Геометрическая задачка

[nnosipov]

Батороев в сообщении #485825 писал(а):

Кстати, такой угол формально существует... при $\alpha=-45^\circ$.

Я, естественно, имел в виду положительные $\alpha$, меньшие $90^\circ$. Если допустить произвольные $\alpha$, то да, некоторые из них приведут к ответу $\alpha+10^\circ$. Но это произойдёт не при $\alpha=-45^\circ$. Проверьте ещё раз.

[Батороев]

Да, я ошибся! Нет таких углов.
Не учел, что в формуле $\tg(\alpha=-45^\circ)$ " в квадрате... и подставил (-1)

-- 24 сен 2011 23:58 --

Keter в сообщении #486019 писал(а):

Батороев Позвольте узнать, как Вы получили данную формулу.

Провел отрезок $KM$, параллельный основанию. Опустил из точек $K$, $M$ и $N$ перпендикуляры к основанию и рассмотрел полученный треугольник $NLM$, где $L$ - точка пересечения указанного выше перпендикуляра из т. $N$ с отрезком $KM$.

[Keter]

Батороев пока что не вижу связи Как Вы его(треугольник) так рассмотрели?

Получилась такая картинка:

[Батороев]

Дополнительные построения:
- проведите перпендикуляр к основанию из т. $K$ (точку пересечения с основанием обозначьте через $P$);
- точку пересечения с основанием перпендикуляра из т. $N$ обозначьте через $Q$, из точки $M$ - через $S$;
- проведите отрезок $KC$.

$\tg \angle NML=\dfrac {NL}{LM}$

$\angle NML$ равен тому углу, который при рассчете искомого добавляется к $\alpha$.

$NL=NQ-KP$
$LM=AC-AQ-AP$

$KP=AP\cdot \tg \alpha=PC\cdot\tg 30^\circ$
$NQ=AQ\cdot\tg \alpha = QC\cdot\tg 40^\circ$

Ну, вроде и все, что необходимо для дальнейших рассчетов. Остальное - дело техники.

p.s. Для упрощения выкладок длины упомянутых отрезков лучше обозначить маленькими буквами .

[Keter]

Батороев в сообщении #486177 писал(а):

Дополнительные построения:
- проведите перпендикуляр к основанию из т. $K$ (точку пересечения с основанием обозначьте через $P$);
- точку пересечения с основанием перпендикуляра из т. $N$ обозначьте через $Q$, из точки $M$ - через $S$;
- проведите отрезок $KC$.

$\tg \angle NML=\dfrac {NL}{LM}$

$\angle NML$ равен тому углу, который при рассчете искомого добавляется к $\alpha$.

$NL=NQ-KP$
$LM=AC-AQ-AP$

$KP=AP\cdot \tg \alpha=PC\cdot\tg 30^\circ$
$NQ=AQ\cdot\tg \alpha = QC\cdot\tg 40^\circ$

Ну, вроде и все, что необходимо для дальнейших рассчетов. Остальное - дело техники.

p.s. Для упрощения выкладок длины упомянутых отрезков лучше обозначить маленькими буквами .

Чего-то не получается у меня. Сколько не подставлял стороны не сокращаются. Как Вы добились, что у вас одна переменная $\alpha$ осталась?

[Батороев]

Для того, чтобы сокращалось, необходимо приводить все к одному параметру. В данном случае - к длине стороны $AC$:

$KP=AP\cdot \tg\alpha=PC\cdot \tg 30^\circ=(AC-AP)\cdot \tg 30^\circ$

$NQ=AQ\cdot \tg\alpha=QC\cdot \tg 40^\circ=(AC-AQ)\cdot \tg 40^\circ$

Из этих выражений сначала выделите $AP$ и $AQ$.

[Keter]

Что мы имеем:

$\bigtriangleup ABC, AB = BC$

$\angle MAC = 30^\circ$

$\angle NCA = 40^\circ$

__________________________________

$\angle BNM - ?$

Сделано доп. построение:

$KM || AC;$
$KP \perp AC;$
$NQ \perp AC;$
$MS \perp AC;$
$NL \perp KM;$
отрезок $KC.$

Доп. построение нам даёт несколько прямоугольных треугольников:

$\bigtriangleup NLM (\angle L = 90^\circ)$
$\bigtriangleup KPC (\angle P = 90^\circ)$
$\bigtriangleup NQC (\angle Q = 90^\circ)$
$\bigtriangleup MSC (\angle S = 90^\circ)$
$\bigtriangleup KPA (\angle P = 90^\circ)$
$\bigtriangleup MSA (\angle S = 90^\circ)$

Далее анализирую:

