Марафон головоломок! [Конкурс с призами]

[Clever_Unior]

photon в сообщении #466328 писал(а):

Задача № 18

Существуют ли два квадратных трехчлена $ax^2+bx+c$ и $(a+1)x^2+(b+1)x+(c+1)$ с целыми коэффициентами, каждый из которых имеет по два целых корня?

(Решение задачи №18)

Пусть $a,b,c$-четные. Тогда, по теореме Виета из второго уравнения: $x_1x_2=-\frac{b+1}{a+1},x_1+x_2=\frac{c+1}{a+1}$Первое число нечетно, второе тоже, но сумма и произведение двух чисел не могут быть нечетными одновременно, а значит такое невозможно.
Пусть тогда $a$ - четно, $b$ и $c$ нечетны.
По теореме виета из второго уравнения: $x_1x_2=-\frac{b+1}{a+1}$- вообще не целое число, а значит и хотя бы один из корней не целый.
Для всех остальных случаев доказывается аналогично.
Ответ нет.

Задача №88
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил VAL тут]

Натуральное число $n$ таково, что $n+1$ делится на $[\sqrt{n}]+1$. Докажите, что $(n-1)(n-3)$ делится на $[\sqrt{n}]-1$.

[venco]

(Решение Задачи №56)

$\begin{tabular}{rrrrrr|r} 0&1&1&1&1&1&5\\ -1&0&1&1&1&1&3\\ -1&-1&0&1&1&1&1\\ -1&-1&-1&1&1&1&0\\ -1&-1&-1&-1&1&1&-2\\ -1&-1&-1&-1&-1&1&-4\\ \hline -5&-3&-1&2&4&6 \end{array}$

Повторю свою головоломку, которую вроде бы здесь никто не решил.

Задача №89.

Магнитные палочки с шариками есть у кого?
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Geomag_snub_dodecahedron.jpg
Надо составить из минимального количества железных шариков и магнитных рёбер жёсткую плоскую конструкцию, содержащую квадрат. Магниты можно соединять только через шарики. Минимальный угол между палочками у одного шарика 60 градусов (на самом деле чуть меньше, но несущественно). Магнит по шарику скользит, т.е. простой треугольник - жёсткий, а квадрат - нет. Цель - минимизировать количество деталей (шарики+палочки).
Напомню: конструкция должна быть жёсткой, плоской и без пересечений.

[photon]

VAL в сообщении #467658 писал(а):

Решение задачи № 57)

Нет, авторский вариант принципиально отличается от ваших - если вы найдете его, то сомнения вряд ли останутся

-- Вт июл 12, 2011 18:52:01 --

Clever_Unior в сообщении #467708 писал(а):

(Решение задачи №18)

правильно

[VAL]

venco в сообщении #467710 писал(а):

(Решение Задачи №56)

$\begin{tabular}{rrrrrr|r} 0&1&1&1&1&1&5\\ -1&0&1&1&1&1&3\\ -1&-1&0&1&1&1&1\\ -1&-1&-1&1&1&1&0\\ -1&-1&-1&-1&1&1&-2\\ -1&-1&-1&-1&-1&1&-4\\ \hline -5&-3&-1&2&4&6 \end{array}$

Верно. Верю, что сможете обобщить на произвольное $n$ :)

[Clever_Unior]

VAL в сообщении #467490 писал(а):

Задача №71

Очередная трехступенчатая загадка:

1. Это появилось в Англии намного раньше, чем, казалось бы, должно было появиться.

2. Отечественное название этого намекает на предназначение, далекое от нынешнего.

3. Их индивидуальные названия часто соотносятся вовсе не с той местностью, где они расположены.

(Решение задачи №71)

Вокзал.
С последнего предложения:
3. Московский вокзал находится в Питере.
2. Изначально вокзалы были развлекательными заведениями.
1. Первый вокзал в Англии появился в качестве развлекательного заведения, примерно в 17ом столетии.

