Торможение спутника (малой) силой

[Amw]

Someone в сообщении #493038 писал(а):

Просто здравого смысла недостаточно, чтобы правильно определить движение небесных тел. Встречаются явления, которые кажутся совершенно парадоксальными. Например, спутник, тормозящийся в верхних слоях атмосферы Земли, движется по орбите постепенно уменьшающегося размера и при этом увеличивает свою скорость, а не уменьшает, как подсказывает здравый смысл.

Надо уточнить. Если спутник, движущийся по круговой орбите включит двигатели с постоянной тягой в направлении против своей скорости, то он начнет двигаться по спирали. Причем вначале шаг спирали будет прогрессивным - угол между направлением движения и силой притяжения уменьшается, при этом скорость спутника растет, затем скорость спутника и угол наклона спирали стабилизируется.
Но это опять же, если пренебречь увеличением притяжения за счет уменьшения расстояния.

[Someone]

Amw в сообщении #493334 писал(а):

затем скорость спутника и угол наклона спирали стабилизируется

Это неверно.

Amw в сообщении #493334 писал(а):

Но это опять же, если пренебречь увеличением притяжения за счет уменьшения расстояния.

Зачем же делать предположения, противоречащие закону всемирного тяготения.

Анализ движения спутника под действием малого ускорения, коллинеарного скорости, есть в книге В.В.Белецкого, Очерк седьмой.

[Amw]

Someone в сообщении #493395 писал(а):

Это неверно.

Это верно. Когда проекция силы тяжести на направление движения равна по величине силе торможения, спутник движется с постоянной скоростью.

Someone в сообщении #493395 писал(а):

Зачем же делать предположения, противоречащие закону всемирного тяготения.

Чтобы понять суть явления и разделить причины, его порождающие. Иначе просто записываем дифф.уравнение, добавляем туда всё что можно, в том числе приливные силы и говорим - вот так движется спутник. Граждане довольные расходятся по домам - никто ничего не понял...

Someone в сообщении #493395 писал(а):

Анализ движения спутника под действием малого ускорения, коллинеарного скорости, есть в книге В.В.Белецкого, Очерк седьмой.

Спасибо, мне пока не требуется.

[Joker_vD]

Amw в сообщении #493403 писал(а):

Когда проекция силы тяжести на направление движения равна по величине силе торможения, спутник движется с постоянной скоростью.

А остальная часть силы тяжести чем уравновешивается?

[Amw]

Joker_vD в сообщении #493413 писал(а):

А остальная часть силы тяжести чем уравновешивается?

Остальная часть силы тяжести перпендикулярна скорости...

[Someone]

Amw в сообщении #493416 писал(а):

Остальная часть силы тяжести перпендикулярна скорости...

Вы имеете в виду, что ускорение свободного падения не зависит от расстояния? И ускорение торможения постоянное? Если угол между направлением скорости и направлением на центр притяжения сохраняется постоянным, то движение происходит по логарифмической спирали. Вместе с тем, скорость и нормальное ускорение тоже постоянные, поэтому радиус кривизны постоянный. Значит, движение происходит по окружности. Противоречие.

Возможно, я что-то не понял. Тогда предъявите точную постановку задачи и Ваше решение.

Amw в сообщении #493334 писал(а):

Надо уточнить.

В свете сказанного, объясните, какое отношение Ваша задача имеет к задаче о торможении спутника на практически круговой орбите в верхних слоях атмосферы, когда сила торможения мала по сравнению с силой тяжести? Известно, что в такой ситуации орбита всё время остаётся практически круговой (эксцентриситет, если он не 0, уменьшается), высота (точнее, большая полуось) орбиты монотонно уменьшается, а (средняя) скорость монотонно увеличивается. Когда сила торможения из-за возрастания плотности атмосферы становится достаточно большой, спутник быстро падает.

[Amw]

Someone в сообщении #493529 писал(а):

Вы имеете в виду, что ускорение свободного падения не зависит от расстояния? И ускорение торможения постоянное? Если угол между направлением скорости и направлением на центр притяжения сохраняется постоянным, то движение происходит по логарифмической спирали. Вместе с тем, скорость и нормальное ускорение тоже постоянные, поэтому радиус кривизны постоянный. Значит, движение происходит по окружности. Противоречие.

Вы правы. При постоянном торможении постоянство скорости возможно только на небольшом участке спирали, когда её можно считать частью окружности с центром не совпадающим с центром земли. Для продолжительного сохранения постоянной скорости спутника, движущегося по спирали силу торможения придется корректировать (увеличивать)

Цитата:

В свете сказанного, объясните, какое отношение Ваша задача имеет к задаче о торможении спутника на практически круговой орбите в верхних слоях атмосферы, когда сила торможения мала по сравнению с силой тяжести?

