касания $(x_0,y_0,z_0)$, и пусть он имеет вид $(A,B,C)$. Тогда уравнение касательной плоскости будет $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$.
Неизвестную точку касания надо будет потом выбрать так, чтоб эта (пока неизвестная) касательная плоскость содержала заданную прямую.

Поэтому градиент в точке (1,1,??????), которая данной поверхности не принадлежит, никому не интересен.

[patriarch]

Алексей К.
В моем случае я так понял уравнение будет $2(x-x_0)+4(y-y_0)=0$ А почему нет слагаемого D?
теперь надо найти точку касания. Я так понимаю я нашел их из системы, написанной выше...
Так как моя поверхность это $\frac{x^2}{1^2}+\frac{y^2}{({1/{\sqrt{2}}})^2}=1$ а это эллипс.

[Алексей К.]

patriarch в сообщении #522799 писал(а):

А почему нет слагаемого D?

Слагаемое D там есть. В школе мне по этому поводу говорили: "Розуй очi --- побачиш!" (в переводе с украинского --- "Раскрой скобки --- увидишь!").

Уравнение касательной плоскости в точке $(x_0,y_0,z_0)$ неверно: Вы, похоже, по-прежнему считали градиент $(A,B,C)$ в какой-то другой точке:

Алексей К. в сообщении #522678 писал(а):

градиент в точке (1,1,??????), которая данной поверхности не принадлежит, никому не интересен

Ну хоть читайте медленно и вдумчиво...

patriarch в сообщении #522799 писал(а):

а это эллипс.

Это был бы эллипс, если бы речь шла о плоскости. Эллипс --- это кривая на плоскости. У Вас поверхность в пространстве, эллиптический цилиндр

$$F(x,y,z)=x^2+2y^2\text{\tiny${}+0z$}-1=0.$$

Ей принадлежат, например, точки (1,0,1), (1,0,-1), (-1,0,1000), (1,0,1000), (-1,0,-10000), которые плоскому эллипсу принадлежать не могут. И я уже об этом уже писал. Ну сделайте себе эскиз (сюда его впаривать не надо), увидьте разницу между одним и другим. Цилиндр весь проектируется в эллипс. Уравнения --- да, одинаковы. Но есть большая разница:

$$\begin{array}{rrl}\text{эллипс:~~}&F(x,y)=x^2+2y^2-1=0;&\quad\dfrac{\partial F}{\partial z}\text{ --- бессмыслица}.\\[9pt] \quad \text{элл. цилиндр:~~}& F\left(x,y,\text{\Huge$z$}\right)=x^2+2y^2-1=0;&\quad\dfrac{\partial F}{\partial z}\equiv0.\end{array}$$

-- 04 янв 2012, 12:28:30 --

Так чему, наконец, равен градиент функции $F(x,y,z)$ в той самой точке $(x_0,y_0,z_0)$, вполне конкретной, но пока неизвестной?
Как выглядит уравнение касательной плоскости в этой точке, которое мы вправе обозначить, например, как $P(x,y,z)=0$ (если такое обозначение вдруг пригодится)?

[patriarch]

градиент это вектор $(\dfrac{\partial F}{\partial x},\dfrac{\partial F}{\partial y},\dfrac{\partial F}{\partial z})=(2x,4y,0)$ подставим точку $(x_0,y_0,z_0)$ получим $(2x_0,4y_0,0)$
то есть $A=2,B=4,C=0$
уравнение касательной плоскости $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$
Тогда исходя из формулы получаем $2(x-x_0)+4(y-y_0)+0(z-z_0)=0$
В чем я не прав?