Задача №90
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил Lunatik тут]

Найти все пары целых чисел x,y:
${x^2} + x = {y^4} + {y^3} + {y^2} + y$

[VAL]

(Решение задачи №88)

Задача №88

Цитата:

Натуральное число $n$ таково, что $n+1$ делится на $[\sqrt{n}]+1$. Докажите, что $(n-1)(n-3)$ делится на $[\sqrt{n}]-1$.

Пусть $[\sqrt{n}]=m$. На отрезке $[m^2, \dots, m^2+2m]$ имеется ровно два числа, для которых $n+1$ кратно $m+1$. Это $m^2+m-1$ и $m^2+2m$. Первое из них на один больше кратного $m-1$, а второе - на 3.

Задача №91
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил lim0n тут]

Кто этот человек: "Час со сна буфетас"?

-- 12 июл 2011, 19:40 --

(Решение задачи № 53)

Цитата:

Задача № 53
В благодарности Её полюбила Зема, которая еще в 1999, задала часть вопроса, волнующего современников, наткнувшихся на Её именное посвящение 16-го года.
Назовите Её, и что это за именное посвящение? И что за вопрос?

1. ОНА - Марина Цветаева.
2. Блоку, по-видимому (у нее их 1916 году несколько было).
3. "Почему 5?"
Ничего умнее не придумал и не нашел.

Задача № 92
А кто этот человек: "Получи по башке, стукач!"?

-- 12 июл 2011, 19:41 --

Clever_Unior в сообщении #467727 писал(а):

(Решение задачи №71)

Вокзал.
С последнего предложения:
3. Московский вокзал находится в Питере.
2. Изначально вокзалы были развлекательными заведениями.
1. Первый вокзал в Англии появился в качестве развлекательного заведения, примерно в 17ом столетии.

Правильно!

[EtCetera]

venco в сообщении #467475 писал(а):

Задача №68

"... break long string for double base while lock is sealed in ..."
В какой тональности исполняется это произведение?

(Решение задачи №68)

Данное произведение исполняется в тональности до-диез мажор (C#). Близкая тональность фа-диез мажор (F#) вроде бы отсекается присутствием в произведении ноты "is".

Пояснение.
В названиях языков программирования C# и F# присутствует знак "диез" из музыкальной нотации. Приведенное произведение состоит из ключевых слов (keywords) и имен типов, характерных для этих языков.

P.S. Ввиду исключительной музыкальной безграмотности мог ошибиться в наименованиях тональностей.

Задача №93
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил VAL тут]

а) Он был 12-м из 14-ти.
б) Запись года его рождения имеет горизонтальную ось симметрии, запись года смерти $\text{---}$ и горизонтальную, и вертикальную.
в) Таких, как он, было трое; как его отец $\text{---}$ двое; его дед был единственным.
Кто он?

[VAL]

(решение задачи №93)

Цитата:

Задача №93
а) Он был 12-м из 14-ти.
б) Запись года его рождения имеет горизонтальную ось симметрии, запись года смерти $\text{---}$ и горизонтальную, и вертикальную.
в) Таких, как он, было трое; как его отец $\text{---}$ двое; его дед был единственным.
Кто он?

Александр II

Задача №94
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил EtCetera тут]

Его манеpа появляться неожиданно отpажена в известной поговоpке;
Сpеди афpиканцев с ним лучше всего знакомы танзанийцы, кенийцы, а также
студенты и выпускники унивеpситета Дpужбы Hаpодов имени Патpиса Лумумбы.

[venco]

EtCetera в сообщении #467737 писал(а):

(Решение задачи №68)

Данное произведение исполняется в тональности до-диез мажор (C#). Близкая тональность фа-диез мажор (F#) вроде бы отсекается присутствием в произведении ноты "is".

Пояснение.
В названиях языков программирования C# и F# присутствует знак "диез" из музыкальной нотации. Приведенное произведение состоит из ключевых слов (keywords) и имен типов, характерных для этих языков.

P.S. Ввиду исключительной музыкальной безграмотности мог ошибиться в наименованиях тональностей.

Правильно.