Я хотел подчеркнуть, что не всегда при торможении спутника его скорость увеличивается

Цитата:

Известно, что в такой ситуации орбита всё время остаётся практически круговой (эксцентриситет, если он не 0, уменьшается), высота (точнее, большая полуось) орбиты монотонно уменьшается, а (средняя) скорость монотонно увеличивается. Когда сила торможения из-за возрастания плотности атмосферы становится достаточно большой, спутник быстро падает.

Если орбита "практически" круговая, то и скорость "практически" не увеличивается, а наоборот - падает... И у спирали центр кривизны от центра земли "практически" не отклоняется...

[Someone]

Amw в сообщении #493589 писал(а):

Если орбита "практически" круговая

"Практически круговая" в данном случае означает довольно плотную спираль, по которой спутник под действием сопротивления атмосферы постепенно опускается в более плотные слои атмосферы. Каждый виток спирали мало отличается от окружности (но всё-таки на конечную величину).

Amw в сообщении #493589 писал(а):

то и скорость "практически" не увеличивается, а наоборот - падает...

Ну, поскольку радиус орбиты уменьшается, то скорость увеличивается. А двигаться по неизменной круговой орбите с уменьшающейся скоростью нельзя, если, конечно, не компенсировать частично силу тяжести тягой двигателя.

Amw в сообщении #493589 писал(а):

При постоянном торможении постоянство скорости возможно только на небольшом участке спирали, когда её можно считать частью окружности с центром не совпадающим с центром земли.

Может быть, всё-таки предъявите своё решение? На форуме есть удобные средства записи формул (http://dxdy.ru/topic45202.html - видеопособие, http://dxdy.ru/topic8355.html - краткая инструкция для начинающих, http://dxdy.ru/topic183.html - более подробная информация; если Вы ранее использовали \TeX, то Вам будет совсем просто).

Amw в сообщении #493589 писал(а):

Для продолжительного сохранения постоянной скорости спутника, движущегося по спирали силу торможения придется корректировать (увеличивать)

Если произвольно управлять тягой двигателя, то можно получить много чего, что не встречается при движении спутников.

Amw в сообщении #493589 писал(а):

Я хотел подчеркнуть, что не всегда при торможении спутника его скорость увеличивается

Ну да, если торможение достаточно быстрое, то оно будет преобладать над всеми прочими эффектами, чего же тут удивительного. Или если орбита заметно эллиптическая, а торможение мало, то проявляются эффекты эллиптичности в виде колебаний скорости.

[Amw]

Someone в сообщении #493617 писал(а):

"Практически круговая" в данном случае означает довольно плотную спираль, по которой спутник под действием сопротивления атмосферы постепенно опускается в более плотные слои атмосферы. Каждый виток спирали мало отличается от окружности (но всё-таки на конечную величину).

Увеличение скорости спутника может происходить только за счет ненулевой проекции силы тяжести на направление движения, причем она должна быть больше, чем сила торможения. Если вы хотите орбиту считать практически круговой, то и ускоряющую силу должны считать практически нулевой.

Someone в сообщении #493617 писал(а):

Ну, поскольку радиус орбиты уменьшается, то скорость увеличивается.

Это несомненно, но чтобы скорость увеличилась, тело должно обязательно пройти по спирали и пренебрегать этим нельзя, иначе нЕгде взять ускоряющую силу. По-другому никак.

Someone в сообщении #493617 писал(а):

Может быть, всё-таки предъявите своё решение? На форуме есть удобные средства записи формул

Да я формул для нашего разговора и не писал... Даже рисунок ещё пока в голове.

Someone в сообщении #493617 писал(а):

Ну да, если торможение достаточно быстрое, то оно будет преобладать над всеми прочими эффектами, чего же тут удивительного.

При любом торможении тело движущееся по окружности сначала приобретет отрицательное ускорение и высота и скорость начнут уменьшаться. Именно из-за того, что радиус кривизны перестанет совпадать с центром притяжения появится ускоряющая сила, которая будет расти до тех пор, пока не превысит тормозящую - тогда скорость вновь начнет увеличиваться. Так что "монотонность" - это не всегда.

[Someone]

Amw в сообщении #493641 писал(а):

Увеличение скорости спутника может происходить только за счет ненулевой проекции силы тяжести на направление движения, причем она должна быть больше, чем сила торможения. Если вы хотите орбиту считать практически круговой, то и ускоряющую силу должны считать практически нулевой.

А я всё время явно говорю о малой силе.

Amw в сообщении #493641 писал(а):

Это несомненно, но чтобы скорость увеличилась, тело должно обязательно пройти по спирали и пренебрегать этим нельзя, иначе нЕгде взять ускоряющую силу. По-другому никак.

