2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Обоснование классической механики.
Сообщение12.03.2011, 09:54 


15/11/09
1489
Динамическую систему с.м.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0% ... 0%BC%D0%B0
можно описывать как поток или как каскад. Классическая механика описывает механическую систему как поток, но в опыте мы можем наблюдать только каскад. А это значит, что обосновать механику только на основе обобщения опыта (без домыслов о непрерывности), мы можем только поняв какими свойствами должна обладать динамическая система заданная как каскад, чтобы ее траектории хорошо приближались траекториями получаемыми из классической механики. И только потом мы можем высказать предположение, домыслить, что на самом деле наблюдаемая нами как каскад механическая система является потоком.
И так оставим модель точечных масс (или абсолютно твердых тел), а вот от непрерывность координат, времени постараемся избавиться. Придется избавиться и от скорости (конструкции использующей в своем определении непрерывность времени). Как это можно сделать? Для начала надо как-то описать механическую систему и ее наблюдение. Так как в дальнейших рассуждениях нам потребуется понятие малого, необходимо сразу оговорить, что численные значения степеней свободы (координаты) изменяются по абсолютному значению в пределах некоторого интервала – характерного размера. Пусть некоторые величины изменяются в пределах гораздо меньшего интервала, но все же не слишком малого так, что характерный размер для всех величин будет одинаковым. Все наши наблюдения над физической системой проводятся в течении какого-то «разумно большого» интервала времени , а под малым интервалом времени $\Delta t$ будет пониматься интервал времени за который изменения всех наблюдаемых величин (координат) будут малы относительно характерного размера. Если задуматься то сама возможность существования такого $\Delta t$, уже представляет некую гипотезу. Пусть так и будет, назовем это Первой гипотезой.

Как можно описать переход системы из одного состояния в другое. Опыт говорит нам, что правдоподобный выглядит следующая схема: мы знаем все координаты в некий момент времени $t_0$ и в момент $t_0+ \Delta t$, тогда значения координат в момент времени $t_0 + 2\Delta t$ , будут однозначно определены. Это обобщение опыта назовем Второй гипотезой (гипотеза детерминированности). Иными словами :

$F(X_1,X_2 )= X_3$

Где $X_1, X_2, X_3$ – координаты в моменты времени $t_0, t_0+ \Delta t$ и $t_0 + 2\Delta t$ соответственно, а $F(x,y)$ некоторая функция . Будем предполагать, что выбранный интервал времени $\Delta t$ в дальнейшим будет постоянен, т.е. все наблюдаемые состояния всегда отстоят друг от друга на этот малый, но разумно малый интервал времени. Из Первой гипотезы следует, что $\Delta _1 =X_1-X_2 $ и $\Delta _2=X_3- X_2$ малые величины порядка $\Delta t$. Введем Третью гипотезу (гипотеза инертности) обобщающую опыт: $\Delta _1+\Delta _2$ порядка $  \Delta t^2$ , т.е. малая в квадрате. Четвертая гипотеза (гипотеза обратимости тоже следует из опыта), если

$ F(X_1,X_2 )= X_3$ (1)
то
$F(X_3,X_2 )= X_1$ (2)

Пятая гипотеза существует функции $F_1 (X_2) )$ и $f(X_2)$ порядка характерной величины , такие, что

$F(X_1,X_2 )=F(X_2,X_2 ) + F_1\Delta _1+ f(X_2) \Delta t^2  + O(\Delta _1 ^3  ) $ (3)

Эту гипотезу так же можно считать обобщением опыта, она фиксирует тот факт, что последующие состояние классической механической системы с точностью до малых более высокого порядка определяется текущей координатой и скоростью , т.е. предыдущее значение координаты с точностью до малых более высокого порядка учитывается только линейно. Подставляя (3) в (1), (2) и опуская малое второго порядка имеем:
$F(X_2,X_2 )+ F_1(X_2)\Delta _1 + O(\Delta t^2  )    =  X_2+ \Delta _2$ (4)
$F(X_2,X_2 )+ F_1(X_2)\Delta _2+ O(\Delta t^2  )     =  X_2+ \Delta _1$ (5)

Складывая (4) и (5) имеем:

$2F(X_2,X_2 )+ F_1(X_2)(\Delta _1+\Delta _2 )+ O(\Delta t^2  )    =2X_2+ (\Delta _1+\Delta _2 )$

Используя Третью гипотезу $F(X_2,X_2 )= X_2+ O(\Delta t^2)$ (6)

Перепишем еще раз (1) , (2) используя (3), (6) и пренебрегая малыми второго порядка