$\angle A = \angle C = \alpha$

$\tg \angle NML = \dfrac {NL} {LM}$

$\angle BNM = \alpha + \angle NML$

$NL = NQ - KP$

$LM = AC - AQ - AP (AP = SC)$

$KP = AP \tg \alpha = PC \tg 30^\circ (\angle MAC = \angle KCA)$

$NQ = AQ \tg \alpha = QC \tg 40^\circ$

$KP = (AC - AP) \tg 30^\circ$

$NQ = (AC - AQ) \tg 40^\circ$

$\dfrac {NL} {LM} = \dfrac {NQ - KP} {AC - AQ - AP} = \dfrac {(AC - AQ) \tg 40^\circ - (AC - AP) \tg 30^\circ} {PC - AQ}$

$PC - AQ = QC - AP$

$QC = \dfrac {NQ} {\tg 40^\circ}$

$AQ = \dfrac {NQ} {\tg \alpha} = \dfrac {QC \tg 40^\circ} {\tg \alpha}$

$AP = \dfrac {KP} {\tg \alpha} = \dfrac {PC \tg 30^\circ} {\tg \alpha}$

$PC = \dfrac {NQ} {\tg 30^\circ}$

И сократить стороны не выходит.

(Оффтоп)

Оптимальность по Парето — такое состояние системы, при котором значение каждого частного критерия, описывающего состояние системы, не может быть улучшено без ухудшения положения других элементов.

[Toucan]

Keter в сообщении #486546 писал(а):

Выкладываю свои рукописи)

Выкладывание "рукописей" нарушает правила форума, поэтому тема перемещена в Карантин.

Запишите формулы в $\TeX$. Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[Toucan]

Вернул

[Keter]

Toucan в сообщении #486692 писал(а):

Вернул

Спасибо. Больше не повторится.

[Батороев]

(Оффтоп)

Нормальные герои всегда идут в обход!

Батороев в сообщении #486455 писал(а):

Для того, чтобы сокращалось, необходимо приводить все к одному параметру. В данном случае - к длине стороны $AC$:

$KP=AP\cdot \tg\alpha=PC\cdot \tg 30^\circ=(AC-AP)\cdot \tg 30^\circ$

$NQ=AQ\cdot \tg\alpha=QC\cdot \tg 40^\circ=(AC-AQ)\cdot \tg 40^\circ$

Из этих выражений сначала выделите $AP$ и $AQ$.

Я ж просил выделить $AP$ и $AQ$ сразу из вышеуказанных выражений.

$AP=\dfrac {AC\cdot \tg 30^\circ}{\tg\alpha+\tg 30^\circ}$

$AQ=\dfrac {AC\cdot \tg 40^\circ}{\tg\alpha+\tg 40^\circ}$

[Keter]

Получается так:
$\dfrac {NL} {LM} = \dfrac {\dfrac {AC \tg 40^\circ \tg \alpha} {\tg \alpha + \tg 40^\circ} - \dfrac {AC \tg 30^\circ \tg \alpha} {\tg \alpha + \tg 30^\circ}} {AC - \dfrac {AC + \tg 30^\circ} {\tg \alpha + \tg 30^\circ} - \dfrac {AC \tg 40^\circ} {\tg \alpha + \tg 40^\circ}}$

[Keter]

Продолжаем:

$(\tg \alpha + \tg 40^\circ) (\tg \alpha + \tg 30^\circ)$ сокращаем сразу, ибо приводим к общему знаменателю.

Преобразовываем числитель:

$AC \tg 40^\circ \tg^2 \alpha + AC \tg 40^\circ \tg 30^\circ \tg \alpha - AC \tg 30^\circ \tg^2 \alpha - AC \tg 40^\circ \tg 30^\circ \tg \alpha$

Знаменатель:

$AC \tg^2 \alpha + AC \tg \alpha \tg 30^\circ + AC \tg 40^\circ \tg \alpha + AC \tg 40^\circ \tg 30^\circ - AC \tg 30^\circ \tg \alpha - AC \tg 30^\circ \tg 40^\circ - AC \tg 40^\circ \tg \alpha - AC \tg 40^\circ \tg 30^\circ$

В итоге получаем:

$\dfrac {NL} {LM} = \dfrac {AC \tg^2 \alpha (\tg 40^\circ - \tg 30^\circ)} {AC (\tg^2 \alpha - \tg 40^\circ \tg 30^\circ)} = \dfrac {\tg^2 \alpha (\tg 40^\circ - \tg 30^\circ)} {\tg^2 \alpha - \tg 40^\circ \tg 30^\circ}$

То, что нужно. Спасибо за помощь!

(Оффтоп)

Какого рода нужны эксперименты по Вашему проекту ГЭС?

-- 27.09.2011, 16:16 --

В больших формулах $AC$ можно было вынести

[Батороев]

Keter в сообщении #486859 писал(а):

(Оффтоп)

Какого рода нужны эксперименты по Вашему проекту ГЭС?

(Оффтоп)

Мне лично ГЭС не была нужна. Я просто высказал идею. Затем обнаружил, что идея не нова... по крайней мере, для зарубежных стран.

[Keter]

(Оффтоп)

В каких же странах эта идея с ГЭС работает?

Еще тему хочу открыть специально для подготовки к олимпиаде по математике. Хотя.. каждая мечта наказывается ее исполнением