Ну, Вы всё время представляете себе круговую начальную орбиту. Однако можно подобрать такую начальную орбиту, чтобы при торможении скорость монотонно возрастала, а высота спутника монотонно убывала. В книге В.В.Белецкого об этом говорится. Он, правда, обсуждает не торможение, а разгон с малой тягой, но надо просто в его формулах обратить направление времени.

Amw в сообщении #493641 писал(а):

Это несомненно, но чтобы скорость увеличилась, тело должно обязательно пройти по спирали и пренебрегать этим нельзя, иначе нЕгде взять ускоряющую силу. По-другому никак.

Начальная орбита должна быть специально подобранным эллипсом. Либо пренебречь начальным отрезком.

Amw в сообщении #493641 писал(а):

При любом торможении тело движущееся по окружности сначала приобретет отрицательное ускорение и высота и скорость начнут уменьшаться. Именно из-за того, что радиус кривизны перестанет совпадать с центром притяжения появится ускоряющая сила, которая будет расти до тех пор, пока не превысит тормозящую - тогда скорость вновь начнет увеличиваться. Так что "монотонность" - это не всегда.

Разумеется. Если начинать с круговой орбиты, так и будет.

Amw в сообщении #493641 писал(а):

Да я формул для нашего разговора и не писал... Даже рисунок ещё пока в голове.

Тогда откуда такая уверенность?

Amw в сообщении #493334 писал(а):

Надо уточнить. Если спутник, движущийся по круговой орбите включит двигатели с постоянной тягой в направлении против своей скорости, то он начнет двигаться по спирали. Причем вначале шаг спирали будет прогрессивным - угол между направлением движения и силой притяжения уменьшается, при этом скорость спутника растет, затем скорость спутника и угол наклона спирали стабилизируется.
Но это опять же, если пренебречь увеличением притяжения за счет уменьшения расстояния.

Стабилизация скорости означает, что с некоторого момента она становится практически постоянной, а это приводит к противоречию, о котором я Вам писал. Поэтому давайте уж Вы потрудитесь и напишете своё решение. Вдруг я чего не заметил.

Gubkov в сообщении #493672 писал(а):

Так как в спутнике, мы видим парение предметов, это означает что есть коридор невесомости, вопрос какая высота коридора невесомости.

Вам ответили уже, что нет никакого "коридора невесомости". Как бы спутник ни двигался, если на него не действуют никакие силы, кроме силы тяжести, то внутри него будет невесомость. Если, конечно, он не слишком большой.

Вас просили написать формулу, определяющую скорость спутника на круговой орбите. Где она? Вместо формулы опять руками только размахиваете и глупости свои повторяете. Из-за Вас модератор закроет тему.

Вы не понимаете, что ли, что Ваши утверждения просто противоречат измерениям траекторий спутников? Сейчас расстояния до космических аппаратов и их скорости измеряются буквально с точностью до миллиметров, и хорошо известно, что чем выше круговая орбита спутника, тем меньше его скорость. Впрочем, со времён Ньютона никто в этом и не сомневался (я имею в виду, разумеется, специалистов).

Amw, пожалуйста, если Вы соберётесь написать решение своей задачи, сделайте это в отдельной теме, а то здесь, боюсь, не получится.

[Amw]

Someone в сообщении #493677 писал(а):

А я всё время явно говорю о малой силе.

От величины силы торможения зависит только шаг спирали. Главное, чтобы она не больше силы тяжести была, иначе так "затормозим", что улетим в открытый космос...

Someone в сообщении #493677 писал(а):

Ну, Вы всё время представляете себе круговую начальную орбиту. Однако можно подобрать такую начальную орбиту, чтобы при торможении скорость монотонно возрастала...

Наверное... Но это только тогда, если скорость и без торможения возрастает... То при определенном небольшом торможении она тоже может возрастать, но медленее.

Someone в сообщении #493677 писал(а):

...надо просто в его формулах обратить направление времени.

Это да, но мы, думаю, и сами справимся - так интереснее.

Someone в сообщении #493677 писал(а):

Разумеется. Если начинать с круговой орбиты, так и будет.

Someone в сообщении #493677 писал(а):

Стабилизация скорости означает, что с некоторого момента она становится практически постоянной, а это приводит к противоречию, о котором я Вам писал.

Так я ж с Вами в этом согласился...

Someone в сообщении #493677 писал(а):

Amw, пожалуйста, если Вы соберётесь написать решение своей задачи, сделайте это в отдельной теме, а то здесь, боюсь, не получится.

Хорошо. Если Gubkov не угомонится (а он явно нарывается, несмотря на предупреждение), так и придется сделать...

[Jnrty]

Jnrty:

Данная тема отделена от темы "Какова ширина коридора невесомости.", перенесённой в "Пургаторий". Обсуждение началось с сообщения Someone, в котором было упомянуто торможение спутника в верхних слоях атмосферы.

