Великая теорема Ферма, n=3

[ananova]

Четвертый параграф малоинтересен, давайте сразу к пятому.

[r-aax]

Alexey2 в сообщении #451988 писал(а):

...случай решения уравнения $a^3+b^3=c^3$, где ни один из членов $a$, $b$, $c$ не делится на 3.

Хотя бы один из них делится.

[Alexey2]

ananova в сообщении #452002 писал(а):

Четвертый параграф малоинтересен...

Интересно, почему?

Уважаемые ananova и r-aax вынужден вас огорчить. Сначала всё-таки рассмотрим параграф №4, а то как-то нелогично 1,2,3 и 5. Я бы мог их объединить в один... Пятый параграф опубликую позднее (если будет необходимость).

§4.
(В этом параграфе $x$ и $y$ отличаются от $x$ и $y$ в предыдущих параграфах )

Рассмотрим случай №1.

1. $\left\{ \begin{matrix} a+b=c_{1}^{3} \\ c-a=b_{1}^{3} \\ c-b=a_{1}^{3} \\ \end{matrix} \right.$

2. Рассмотрим первое уравнение системы:
$a+b=c_1^3$

3. $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

4. $a+b=c_1^3 \Rightarrow a^2-ab+b^2=c_2^3$, $c_2 \in \mathbb{N}$ , $c_1\bot c_2$

5. $c<(a+b)<2c\Rightarrow 1<\frac{a+b}{c}<2$

6. $\left\{ \begin{matrix} c=(a+b)\frac{k}{d} \\ c^2=(a^2-ab+b^2)\frac{d}{k} \\ \end{matrix} \right.

$k,d\in \mathbb{N}$, $k\bot d$

7. $c\in \mathbb{N}\Rightarrow a+b=c_1^3=d^3x^3$, $x\in \mathbb{N}$

8. $c^2 \in \mathbb{N}\Rightarrow a^2-ab+b^2=c_2^3=k^3y^3$, $y\in \mathbb{N}$, $x\bot y$

9. $\left\{ \begin{matrix} c=d^3x^3\frac{k}{d}=d^2x^3k \\ c^2=k^3y^3\frac{d}{k}=k^2y^3d \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow d^4x^6k^2=k^2y^3d$

10. $d^3x^6=y^3$

11. $(a+b)x^3=y^3$

12. $(a^2-ab+b^2)\vdots y^3\Rightarrow (a^2-ab+b^2)\vdots (a+b)$

13. То есть, если число $(a^2-ab+b^2)$ делится без остатка на число $(a+b)$, то уравнение $a^3+b^3=c^3$ при $a+b=c_1^3$, $c_1^3 \in \mathbb{N}$ разрешимо в натуральных числах $a$, $b$ и $c$.

14. Рассмотрим число $\frac{a^2-ab+b^2}{a+b}$
$\frac{a^2-ab+b^2}{a+b}=\frac{a^2+2ab+b^2}{a+b}-\frac{3ab}{a+b}=\frac{(a+b)^2}{a+b}-\frac{3ab}{a+b}$

15. Слагаемое $\frac{(a+b)^2}{a+b}$ при любых $a,b\in \mathbb{N}$ - число целое, значит, рассмотрим число $\frac{3ab}{a+b}$

16. $a\bot b\Rightarrow a\bot (a+b),b\bot (a+b)\Rightarrow ab\bot (a+b)$

17. $a+b=3\Rightarrow c\vdots 3$

18. Случай№1 решения уравнения (§4. п.2) невозможен, так как уравнение $a^3+b^3=c^3$ при $a+b=c_1^3$, $c_1^3\in \mathbb{N}$, при любых взаимно простых $a$ и $b$ не имеет натуральных решений $a$, $b$ и $c$.
Значит $c\vdots 3$


Можно, вместо п.12...18. рассуждать следующим образом:

$(x,y)\ne 1\Rightarrow ((c-a),(c^2-ca+a^2))\ne 1\Rightarrow c\vdots 3$


Таким образом Вывод, полученный в параграфе №4:
"Случай№1 решения уравнения §4. п.1 невозможен, так как уравнение $a^3+b^3=c^3$ при $a+b=c_1^3$, $c_1^3\in \mathbb{N}$, при любых взаимно простых $a$ и $b$ не имеет натуральных решений $a$, $b$ и $c$.
Значит $c\vdots 3$"

[ananova]

Честно говоря, в первых 4 параграфах необходимости не было, т.е. Вы просто доказали то, что уже было доказано ранее многочисленными авторами в разных книжках.

[Alexey2]

Уважаемый(ая) ananova, спасибо за интерес к теме.

ananova в сообщении #452379 писал(а):

... Вы просто доказали ...

Я ещё ничего не доказал. А уж тем более просто.

ananova в сообщении #452379 писал(а):

Честно говоря, в первых 4 параграфах необходимости не было, т.е. Вы просто доказали то, что уже было доказано ранее многочисленными авторами в разных книжках.

