манера настаивать, с одной стороны на полном отсутствии в формальных конструкциях какой-либо связи с реальностью и явным физическим содержанием
То, что это не моя позиция - это совершенно точно. Математика, при всей своей абстрактности, имеет связь с реальностью. Тем она и ценна.
А какова ваша позиция? Только Кант настаивал на существовании формальной логики, которая не отвлекается от всякого физического содержания. Ваша связь с реальностью никакого выражения на формальном уровне не имеет. Потому требует обоснования, а не простой констатации - "математика полезна на практике". Тем более что были указаны контрпримеры.
Цитата:
как же вы можете утверждать, что нельзя создать совершенно непознаваемый объект?
Вы меня всё время с кем-то путаете. Я ничего не говорил про возможность создания непознаваемого объекта.
Говорили про невозможность, но никак это не обосновали.
Цитата:
Я про то, что вы не варите в возможность создания из подручного материала физической модели абсолютно непознаваемого для человека физического явления?
Я пока не понял, как Вы определяете "непознаваемое".
Никак пока не определял.
EvgenyGR задал хороший вопрос о связи математики и сознания, его модель предусматривала поступление информации извне. Тем самым решался важный вопрос о наличии в сознании элемента выходящего за рамки логики. Интуицию иногда называют сверхсознанием за решение задач, которые не удавалось решить при помощи логики днями, месяцами, годами. Появление информации извне позволяет очень просто определить интуицию. Но фактически в таких моделях логика используется для определения чего-то за пределами логики, а это не совсем “логично”.
Думаю нужно сразу начинать с существования математических объектов за пределами любых формальных систем, иначе смысла нет начинать обсуждение. Начнем с определения формальной системы:
Смысл (слова, предмета и т.п.) возникает в том случае, когда осмысляемое ставится в соответствие с чем-то внешним, находящимся за пределами осмысляемого предмета (т.е. с "контекстом"). Отсюда вытекает определение смысла как "трансцендирования". Смысл всегда есть выход за пределы "актуально данного", "наличного". Когда говорят, что в полностью формализованной системы смысл полностью отсутствует, то имеют в виду, по существу, что в рамках заданного формализма запрещается всякое трансцендирование т.е. выход за пределы данного формализма. То есть для определения и использования символов формальной системы можно использовать только ту информацию, которая в явной форме содержится "внутри" данной формальной системы - и никакую другую. Иными словами, формальная система должна быть "герметична", замкнута в себе. Все, что необходимо для работы с ней, для понимания ее выражений, - содержится в ней самой.
Итак, все формальные системы "герметичны" даже противоречивые. Поиски нашего объекта начнем с битовой модели Каминского. Непознаваемый объект (множество более 10 бит) не может быть определен 10-битовым наблюдателем ни при каких действиях, т.е. не зависимо от того правильно он строит свои рассуждения или противоречиво в любом случае описание не может быть получено как в формальных так и неформальных рассуждениях. Это хорошо, поскольку даже противоречивые формальные системы не должны давать разрешение на существование таких объектов . Далее мы видим, что некоторые свойства непознаваемого проявляют неизвестные битовые объекты. Единственное условие при этом - неизвестный битовый объект дожжен всё время рассуждений оставаться неизвестным. Это уже наталкивает на некоторые мысли, но не совсем понятно что это означает для человека.
В качестве подсказки выбираем предсказание Канта: если формальные построения понимать как логику, которая отвлекается от всякого содержания познания, то должна существовать логика (формальная) которая отвлекается не от всякого содержания познания. Если Кант под содержанием познания понимал соответствие реальности, то нам это не подходит, поскольку все формальные выкладки выполняются до любой попытки поставить математику в соответствии реальным физическим ситуациям. Нам нужно чтоб на уровне и во время формальных рассуждений существовало что-то внешнее, возможно внутри другой формальной системы, от чего формальные рассуждения зависят. Всякие сопоставления с реальностью и физический смысл математических результатов мы отбрасываем как не относящийся к делу. Остается открытая формальная система, которая требует поступления информации из другой формальной системы, при условии неизвестности этой второй системы и алгоритма конструирования поступающей извне внешней информации на всем протяжении формальных построений в первой системе.