[Someone]

Рассматривается двумерная задача. Далее $x,y$ - декартовы координаты на плоскости, $r=\sqrt{x^2+y^2}$, штрих обозначает производную по $r$, точка - производную по времени $t$, $v=\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}$ - скорость.

Уравнения движения материальной точки в гравитационном поле с потенциалом $U$ имеют вид

$$\begin{cases}\ddot x=-\frac{\partial U}{\partial x},\\ \ddot y=-\frac{\partial U}{\partial y}.\end{cases}\eqno{(1)}$$

Мы будем рассматривать случай центрального поля. Выбирая начало координат в центре поля, получим $U=U(r)$, $\frac{\partial U}{\partial x}=\frac{xU'(r)}r$, $\frac{\partial U}{\partial y}=\frac{yU'(r)}r$, поэтому уравнения (1) будут иметь вид

$$\begin{cases}\ddot x=-\frac{xU'(r)}r,\\ \ddot y=-\frac{yU'(r)}r.\end{cases}\eqno{(2)}$$

В нашей задаче, кроме силы тяжести, на материальную точку действует ещё одна сила, направленная навстречу скорости и создающая постоянное ускорение $a$. Добавляя эту силу к уравнениям, получим

$$\begin{cases}\ddot x=-\frac{xU'(r)}r-\frac{a\dot x}v,\\ \ddot y=-\frac{yU'(r)}r-\frac{a\dot y}v.\end{cases}\eqno{(3)}$$

Рассмотрим величину

$$E=\frac{v^2}2+U(r).\eqno{(4)}$$

Если умножить её на массу материальной точки, то получится полная механическая энергия точки. Однако, поскольку масса точки в уравнения движения не входит, мы её вводить не будем. Дифференцируя $E$ по $t$, после простых вычислений ($\dot r=\frac{x\dot x+y\dot y}r$, $\dot v=\frac{\dot x\ddot x+\dot y\ddot y}v$, $\dot U(r)=U'(r)\dot r$) и подстановки выражений для $\ddot x$ и $\ddot y$ из уравнений (3) получим

$$\dot E=-av.\eqno{(5)}$$

Предположим, что ускорение $a$ очень мало по сравнению с ускорением силы тяжести ($-U'(r)$), а орбита очень близка к круговой (фактически она представляет собой спираль с тесно расположенными витками). Тогда центростремительное ускорение ($-\frac{v^2}r$) практически равно ускорению силы тяжести, то есть,

$$\frac{v^2}r=U'(r)\eqno{(6)}$$

(равенство (6) и все последующие - приближённые). Отсюда находим $v=\sqrt{rU'(r)}$ и $v'=\frac{(rU'(r))'}{2\sqrt{rU'(r)}}=\frac{U'(r)+rU''(r)}{2v}$, откуда по теореме о производной обратной функции

$$\frac{dr}{dv}=\frac{2v}{U'(r)+rU''(r)}.\eqno{(7)}$$

Далее находим

$$\dot E=\frac{dE}{dv}\dot v=\left(v+U'(r)\frac{dr}{dv}\right)\dot v=\left(v+\frac{2vU'(r)}{U'(r)+rU''(r)}\right)\dot v=\frac{3U'(r)+rU''(r)}{U'(r)+rU''(r)}\cdot v\dot v.$$

Сравнивая этот результат с формулой (5), получим $\frac{3U'(r)+rU''(r)}{U'(r)+rU''(r)}\cdot v\dot v=-av$, откуда

$$\dot v=-a\cdot\frac{U'(r)+rU''(r)}{3U'(r)+rU''(r)}.\eqno{(8)}$$

Для степенного потенциала

$$U(r)=Kr^k\eqno{(9)}$$

(предполагаем, что $kK>0$, иначе круговые орбиты невозможны) получаем $U'(r)=kKr^{k-1}$, $U''(r)=k(k-1)Kr^{k-2}$, и подстановка в формулу (8) даёт

$$\dot v=-a\cdot\frac{kKr^{k-1}+k(k-1)Kr^{k-1}}{3kKr^{k-1}+k(k-1)Kr^{k-1}}=-\frac k{k+2}\cdot a.\eqno{(10)}$$

В частности, для ньютоновского потенциала $k=-1$ и, соответственно, $\dot v=-\frac{-1}{-1+2}\cdot a=a$, то есть, скорость движения точки под действием тормозящей силы увеличивается, а не уменьшается, как подсказывает "здравый смысл", причём, ускорение в точности равно "торможению". Подробнее этот вопрос рассматривается в книге В.В.Белецкого (В.В.Белецкий. Очерки о движении космических тел. "Наука", Москва, 1972).
Для того случая, который хотел рассматривать Amw, $k=1$ (если я его правильно понял), и получается $\dot v=-\frac a3$, то есть, точка тормозится, но втрое медленнее, чем "ожидается".