$X_2+  F_1(X_2)\Delta _1 + O(\Delta t^2) = X_3$ (7)
$X_2+  F_1(X_2)\Delta _2 + O(\Delta t^2) = X_1$ (8)

Складывая (7) и (8) и используя Третью гипотезу имеем:

$X_1- 2X_2+ X_3=\Delta t^2f'$(9)

Где в $f'$ собраны все малые второго порядка, что можно сделать на основании (3). Если поделить правую и левую часть на $\Delta t^2$ . Справа получим величину порядка характерного размера, а слева разностную схему для второй производной по времени от координаты.
Поставим теперь задачу по-другому. Допустим нам известны значения всех координат $X_0$ некоторой механической системы в момент времени, $t_0$ и значения всех координат $X_(n+1)$ в некий конечный момент. Тогда промежуточные значения координат мы можем найти как решение системы уравнений

$X_0 -  2X_1+ X_2=\Delta t^2f' (X_1)$
$X_1 -  2X_2+ X_3=\Delta t^2f' (X_2)$
$X_2 -  2X_3+ X_4=\Delta t^2f' (X_3)$ (10)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
$X_(n-1) -  2X_n+ X_(n+1)=\Delta t^2f' (X_n)$

Для простоты изложения будем дальше считать, что механическая система имеет только одну степень свободы (обобщение на многие степени свободы не составляет труда). Введем еще одно предположение, функция $f' (X)$ такая, что существует некая функция $U(X)$, такая что: $f' (X) = \frac {\partial} {\partial X}  U(X)$ , тогда $i$ – тое уравнение системы (10) может быть получено как частная производная по $X_i$, от следующего выражения:

$(X_1-X_0)^2+ (X_2-X_1)^2+(X_3-X_2)^2+ … +(X_(n+1)-X_n)^2  - 2\sum_{i=1}^{n}{U(X_i)}\Delta t^2
$ (11)
Обозначим $X(i+1)-X_i=V_i\Delta t$ , что можно сделать на основании Первой гипотезы, причем $V_i$ имеет порядок характерного размера, сокращаем лишнее $\Delta t$, и получим конструкцию, напоминающую интегральную сумму.

И вот только теперь сделав предположение о непрерывности координаты по времени (точнее, что истинная траектория достаточно хорошо, на рассматриваемом интервале времени, приближается некой непрерывной траекторией), и переходя к пределу $ \Delta  t -> 0$ , получим из (9) известный закон Ньютона, а из (11) принцип наименьшего действия.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.03.2011, 13:41 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
EvgenyGR в сообщении #422010 писал(а):
Динамическую систему можно описывать как поток или как каскад.
Не читайте советских газетрусской википедии!
EvgenyGR в сообщении #422010 писал(а):
Классическая механика описывает механическую систему как поток, но в опыте мы можем наблюдать только каскад.
Нет никаких "каскадов" - есть дискретные отображения (последовательности отображений, точнее). Динамические системы с дискретным временем, если хотите.

Ни в каком "опыте" мы не "можем наблюдать только каскад" - это всего только значит, что опытов Вы отродясь не делали. Если Вы про то, что в опыте мы получаем как результат измерений в дискретный момент времени - конечномерный вектор, компоненты которого рациональные числа, то это не так. Результат измерения описывается куда более сложными понятиями. Например, повторив тот же самый опыт - Вы получите совершенно другой набор чисел. Всему этому учат еще на первом курсе физфака.
EvgenyGR в сообщении #422010 писал(а):
получим из (9) известный закон Ньютона
Я не вижу в (9) "известный закон Ньютона" (где масса, где сила?). И уж тем более, не вижу в (11) "принципа наименьшего действия". Кто-то еще их там кроме EvgenyGR видит?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.03.2011, 14:04 


15/11/09
1489
По массе.
Для многих степеней свободы нужно дополнительно предположить, что существуют такие $  m_i $ , что $ f’_i  = \frac{1}{\ m_i} \frac{\partial }{\partial x_i} U(X) $
Частная производная берется по степени свободы.
 !  whiterussian:
Поправила ваши формулы на предмет звездочек. Запомните - умножение обозначается точкой или вообще никак!

