Касательно геометрии пространственного трёхмерия в ОТО

[epros]

По мотивам сообщения #498318.

Someone в сообщении #498318 писал(а):

Поскольку $t$ определено как собственное время неподвижного наблюдателя в инерциальной (не вращающейся) системе отсчёта (при переходе к вращающейся была заменена только угловая координата),

Сразу хочу обратить Ваше внимание, что $t$ - не только собственное время инерциального наблюдателя, но и временнАя координата вращающейся СО (именно потому, что координата $t$ не заменялась при переходе).

Someone в сообщении #498318 писал(а):

то условие $t = \operatorname{const}$ выделяет вполне определённое множество, одно и то же в обеих системах координат, как бы его ни называть - слоем, сечением, поверхностью или ещё как-нибудь.

Да, множество точек четырёхмерия то же самое. Вопрос только в том, как правильно определить метрику на этом множестве точек, т.е., собственно, как определить метрическое пространство.

Someone в сообщении #498318 писал(а):

Метрика на любом подмножестве пространства-времени (для которого понятие метрики имеет смысл) получается всегда одним способом: как ограничение метрики пространства-времени.

А вот этот постулат ошибочен. Так Вы определите интервалы между событиями четырёхмерия, а не расстояния между наблюдателями вращающейся СО. В соответствии с физическим смыслом расстояний, их можно определить, например, локатором (по задержке отражённого светового сигнала). В локальном смысле это соответствует той метрике, которую выписал Munin.

Someone в сообщении #498318 писал(а):

А вообще, рекомендую некий общий "принцип": геометрия и физика от выбора системы координат вообще никак не зависят. Если в одной системе координат длина окружности равнялась ста километрам, то и в любой другой системе координат длина той же самой окружности будет равняться ста (таким же) километрам.

Разумеется, от выбора координат в пространственном трёхмерии его геометрия не изменится. Однако это не значит, что геометрия пространственного трёхмерия не зависит от выбора СО (даже если сечения $t = \operatorname{const}$ совпадают).

Someone в сообщении #498318 писал(а):

Как видим, пространственная часть метрики
...
с точностью до выбора единиц измерения совпадает с тем, что получил epros по формуле, которую привёл Munin (то же самое, разумеется, написано и в ЛЛ2, §§ 84, 89). Вопрос только в том, к какому "пространству" относится эта метрика. Разумеется, не к сечению $t = \operatorname{const}$, а к сечению $t' = \operatorname{const}$, где $t'$ - собственное время наблюдателя, покоящегося во вращающейся системе координат.

Обращаю Ваше внимание, что никакого сечения по собственному времени наблюдателя быть не может, ибо наблюдатель - локальный объект, т.е. его часы находятся на одной мировой линии, а значит привязать их показания к другим точкам четырёхмерия однозначным образом невозможно. Сечение производится по временнОй координате СО. Так что, увы, всё дальнейшее изложение (в том числе, про длину некой спирали, построенной в четырёхмерии) смысла не имеет.

Чтобы Вам не заморачиваться вопросами о том, как измеряются расстояния в несинхронной СО, рекомендую Вам рассмотреть двух наблюдателей, движущихся относительно лабораторной ИСО вдоль оси $x$ с одинаковой скоростью $v$. Расстояние между ними в лабораторной ИСО равно $l$. Часы у них установлены в нуль в момент $t= 0$ по часам лабораторной ИСО (т.е. часы наблюдателей не синхронны между собой). Какое расстояние измерят сами наблюдатели? Почему не $l$, хотя "сечение $t' = \operatorname{const}$" (по их "собственному времени"), казалось бы, совпадает с сечением по времени лабораторной ИСО?

[Munin]

epros в сообщении #498423 писал(а):

Вопрос только в том, как правильно определить метрику на этом множестве точек, т.е., собственно, как определить метрическое пространство.

Вопрос прежде всего в том, а существует ли это единственно-верное "правильно".

epros в сообщении #498423 писал(а):

Так Вы определите интервалы между событиями четырёхмерия, а не расстояния между наблюдателями вращающейся СО.

