множества. отношение эквивалентности

[Sverest]

Ну как функция, зависимость $a^2+b^2$

[ИСН]

Что "иже херувимы" "как функция"? Множество-то у нас из чего состоит, наконец?

[Sverest]

множество состоит из чисел

[ИСН]

Множество, которое состоит из чисел, называется $\mathbb R$. А у Вас $\mathbb{R\times R}$. Наверное, эти значки тут не просто так. Наверное, это что-то другое.

-- Чт, 2011-06-02, 11:17 --

прочитайте где-нибудь наконец про декартово произведение множеств, ну.

[Sverest]

декартово произведение это например $A\{1,2\}, B\{3,4\}, A \times B=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)\}$

[ИСН]

Ну зашибись. А тут у Вас декартово произведение $\mathbb R$ на $\mathbb R$. Так из чего, из каких объектов оно состоит?

[Sverest]

из точек плоскости

[ИСН]

Наконец-то. Да, можно сказать и так. Теперь, когда мы выяснили, о чём говорим,

ИСН в сообщении #452698 писал(а):

Ну, ткните пальцем в какой-нибудь элемент множества. Любой. Один элемент. От балды. Выбрали? Какой? Так, а теперь какие элементы ему эквивалентны?

[Sverest]

элемент множества $(1,1)$ ему эквивалентно $(2,2)$

[Joker_vD]

Правда? Т.е. $1^2 + 1^2 = 2^2 + 2^2$? Ну нет.

Подсказка:
Hack attempt!

[ИСН]

Joker_vD, Вас когда-нибудь кормили манной кашей из насоса для нефтепродуктов производительностью 10 л в секунду? Надо же как-то соотносить скорость подачи со скоростью восприятия, ну.

[Joker_vD]

ИСН
ТС уже третью неделю делает это задание. Боюсь, если напор манной каши не увеличить, ТС так свои глотательные способности и не натренирует. И задание не сделает.

[Sverest]

Joker_vD в сообщении #452972 писал(а):

Правда? Т.е. $1^2 + 1^2 = 2^2 + 2^2$? Ну нет.

Подсказка:
Hack attempt!

Значит $(1,1)$ эквивалентны $((-\sqrt2)^2 , 0^2)$
И это класс эквивалентности

[Gortaur]

Joker_vD, Вашей кашей забило важные отделы.

Sverest Давайте посмотрим на плоскость. На ней много точек, все разные. Мы хотим их все разделить на несколько классов (множест, подможеств) по определенному признаку. Например, так как$2^2+2^2 = 8$, то точка $(2,2)$ в классе номер $8$ (назовем его $C_8$), а так как $3^2+3^2 = 18$, то $(3,3)\in C_{18}$.

Важные вопрос: сколько таких классов? Очевидно, что если взять класс $C_{-1}$, то есть все точки плоскости, которые удовлетворяют соотношению $x^2+y^2 = -1$, то класс этот получится пустой. Нет таких точек на плоскости, чтобы их координаты удовлетворяли этому уравнению. Так будет для любого отрицательного числа.

Теперь, надо подумать про $C_0$. В этом классе одна лишь точка: $(0,0)$. Потому что если взять другую точку, то сумма квадратов будет точно больше нуля.

Классы $C_r$, где $r>0$ - самые интересные. В каждом из них бесконечно много точек. Что объединяет все точки в одном классе $C_1$? то, что сумма квадратов их координат равна $1$. Если мы нарисуем на плоскости все точки класса $C_1$, то нам нужно нарисовать все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению $x^2+y^2 = 1$. Получится окружность радиуса $1$.

Отношение эквивалентности говорит, что точки эквивалентны (то есть лежат в одном классе) тогда и только тогда, когда сумма квадратов их координат одинаковая. Сумма квадратов координат - квадрат радиуса окружности, на которой лежит точка. То есть получаем: точки эквивалентны (то есть лежат в одном классе) тогда и только тогда, когда они лежат на одной окружности. (Всюду здесь имеются ввиду окружности с центром в начале координат)

[Алексей К.]

Sverest в сообщении #453027 писал(а):

Значит $(1,1)$ эквивалентны $((-\sqrt2)^2 , 0^2)$

Sverest, Вы очень сложно выразились, и я пытаюсь понять и проверить эту фразу.
Я знаю, что $(-\sqrt2)^2=2$ и что $ 0^2=0$.
И я заменяю то на это. И я получаю:
\fbox{значит $(1,1)$ эквивалентны $(2 , 0)$}.
Уууф, перевёл. Теперь проверяю.

$$1^2+1^2 = 2^2+0^2\quad???$$