 Профиль  
                  
 
 Re: Обоснование классической механики.
Сообщение30.10.2012, 01:41 


18/10/12
19
Из текста автора темы, можно понять, как он формирует заказ на состав исходной информации, ориентируясь на метод ее последующей обработки. Но вот вопрос: в достаточной ли степени математик представляет себе данное физическое явление, чтобы заказанная им информация достаточно полно его отражала.
Вот схема, которой, как мне кажется, пользовался бы физик в данной ситуации. За основу взята импульсно-инерционная кинематическая модель движения, которую И.Ньютон применил для доказательства теоремы1 (Principia, кн.1,отд.2).
Рассмотрим простейший случай. Пусть некий твердый кубик приводится в движение другим предметом, путем динамического воздействия на одну из его граней (точка 1) в направлении противоположной грани (точка 2).
Из наблюдений нам известно (например, Канель Г. И., Фортов В. Е., Разоренов С. В. "Ударные волны в физике конденсированного состояния" УФН 177 809–830 (2007) http://ufn.ru/ru/articles/2007/8/a/), что с началом динамического воздействия т.1 начинает перемещаться в направлении т.2, которая, в течение некоторого времени $\Delta\tau(1)$, остается неподвижной. В этот период происходит сжатие кубика и нарастание динамического воздействия на него.
Затем, когда т.2 приходит в движение, расстояние между точками начинает увеличиваться в течение некоторого времени $\Delta\tau(2)$. Кубик растягивается, а сила, действующая на него – уменьшается.
Наконец, т.1 отрывается от источника динамического воздействия, и весь кубик начинает двигаться по инерции, периодически сжимаясь и растягиваясь.
Если кинематический источник движется с постоянной скоростью, то, впоследствии он не догонит кубик, который так и продолжит инерционно двигаться. Если же источник движется ускоренно, то он догонит кубик и кинематический процесс повториться.
Следует отметить, что здесь представлена упрощенная схема взаимодействия. В частности, во второй фазе мы не указали, что т.2, начав перемещаться в сторону от т.1, может остановиться, или даже обратить свое движение, вследствие поперечного растяжения кубика.
Если обозначить координату символом x, а ее производную по времени - x', то перемещения граней кубика в процессе взаимодействия предположительно можно записать в виде

x(1) = x(1,0) + x(1)' \Delta t + x(1)’’ \Delta t^2/2! + x(1)’’’ \Delta t^3/3! …

x(2) = x(2,0) + x(2)' \Delta t + x(2)’’ \Delta t^2/2! + x(2)’’’ \Delta t^3/3! …

где $\Delta t \sim l/c = l \sqrt{\rho/E}$, с; с – скорость распространения сжатия (растяжения), м/с; Е – модуль упругости, $H/m^2$; $\rho$ , $kg/m^3$; $l = (x(2,0) - x(1,0)) $ – расстояние между гранями (1) и (2) недеформированного кубика, м.

Или, в виде «брутто» формулы, усредняя (<…>) по всем фазам одного полного цикла взаимодействия

$F = <(x(1) - x(2) + l)/l.E.S> =<m.(x’’ + k(1).l/c x’’’ + …)>$

где F – сила, Н; $S.l.\rho = m$ - масса кубика, кг; S – площадь грани, $m^2.$
Все фазы описанного выше процесса можно наблюдать непосредственно, осторожно толкая мыльный пузырь, парящий в воздухе. Колебания же твердого тела можно наблюдать в характерном рисунке вихревой дорожки за ускоренно движущейся пластиной ( М.Ван-Дайк, Альбом течений, фиг.81).
Очевидно, что при подготовке приемлемой схемы для механического движения, пришлось отказаться от парадигмы сугубо внешнего его описания в форме динамики одной материальной точки. При этом, следовало конкретизировать понятия сила, масса и перемещение. А также то, что, собственно, соответствует этим понятиям в наблюдениях.
Далее, важно отметить, что существует фаза взаимодействия, в продолжение которой кинематический источник не управляет движением испытуемого тела. В течение этого относительно малого, но все же конечного, промежутка времени, кубик движется по инерции.
Следовательно, если источник движения меняет направление своего действия, то кубик перемещается не по «брутто» траектории, а вдоль отрезков прямых линий, которые названная траектория просто ограничивает.
Это расхождение можно записать в форме соотношения неопределенности, как площадь треугольника, образованного двумя последовательными векторами скорости и соответствующим вектором перемещения.
Еще одно, весьма важное обстоятельство. Имеются основания ожидать, что упругие свойства материала кубика, его размеры и абсолютная величина силы могут отразиться в «брутто» уравнении механического движения (например, в форме коэффициента динамичности). Они повлияют на от, как быстро, и сходится ли вообще, соответствующий ряд.

Возможно, что уравнения кинематики внешнего движения не являются, вообще говоря, самодостаточными с физической точки зрения.
Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group