Я так понял, что Вы на это ответите, что Вас интересует классическая физика. Я не знаю, какова в классической фундаментальной физике роль конформной симметрии (за исключением указанного "инженерного приложения", которое не является фундаментальным, а является только вычислительным приемом). Тогда Вы мне скажите, какие классические взаимодействия генерируются евклидовыми конформными симметриями? Возможно, это пробел в моем образовании.
Надеюсь, Вы понимаете, что под словосочетанием "классическая физика" речь идет не о ньютоновой механике, а о релятивистской физике, в частности, электродинамике и теории относительности, частной и общей. Название "классическая" просто используется для отличий пути, которого придерживался Эйнштейн, и того, что отстаивал Бор. С учетом этого замечания, ответ на Ваш вопрос, при каких условиях оказываются задействованы конформные симметрии евклидова двумерия довольно простой - когда из четырех пространственно-временнЫх измерений задействованы только два, то есть когда от третьей пространственной координаты и от единственной временнОй ничего не зависит. Другими словами, в ситуациях сводящихся лишь к двум пространственным координатам. В этом случае уравнения Максвелла для вакуума, в четырехмерии имевшие 15-параметрическую группу конформных симметрий "вырождаются" для двух нетривиальных координат в уравнения соответствующие условиям аналитичности двух функций, одна из которых описывает двумерное электростатическое поле, а вторая -двумерное магнитостатическое. Замечу, что при таком "вырождении" симметрии остающихся значимыми 4-х уравнений, вдруг, вместо снижения до группы дробнолинейных преобразований плоскости, которая 6 параметрическая, ни с того ни с чего превращаются в бесконечномерные. При этом ВСЕ это бесконечное множество конформных симметрий евклидовой плоскости реализуются в виде частных состояний этих фундаментальных двумерных электростатических и магнитостатических полей. Этого примера достаточно?
1. Совершенно непонятно, что же такого особенного именно в "перегнанных из эллиптических" решений гиперболических уравнений. Почему мы должны ограничиться ими? Нужна какая-то мотивация их рассматривать, приходящая из гиперболического уравнения, а не извне.
Могу только еще раз предложить Вам подумать над тем, как может выглядеть в псевдоевклидовом двумерии векторное поле, которое соответсвует решению в двумерном евклидовом пространстве одиночному точечному источнику. В комлексных аналитических функциях такое решение соответствует функции
. Пытаясь рассматривать на псевдоевклидовой плоскости векторное поле, соответствующее
-голоморфной функции
мы ни в коей мере не перегоняем решение на евклидовой плоскости в решение на псевдоевклидовой. Мы просто изучаем векторное поле одиночного точечного источника в двумерном пространстве-времени.
2. Разумеется, математическая физика уже больше 100 лет занимается, и теми, и другими уравнениями. Очень много известно про общие свойства их решений (особенно в 2d). И они абсолютно различны. Начиная с того, что для существования решений нужны разные типы краевых условий и заканчивая эллиптической регулярностью против распространения особенностей.
Да уравнениями, и теми, и другими (двумерными Лапласа и Даламбера) математическая физика занимается давным давно. Но почему то только для евклидовой плоскости с парой уравнений Лапласа (исходным и дуальным ему) связываются двумерные нелинейные векторные поля, а с парой их гиперболических аналогов - двумерных нелинейных векторных полей НИКТО не связывает. К какому векторному полю на евклидовой плоскости приводит, скажем, аналитическая комплексная функция Жуковского знают иногда даже школьники. А к какому векторному полю приводит ее гиперболический аналог на двойных числах знает сегодня, думаю, лишь несколько человек на планете. Это разве порядок? Чем псевдоевклидовы нелинейные векторные поля связанные с парой дуальных уравнений Даламбера хуже нелинейных векторных полей связанных с парой своих аналогов в виде уравнений Лапласа?
Ответ тут, как ни странно, очень простой. Мыслить и видеть в пространстве нам на много проще, чем в пространстве-времени, даже если последнее двумерное. Вот и не пытается почти никто даже начать работать с пространственно-временнЫми векторными полями даже в простейшем двумерном случае.
Если так сложно принять логику физики, попробуйте поступить хотя бы как математик и ПОСТРОЙТЕ для пробы несколько векторных полей, связанных с
-голоморфными функциями двойной перемнной ПО ТОМУ ЖЕ САМОМУ АЛГОРИТМУ, по которому строятся векторные поля, соответствующиме налоитческим функциям комплексной переменной. Может хоть это заставит Вас задуматься, что именно я имею ввиду и чего Вы никак не хотите понять..
Нет, не вижу (кроме тавтологического). И не вижу, с чего бы он вообще он должен быть. Как я писал выше в этом же посте, Вы пытаетесь из решений одного уравнения построить решения другого, лишь внешне на него похожего. Никакой физики за этим стоять не может.
Прежде чем делать подобные утверждения, Вы бы хотя бы просто попробовали сделать конкретные построения векторных полей стоящих за конкретной комплексной аналитической функции, а потом за аналогичной функцией от двойной переменной. Во втором случае нужно научиться представлять себе не просто пространство, а пространство время. Если после пары таких простых упражнений Вы бы решили повторить то же самое, что сказали сейчас, я быть может более серьезно отнесся к Вашим словам. А так вы рубите, что называется, не глядя.
В заключение этого поста. Вы говорили, что Вас не интересует лоренцева двумерная квантовая теория. Но довольно ясно, что если в классической теории есть симметрии, генерирующие какие-то поля, то эти симметрии уж точно присутствуют и в квантовой ситуации. Тот факт, что этим мало кто занимался, скорее всего, обусловлен как раз тем, что эти симметрии ничего интересного не дают (или наоборот, дают слишком много ненужного).
Совершенно с Вами согласен, Симметрии просто обязаны отыгрывать как в классическом (геометрическом) случае, так и в квантовой ситуации. А на сегодня мы по факту имеем работу симметрий двумерной евклидовой плоскости как в классике, так и в квантовых представлениях, а вот симметрии двумерной псевдоевклидовой плоскости работают только на квантовом уровне. О работе их на геометрическом уровне как двумерных векторных полей пространства-времени практически никто даже и не задумывается.
-- Пт ноя 11, 2011 21:33:44 --Но самое интересное будет, если плоскость (абс.пр.)x(абс.вр.) свернуть в трубочку по координате абсолютного времени. Тогда двумерная лоренцева теория поля может стать уже двумерной квантовой теорией поля.
Конечно, моя физическая интуиция не очень, но ее достаточно, чтобы понять, что это полный бред.
Надеюсь, Вы обратили внимание, что не я автор цитируемого утверждения..
-гладкости сразу следует бесконечная гладкость и аналитичность. Решения гиперболической системы --- 
-гладкости (т. е. до второй производной). Таким образом, первые уравнения обладают свойством "сглаживания" решений, а вторые --- нет. Это один из примеров их различия.
и 
. С другой стороны, если переменную 
и 
страниц 10 назад), Вы плохо знакомы с тем, как именно даже в классической физике работают симметрии. И уж точно путаете понятия "уравнение обладает конформной симметрией" и "решение уравнения представляет собой конформную симметрию пространства".