Хорошая формулировка. Вот только она ничего не говорит о том, чем одно лучше или хуже другого.

epros в сообщении #498423 писал(а):

Однако это не значит, что геометрия пространственного трёхмерия не зависит от выбора СО

Начните с того, чтобы внятно дефинировать, что такое вообще "геометрия пространственного трёхмерия".

Мой взгляд таков: вопрос решается тем, какая из метрик, $g_{\mu\nu}$ или $\gamma_{mn},$ входит в формулировки физических законов на этом "пространственном трёхмерии". И здесь легко заметить, что входят обе! В зависимости от того, как мы эти законы предпочтём сформулировать. Так что никакого "единственно правильного ответа" здесь нет, и "единственно правильной" геометрии - тоже. Единственно правильную геометрию можно установить для четырёхмерного пространства-времени, и только. Говоря о геометрии подмногообразий, стоит либо придерживаться чисто геометрического взгляда (метрика есть строго сужение метрики исходного многогобразия), либо вообще никакого, без предпочтений.

[Утундрий]

Почему в дискуссионном? Расщепление "3+1" есть общеизвестная и многократно обсосанная тема. Может быть неизвестная ТС-у, но тогда логичнее поместить её в "Помогите решить и разобраться".

[epros]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #498621 писал(а):

Почему в дискуссионном? Расщепление "3+1" есть общеизвестная и многократно обсосанная тема. Может быть неизвестная ТС-у, но тогда логичнее поместить её в "Помогите решить и разобраться".

Потому что известные ТС и многократно обсосанные вопросы почему-то вдруг вызывают дискуссии.

-- Чт ноя 03, 2011 10:07:33 --

Munin в сообщении #498597 писал(а):

Начните с того, чтобы внятно дефинировать, что такое вообще "геометрия пространственного трёхмерия".

См. выше - в моих ответах Someone всё сказано и про выбор множества точек пространственного трёхмерия, и про определение метрики на них.

Munin в сообщении #498597 писал(а):

В зависимости от того, как мы эти законы предпочтём сформулировать. Так что никакого "единственно правильного ответа" здесь нет, и "единственно правильной" геометрии - тоже. Единственно правильную геометрию можно установить для четырёхмерного пространства-времени, и только.

Ёлы-палы, Munin, "единственно правильную" геометрию невозможно установить вообще ни для чего, потому что Вы можете любую свою геометрию объявить "единственно правильной". Речь была о понимании пространственных расстояний между объектами, адекватном традиционно принятому в физике.

[Munin]

epros в сообщении #498727 писал(а):

См. выше - в моих ответах Someone всё сказано и про выбор множества точек пространственного трёхмерия, и про определение метрики на них.

Я не про ваш личный выбор и ваши личные определения.

epros в сообщении #498727 писал(а):

Ёлы-палы, Munin, "единственно правильную" геометрию невозможно установить вообще ни для чего, потому что Вы можете любую свою геометрию объявить "единственно правильной".

Для математических объектов да. Для физических - нет. В частности, для физического пространства-времени существует единственная естественная метрика (пока мы не нашли никаких свидетельств биметрической теории).

epros в сообщении #498727 писал(а):

Речь была о понимании пространственных расстояний между объектами, адекватном традиционно принятому в физике.

Проблема только в том, что объекты (каждый из которых задаётся мировой линией) - не принадлежат этому пространству (3-мерному сечению). Ему принадлежат только сечения этих объектов. Расстояние между объектами может быть иным, чем расстояние между сечениями, очевидно.

Может быть, ещё что-нибудь нелепое скажете про "традиционное понимание"?

[epros]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #498748 писал(а):

Может быть, ещё что-нибудь нелепое скажете про "традиционное понимание"?

Вам - не скажу. Подожду, пока в сознание придёте.

[В. Войтик]

epros в сообщении #498758 писал(а):

(Оффтоп)

Munin в сообщении #498748 писал(а):

Может быть, ещё что-нибудь нелепое скажете про "традиционное понимание"?

Вам - не скажу. Подожду, пока в сознание придёте.

