Марафон головоломок! [Конкурс с призами]

[photon]

VAL в сообщении #467490 писал(а):

(Решение задачи №70)

Загадка размещена на многих сайтах, а, вообще, это из газеты. И решение у вас точно неправильное, хотя я принял бы несколько вариантов в пределах небольшого отклонения

[Clever_Unior]

(Решение задачи №70)

Жалоба.
Новая жена-ужасная обуза
Нависла доля надо мной
Взял тещу-ягодку
В придачу за женой.

Задача №72
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил photon тут]

Продолжите последовательность чисел:
6 15 35 77

[photon]

Clever_Unior в сообщении #467493 писал(а):

(Решение задачи №70)

Тоже есть ошибка

[Clever_Unior]

(Решение задачи №60)

Ванна.

Задача №73
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил VAL тут]

Решить уравнение:
$xy-x=y^5+y^3-7,xeN,yeN$

-- 12.07.2011, 10:30 --

(Решение задачи №70)

Жалоба новожена
Ужасная обуза
Нависла надо мной:
Взял тещу - род арбуза –
В придачу за женой.

Прошу пост не удалять. Извините, новую задачу не опубликовал, все таки уже две ветки пошло, куда больше!

[photon]

Clever_Unior в сообщении #467498 писал(а):

(Решение задачи №70)

Да что ж вы одно исправите, в другое привнесете ошибку. Я думаю, не стоит дальше комбинировать ошибки, а просто дисквалифицировать эту задачу: примерно уже понятно, что должно быть.

-- Вт июл 12, 2011 10:40:32 --

(Решение задачи №72)

Решение задачи неоднозначно. Если имеется в виду сумма удвоенного предыдущего числа и очередного нечетного, то $163$, а если очередного простого, то $165$.

Задача №74
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил VAL тут]

Ты забыла ужасные годы:
За тобою ушёл я,
...

И ты вспомнила мое молчанье грубое
мои земные ангелы
...


А кому это посвящено?

[Nataly-Mak]

(Решение задачи №72)

... 143, 221, ... каждый член последовательности - произведение двух соседних простых чисел

Задача №75
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил venco тут]

Нарисуйте на доске размером 9х9 максимальный неперсекающийся замкнутый маршрут шахматного коня (соединяются центры начального и конечного полей хода коня).

[Clever_Unior]

Цитата:

(Решение задачи 72)

Пока что все ответы, что были названы верны. Но (не в обиду вам, Nataly-Mak), считаю, что бал нужно засчитать photon'у, так как именно он ответил первым!

[cepesh]

Дорогие участники Марафона!

Не размещайте чисто математические задачи. Головоломки требуют смекалки, а не богатого опыта в решении диофантовых уравнений.

Не размещайте задачи, которые можно легко найти через Google.

Четко соблюдайте нумерацию задач.

Еще раз. Четко соблюдайте нумерацию задач.

Оформлять решения и новые задачи надо именно так, как написано в правилах, без самодеятельности.

При продолжении злоупотреблений я введу штрафные санкции.

Если ваше сообщение нарушает правила марафона, оно может быть удалено без предупреждения.

[Zealint]

VAL в сообщении #467481 писал(а):

Задача №69
Сколько существует пятизначных натуральных чисел, не представимых в виде суммы нескольких (более 1) последовательных натуральных чисел?

(Решение задачи №69)

Степени двойки никак не представимы в виде суммы последовательных натуральных чисел. Таковых на указанном отрезке всего 3 штуки: 16384, 32768, 65536. Все остальные числа представимы.

Д-во. Во-первых

$$p+\ldots+q=\frac{(p+q)(q-p+1)}{2}$$

Поскольку множители имеют разную чётность, среди делителей обязательно будет нечётное число, значит степень двойки никак нельзя представить в виде такого произведения.
Во-вторых, если число, скажем $x$, не является степенью двойки, то оно допускает представление в виде $x=(2z+1)2^y$ ($z>0$). То есть нужно подобрать такие $p$ и $q$, чтобы

$$\frac{(p+q)(q-p+1)}{2}=(2z+1)2^y$$

Это всегда можно сделать. Если $2^y>z$, то возьмите

$$ p=2^y-z,q=2^y+z, $$

иначе,

$$ p=z-2^y+1,q=2^y+z $$

Задача №76
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил VAL тут]

Комбинаторный компот.

0, 1, 3, 11, 37, 124, ???

Какое число автор задачи хотел бы видеть вместо знаков вопроса?

[VAL]

(решение задачи №74)

photon в сообщении #467500 писал(а):

Задача № 74
Ты забыла ужасные годы:
За тобою ушёл я,
...

И ты вспомнила мое молчанье грубое
мои земные ангелы
...


А кому это посвящено?

Анне Петровне Керн

Задача № 77
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил venco тут]

Существует ли выпуклый многоугольник с попарно различными сторонами, который можно одним прямолинейным разрезом разбить на два равных? многоугольника?

PS: Если опять соврал в номерах, застрелюсь (виртуально).

[cepesh]

Штраф!

Zealint и VAL лишаются 1 балла каждый за неправильную нумерацию задач.

Нумерация исправлена мной на верную.

Почему был выписан штраф?

[photon]

VAL в сообщении #467524 писал(а):

(решение задачи №74)

Правильно

[VAL]

Clever_Unior в сообщении #467498 писал(а):

(Решение задачи №60)

Ванна.

Верно

(Решение задачи №73)

Цитата:

Задача №73
Решить уравнение:
$xy-x=y^5+y^3-7,xeN,yeN$

Выражаем $x$ через $y$ и делим углом $y-1$.
$x$ может быть натуральным тольки при делителях 5.
Итого имеем: $(1597,6), \ (33,2)$
(В целых есть еще два решения $(7,0), \ (219,-4)$)

Задача №78
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил venco тут]

Имеется 1000 одинаковых с виду шаров, один из которых радиоактивен.
Детектор может за 1 рубль проверить группу из любого количества шаров и выяснить, есть ли среди них радиоактивный.
При этом, если он есть, то все шары в группе становятся радиоактивными.
За каждый шар, про который можно с уверенностью сказать, что он нерадиоактивный платят 1 рубль.
Какую максимальную прибыль можно обеспечить?

[cepesh]

Штраф!

VAL лишается 1 балла за неправильную нумерацию задачи.

Нумерация исправлена мной на верную.

Почему был выписан штраф?

[Clever_Unior]

Да уж, бедный Val...

VAL в сообщении #467514 писал(а):

Задача № 77
Существует ли выпуклый многоугольник с попарно различными сторонами, который можно одним прямолинейным разрезом разбить на два равных? многоугольника?

(Решение задачи №77)

Пусть у нас n-угольник. Если в любом n-угольнике провести линию, которая не проходит ни через одну вершину, то получим разбиение на k и k+1 - угольники. Поэтому нужно проводить разрез через ОДНУ вершину. Тогда, чтобы k-угольники были равными, их стороны должны быть равны, что невозможно по условию.

Задача №79
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил Zealint тут]


Переложите три спички из двадцати четырех так, чтобы получилось 14 квадратов из семи.