В таком случае и пятый параграф наверное опубликовывать не стоит. Всем известно, теорема доказана в полном объёме (для всех степеней $n$), а для $n=3$ (как и для некоторых других степеней) ещё и разными методами.
Вот, например список математиков(может ещё и не полный) и год, в котором они доказали, что
уравнение $a^3+b^3=c^3$ не имеет натуральных решений $a$, $b$ и $c$:

Кауслер - 1795/6, опубл. в 1802
Лежандр - 1823, 1830
Кальцолари - 1855
Ламе - 1865
Тейт - 1872
Гюнтер - 1878
Гамбиоли - 1901
Крей - 1909
Рыхлик - 1910
Штокхаус - 1910
Кармайкл - 1915
ван дер Корпут - 1915
Туэ - 1917
Дуарте - 1944

Взято из следующего источника: [П. Рибенбойм. Последняя теорема Ферма для любителей.Перевод с английского. под. редакцией В.Н. Чубарикова, М., 2003г., С.48].
Только почему-то автор не упомянул, как минимум, ещё одного математика - Эйлера.

Перейдём к пятому параграфу. Он, кстати, похож на предыдущий.
§5.
(В этом параграфе $x$, $y$ отличаются от $x$ и $y$ в предыдущих параграфах ).

1. Так как $a$, $b$, $c$- взаимно простые и $c \vdots 3$, то и $a$ и $b$ не имеют среди своих делителей число три, а значит имеет место быть следующая система, при которой уравнение $a^3+b^3=c^3$ разрешимо в целых числах:

$\left\{ \begin{matrix} c\vdots 3 \\ c-a=b_1^3 \\ c-b=a_1^3 \\ \end{matrix} \right.$

2. Без ограничения общности число $b$ - четное число.
Если четно $a$, то достаточно переименовать $a$ и $b$, а если четно $c$, то достаточно переименовать $c$ и $b$ и изменить знаки (ибо $(-c)^3+a^3=(-b)^3$). [М.М.Постников. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел. М., 1978 г., С. 31].

3. $b$ - четное $\Rightarrow$ $a$ и $c$ - нечетные.

4. Рассмотрим второе уравнение системы §5.п.1:
$c-a=b_1^3$

5. $c^3-a^3=(c-a)(c^2+ca+a^2)=b^3$

6. $c-a=b_1^3 \Rightarrow c^2+ca+a^2=b_2^3, b_2\in \mathbb{N}$, $b_1\bot b_2$

7. $\left\{ \begin{matrix} b=(c-a)\frac{k}{d} \\ b^2=(c^2+ac+a^2)\frac{d}{k} \\ \end{matrix} \right.$

$k,d\in \mathbb{N}$, $k\bot d$

8. $b\in \mathbb{N}\Rightarrow c-a=d^3x^3$, $x\in \mathbb{N}$

9. $b^2 \in \mathbb{N}\Rightarrow c^2+ca+a^2=k^3y^3$, $y\in \mathbb{N}$, $x\bot y$

10.$\left\{ \begin{matrix} b=d^3x^3\frac{k}{d}=d^2x^3k \\ b^2=k^3y^3\frac{d}{k}=k^2y^3d \\ \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow d^4x^6k^2=k^2y^3d$

11. $d^3x^6=y^3$

12. $(c-a)x^3=y^3$

13. $c^2+ca+a^2\vdots y^3\Rightarrow c^2+ca+b^2\vdots (c-a)$

14. Рассмотрим число $\frac{c^2+ca+a^2}{c-a}$

15. Числа $a$ и $c$ - нечетные, значит число $(c^2+ca+a^2)$ - нечетное, $(c-a)$ - четное.
$ \frac{c^2+ca+a^2}{c-a}$. Как видим в числителе всегда получается нечетное число, а в знаменателе -четное. Нечетное число на четное нацело никогда не делится, значит $c-a\ne b_1^3$.

16. Значит система §3. п. 28 ( $\left\{ \begin{matrix} c\vdots 3 \\ b\vdots 3 \\ a\vdots 3 \\ \end{matrix} \right.\begin{matrix} \vee a+b=c_1^3 \\ \vee c-a=b_1^3 \\ \vee c-b=a_1^3 \\ \end{matrix}$ ) при любых взаимно простых натуральных $a$, $b$, $c\in \mathbb{N}$ не имеет решений, а следовательно и система уравнений (§1. п. 1) и равносильное ей уравнение $a^3+b^3=c^3$ неразрешимы в натуральных числах.



Можно вместо того, чтобы прибегать к рассмотрению четности членов уравнения $a^3+b^3=c^3$ и утверждать, что $b$ - всегда (хотя и без ограничения общности) четное, потом рассмотреть уравнения $c-a=b_1^3$ и $c^2+ca+a^2=b_2^3$ узнать при каких условиях они разрешимы (естественно в натуральных числах) и прийти к противоречию, потом вернуться к ранее рассмотренному и т.д. и т.п.
пойти другим путем...