Насколько я Вас понял, Вы согласны с точкой зрения Пуанкаре, что геометрия пространства зависит от определения одновременности. Но как же тогда быть с обычной евклидовой геометрией изучаемой в школах? Она же вообще не зависит от того какая рассинхронизация у часов. Я думаю, что всё-таки определение одновременности здесь не причём и геометрия пространства единственна. Каюсь, раньше я думал, что она евклидова.

[zbl]

(Оффтоп)

Э, как я удачно зашёл; интерсное что-то; только, всю предысторию по всем веткам читать лень.

epros в сообщении #498727 писал(а):

Речь была о понимании пространственных расстояний между объектами, адекватном традиционно принятому в физике.

Могу от себя уточнить традиционное понимание: в палате мер и весов лежит эталон длины, специальная мафия блюдёт, чтобы все линейки измеряли именно длину, и ничего кроме; вот, в инструкции тех приборов важный момент вписан: концы отрезков обязательно фиксировать в один и тот же момент времени.
С неинерциальными системами (даже с самыми простейшими) проблема великая есть: не удаётся однозначным образом синхронизировать часы на конечных удалениях.
Никто не знает поэтому, как измерять конечную длину даже в простейших из неинерциальных систем.
Вопрос: а ли тут кто-то из присутствующих придумал способ, как измерять конечные длины? (не вчитался ещё настолько, чтобы понять это самому).

[Munin]

zbl в сообщении #503060 писал(а):

Могу от себя уточнить традиционное понимание: в палате мер и весов лежит эталон длины, специальная мафия блюдёт, чтобы все линейки измеряли именно длину, и ничего кроме; вот, в инструкции тех приборов важный момент вписан: концы отрезков обязательно фиксировать в один и тот же момент времени.

Речь о другом важном моменте: должна ли линейка при этом стоять, или может лететь.

[Алия87]

zbl в сообщении #503060 писал(а):

С неинерциальными системами (даже с самыми простейшими) проблема великая есть: не удаётся однозначным образом синхронизировать часы на конечных удалениях.

Системы GPS и ГЛОНАСС функцианируют, успешно справляются с подобной задачей.

zbl в сообщении #503060 писал(а):

(даже с самыми простейшими) проблема великая есть: не удаётся однозначным образом синхронизировать часы на конечных удалениях.

По координатному времени (если задана метрика).

[kkdil]

Munin в сообщении #503077 писал(а):

zbl в сообщении #503060 писал(а):

Могу от себя уточнить традиционное понимание: в палате мер и весов лежит эталон длины, специальная мафия блюдёт, чтобы все линейки измеряли именно длину, и ничего кроме; вот, в инструкции тех приборов важный момент вписан: концы отрезков обязательно фиксировать в один и тот же момент времени.

Речь о другом важном моменте: должна ли линейка при этом стоять, или может лететь.

Должна лежать

Алия87 в сообщении #503110 писал(а):

Системы GPS и ГЛОНАСС функцианируют, успешно справляются с подобной задачей.

С одной стороны это правильно, с другой - это следствие некоторой договоренности. Т.е. безусловной (ИМХО) является (в предельном случае) необходимость соответствия процедуре измерения длин в "стационарном состоянии", при котором эталон длины последовательно укладывается вдоль измеряемого отрезка. При этом необходим конечный промежуток времени для проведения процедуры измерения. Все, что не противоречит предельному случаю - допустимо, что противоречит - следует выбросить.

[Munin]

(Оффтоп)

kkdil в сообщении #503152 писал(а):

Должна лежать

Вот вашего искромётного неуместного юмора давно не хватало...

[zbl]

Munin в сообщении #503077 писал(а):

Речь о другом важном моменте: должна ли линейка при этом стоять, или может лететь.