[EtCetera]

VAL в сообщении #467741 писал(а):

(решение задачи №93)

Цитата:

Задача №93
а) Он был 12-м из 14-ти.
б) Запись года его рождения имеет горизонтальную ось симметрии, запись года смерти $\text{---}$ и горизонтальную, и вертикальную.
в) Таких, как он, было трое; как его отец $\text{---}$ двое; его дед был единственным.
Кто он?

Александр II

Верно.

VAL в сообщении #467741 писал(а):

Задача №94
Его манеpа появляться неожиданно отpажена в известной поговоpке;
Сpеди афpиканцев с ним лучше всего знакомы танзанийцы, кенийцы, а также
студенты и выпускники унивеpситета Дpужбы Hаpодов имени Патpиса Лумумбы.

(Решение задачи №94)

Снег.

Задача №95
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил venco тут]

Продолжите последовательности:
а) П Е П А И Е ...
б) В И Г Н Л Ю ...
в) Б В Д ... (задача-шутка)

[Clever_Unior]

Цитата:

(Решение задачи №88)

+.

[venco]

(Решение задачи №86)

В следующий раз солнце взойдёт через год со стороны Гренландии.
Солнце на северном полюсе восходит в день весеннего равноденствия (+- неровности рельефа и неточность определения момента восхода). Следующее равноденствие будет через 365.242374 суток, т.е. Земля повернётся относительно предыдущего года на 0.242374 оборота, или 87°15' на запад.
Т.е. солнце взойдёт где-то с меридиана 49°39'W - там находятся Гренландия, Атлантический океан, и край южной Америки.

Задача №96
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил VAL тут]

Разговор в магазине:

- А сколько будет стоить 37?
- 14.
- А 8?
- 7.
- А 255?
- Ну сами посчитайте, 21.

О чём они говорят и сколько будет стоить 7264?

[VAL]

(Решение задачи №96)

venco в сообщении #467797 писал(а):

Задача №96
Разговор в магазине:

- А сколько будет стоить 37?
- 14.
- А 8?
- 7.
- А 255?
- Ну сами посчитайте, 21.

О чём они говорят и сколько будет стоить 7264?

Наборные номера из цифр. 28

Задача №97
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил venco тут]

Вершины одного тетраэдра расположены строго внутри другого.
Может ли оказаться, что сумма длин ребер у первого тетраэдра больше, чем у второго?
(Примечание: тетраэдр - произвольная треугольная пирамида)

[Lunatik]

(решение №90)

Вбиваем выражение в вольфрам, получаем (-1;-1) и (0;0) http://www.wolframalpha.com/input/?i=so ... integers+y^4%2By^3%2By^2%2By^1%3Dx^2%2Bx

(решение №96)

Речь идёт о номере отеля (за каждую цифру - 7 у. е.). Значит 7264 стоит 28

Задача №98
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил venco тут]

Найти сумму $\frac{\sin{1}}{\cos{0}\cdot\cos{1}}+\frac{\sin{1}}{\cos{1}\cdot\cos{2}}+...+\frac{\sin{1}}{\cos{n-1}\cdot\cos{n}}$

cepesh: Автор задачи обнаружил ошибку в условии (13 июл 2011 08:23:10 BST). Вместо синуса нуля в числителях должен стоять синус единицы. Исправлено 13 июл 2011 10:23:10 BST

[venco]

VAL в сообщении #467800 писал(а):

(Решение задачи №96)

venco в сообщении #467797 писал(а):

Задача №96
Разговор в магазине:

- А сколько будет стоить 37?
- 14.
- А 8?
- 7.
- А 255?
- Ну сами посчитайте, 21.

О чём они говорят и сколько будет стоить 7264?

Наборные номера из цифр.

Нет ответа "сколько будет стоить", но принято в виду тривиальности.
Оппа! Уже есть. Принято.

(Решение задачи №97)

Можно. Внешний тетраэдр должен быть очень высоким и тонким с маленьким основанием. Сумма рёбер порядка $3h$. Внутренний - две вершины далеко от других двух вершин, сумма рёбер порядка $4h$.

Задача №99
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил EtCetera тут]

Найти максимальную площадь эллипса вписанного в треугольник со сторонами 3, 4 и 5.