Открытая формальная система – что это может значить? Слава богу у нас есть физический аналог чего-то подобного. Гейзенберг ясно дал понять, что для некоторых объектов 100% информации не будет известно никогда. Проблемы в квантовой механике, удачно именуемые логическими катастрофами, могут подсказать нам, чем могла бы быть наша открытая формальная система. Известно, что в момент редукции волновой функции логические свойства исследуемого объекта радикально меняются. Все рассуждения до этого момента должны быть отброшены и начаты заново, потому как объект уже совершенно другой. Итак, в первой открытой системе для каждого вывода непредсказуемым образом меняется свойства некоторого объекта. До тех пор пока не станет известно, как свойства поменялись формальные рассуждения не могут быть продолжены. Можно также каждый раз при упоминании объекта Х радикально менять его свойства, разрешенные действия над ним и что-угодно еще, размещая алгоритм этих изменений вне рассматриваемой формальной системы. Очевидно, что никакие априорные соображения не позволят нам указать какие утверждения выводимы. А какие нет в таких условиях. Более того, алгоритм может зависеть от способа доказательств и потому результаты его применения будут невоспроизводимы. Т.е. разные цепочки рассуждений приводят к разным изменениям объекта Х.
Еще хуже необходимость ожидания внешней информации для продолжения рассуждений. Во второй открытой системе мы ничего не меняем, но во внешней формальной системе будем решать самый важный вопрос – разрешать или нет каждый вывод, каждое следствие, каждый шаг рассуждений. Для неугодных нам выводов мы может продлить время ожидания за пределы рассмотрения формальных построений, тем самым, запретив их полностью и окончательно. Интересно что тогда не имеет значения были ли исходные предпосылки открытой системы непротиворечивыми. Если нам нужен один единственный вывод, то мы разрешаем только те рассуждения, которые приводят к такому выводу и запрещаем все остальные. Тогда для двух открытых формальных систем результат будет одинаковый, даже если одна из них использует противоречивые исходные предпосылки. Тем самым уравнивается различие между противоречивыми и непротиворечивыми формальными системами и уже нельзя говорить, что в противоречивой системе возможны какие-угодно выводы.
Третья открытая формальная система еще менее требовательна, в ней мы ничего не будем менять и разрешаем любые рассуждения, но зато контролируем истинность каждого утверждения. Мы имеем власть насильно назначать истинность каждого утверждения и вывода без ограничений, и это значение должно использоваться формальной системой. Алгоритм до безумия прост – каждое утверждения мы объявляем ложным . С такой ситуацией не справится никакая формальная система. В непротиворечивых системах должно существовать хотя бы одно истинное утверждение. В противоречивых – тем более. Значит, получаемые результаты не могут классифицироваться ни тем, ни другим образом. Масштабы этой ситуации трудно представить, ведь единственное требование “неизвестное должно оставаться неизвестным на всем протяжении рассуждений” накладывается не на формальную систему, а на математика выполняющего выкладки. Значит и никакой заменой исходных предпосылок расширением математики или построением метатеорий ситуация не может быть сведена к "герметичной" формальной системе, поскольку мы продолжаем назначать ложность всем без исключения утверждениям как при смене исходных предпосылок так и переходу к метарассуждениям, которые должны по задумке обосновать алгоритм поступления внешней информации.
Вот что может случиться когда формальная система сталкивается с объектом выходящим далеко за пределы возможности формальных систем. Интуитивно это можно понимать так, что при возникновении “образов” их нужно хватать и фиксировать, не заботясь о том противоречивы получаемые формулировки или нет, следуют они друг за другом, каковы правила манипулирования ими, можно ли выводить следствия и т.п. Образы просто появляются без каких-либо цепочек рассуждений так любимых формальной логикой.