Если говорить о линейке как о приборе, то, в общем-то, без разницы: конструкции приборов бывают самые разные.
Но важно, чтобы измерение производилось в той системе отсчёта, которую мы имеем в виду.
Система отсчёта -- это способ... я тут прочитал у Someone, поэтому скажу его словами, а не своими... это способ как-то фиксировать события (точки пространства событий, мировые точки пространства-времени).
Это физический способ, а не математический; то бишь, тут должно быть всё предельно конкретно.
Например, можем фиксировать лабораторную инерциальную систему отсчёта (с ней всё более-менее ясно); потом относительно неё задать движение наблюдателей другой системы отсчёта.
Теперь нужно указать, как в неинерциальной системе отсчёта измерять, как минимум, пространственные и временную координаты, как максимум -- истинные время и длину (терминология Ландау и Лифшица).
Координаты -- это набор физвеличин, значения (измеренные, а не вычисленные) которых однозначно определяют положение в пространстве и момент во времени.
Вот, к вопросу о движущейся линейке: можно взять в качестве координат в неинерциальной системе значения времени и длины из лабораторной системы (получить их по телеграфу).
Беспроблем, но то будут только координатные величины, а не истинные.
С настоящей же длиной (да и временем тоже) тут проблема великая: синхронизация часов не однозначна, а концы отрезка нужно брать в один и тот же момент времени, когда длину измеряем.
Но до тех пор, пока мы истинные время и длину относительно неинерциальной системы отсчёта не указали, как измерять, мы систему отсчёта не задали до конца: одна система отсчёта в существовании другой не должна нуждаться, а мы координаты без лабораторной не получим сейчас.
Вот я спросил: может, кто тут придумал, как истинную длину измерять в неинерциальной системе отсчёта?

-- 13 ноя 2011 21:56 --

Алия87 в сообщении #503110 писал(а):

Системы GPS и ГЛОНАСС функцианируют, успешно справляются с подобной задачей.

Если расскажете мне, как однозначным образом синхронизировать часы на вращающейся окружности, то буду очень внимательно слушать.
Но, чур, процедура синхронизации стандартная; она стандартная в прямом смысле -- есть документы на всё это.

Алия87 в сообщении #503110 писал(а):

По координатному времени (если задана метрика).

Так что сначала-то задаётся, а что потом?: сначала координаты, потом метрика, или сначала метрика, потом координаты?

-- 13 ноя 2011 22:05 --

kkdil в сообщении #503152 писал(а):

Т.е. безусловной (ИМХО) является (в предельном случае) необходимость соответствия процедуре измерения длин в "стационарном состоянии", при котором эталон длины последовательно укладывается вдоль измеряемого отрезка. При этом необходим конечный промежуток времени для проведения процедуры измерения. Все, что не противоречит предельному случаю - допустимо, что противоречит - следует выбросить.

Всё проще значительно.
Мы запускаем тучу наблюдателей, каждый из которых записывает в блокнот факт возникновения события в физически бесконечно малом объёме вокруг себя.
Потом уже мы все блокноты собираем и чертим по ним закон движения.
Не надо пытаться придумать процедуру измерения по-непосредственнее -- есть такая вещь, как согласование измерений.
Мы можем использовать в конструкции прибора известные уже нам зависимости между физвеличинами -- не проблема их согласовать друг с другом (тем более, что этим не мы занимаемся, а метрологи).

[Munin]

zbl в сообщении #503310 писал(а):

Если говорить о линейке как о приборе, то, в общем-то, без разницы: конструкции приборов бывают самые разные.

Речь о линейке как о линейке. Прибор должен что-то показывать, так вот вопрос что: либо то же, что показывала бы движущаяся линейка, либо то же, что неподвижная.

zbl в сообщении #503310 писал(а):

Вот я спросил: может, кто тут придумал, как истинную длину измерять в неинерциальной системе отсчёта?

Чем вам не нравится, что неинерциальная система отсчёта становится инерциальной в малой области? Вы на какой-то ерунде зациклились. Боюсь, она вам мешает двигаться дальше, например, прочитать ОТО.

[epros]

zbl в сообщении #503310 писал(а):

Вот я спросил: может, кто тут придумал, как истинную длину измерять в неинерциальной системе отсчёта?

epros в сообщении #498423 писал(а):

В соответствии с физическим смыслом расстояний, их можно определить, например, локатором (по задержке отражённого светового сигнала). В локальном смысле это соответствует той метрике, которую выписал Munin.