В системе уравнений $\left\{ \begin{matrix} c\vdots 3 \\ c-a=b_1^3 \\ c-b=a_1^3 \\ \end{matrix} \right.$ или $c-a\ne1$, или $c-b\ne1$
(Понятно, что одновременно они могут быть только в случае, когда $a=b=1$, $c=2$. Но эти корни нам не подходят, так как превращают красивое уравнение $a^3+b^3=c^3$ в некрасивое неравенство $a^3+b^3 \ne c^3$ ).
Далее следует рассмотреть одно из них.
Например, рассмотрим $c-b\ne1$ и $c-b=a_1^3 $
Потом повторяем операции аналогично §4 п. 2...17 и (вуаля!) приходим к выводу:"$ a\vdots 3$".
Когда $a\vdots3$ и $c\vdots3$ ни о какой взаимной простоте членов уравнения $a^3+b^3=c^3$ речь идти не может.
Значит система уравнений $\left\{ \begin{matrix} c\vdots 3 \\ c-a=b_1^3 \\ c-b=a_1^3 \\ \end{matrix} \right.$ не имеет решений при взаимно простых $a$, $b$ и $c$.
Дальше, как по лесенке, подымаемся на третий параграф (Случаи №1 и №2 не возможны (естественно при взаимно простых $a$, $b$ и $c$)), а значит и система уравнений $\left\{ \begin{matrix} (x-a)^3+a^3=c^3 \\ (x-b)^3+b^3=c^3 \\ a^3+b^3=(a+y)^3\\ a^3+b^3=(b+z)^3 \\ \end{matrix} \right.$ (тут мы уже и на первом параграфе).
Ну, ещё осталось вспомнить, что система уравнений $\left\{ \begin{matrix} (x-a)^3+a^3=c^3 \\ (x-b)^3+b^3=c^3 \\ a^3+b^3=(a+y)^3\\ a^3+b^3=(b+z)^3 \\ \end{matrix} \right.$ и уравнение $a^3+b^3=c^3$ мало того, что очень похожи, они ещё и равносильны (одновременно (при одних и тех же условиях) разрешимы в натуральных числах (только уравнение $a^3+b^3=c^3$ имеет переменные $a$, $b$ и $c$, а система уравнений §1. п.1. соответственно $x$, $y$ и $z$)) и прийти к такому же выводу: " Уравнение $a^3+b^3=c^3$ неразрешимо в натуральных числах ".

[Коровьев]

Alexey2 в сообщении #453224 писал(а):

7. $b=(c-a)\frac{k}{d} $

Alexey2 в сообщении #453224 писал(а):

8. $b\in \mathbb{N}\Rightarrow c-a=d^3x^3$, $x\in \mathbb{N}$

Эдак можно много чего понадоказывать
Вот раз $6^3$ делится на $4$, то и $6$ делится на $4$

[Alexey2]

Уважаемый Коровьев, здравстуйте!

$b=(c-a)\frac{k}{d}$
Так как число $b$ - натуральное, то значит $(c-a)\frac{k}{d}$ - тоже натуральное,
т. к. $k\bot d$ то число $(c-a)$ содержит множитель $d$,
т. к. $c-a=b_1^3$, значит $(c-a)=d^3x^3$, $x\in \mathbb{N}$

Прошу обратить внимание на то, что во всех рассуждения стоит знак импликации "$\Rightarrow$ "
(Из суждения $a$ следует суждение $b$ запишется следующим образом $a\Rightarrow b$,
но это не значит, что если из $a$ следует $b$, то и из $b$ следует $a$)

Так $\left\{ \begin{matrix} c-a=d^3x^3 \\ c^2+ca+a^2=k^3y^3\\ \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow b^3=d^3x^3k^3y^3$

$\Rightarrow b=dxky$

Т. е. если число $c-a=d^3x^3$ делится на $d$ (а не на $d^3$), то и число $b$ делится на $d$ (а не на $d^3$), поэтому ваш контрпример в данном случае неуместен.

Справедливости ради, отмечу, что вами было указано место (§5. п.7-8 ) в котором, действительно, находится ошибка, но она ( к сожалению) не имеет отношения к контрпримеру.

[venco]

Alexey2 в сообщении #455396 писал(а):

т. к. $c-a=b_1^3$, значит $(c-a)=d^3x^3$, $x\in \mathbb{N}$

Это верно только если $d$ - простое.

[Belfegor]

Alexey!
6. $\left\{ \begin{matrix} c=(a+b)\frac{k}{d} \\ c^2=(a^2-ab+b^2)\frac{d}{k} \\ \end{matrix} \right.

Я возвел первое уравнение этой системы в квадрат и вот что у меня получилось после ряда преобразований:
$\[ (a + b)^2 < (a + b)^2 - 3ab \] $

Что вы скажете об этом противоречии?

[Алексей К.]

Ой, а как у Вас, Belfegor, получилось неравенство из двух равенств?
У меня получилось только $3ab=0$. И то, при условии невнимательности $\dfrac{k}d=\dfrac{d}k$. Предыдущее, признаться, не читал...

[Belfegor]

Алексей К. в сообщении #455850 писал(а):

Ой, а как у Вас, Belfegor, получилось неравенство из двух равенств?
У меня получилось только $3ab=0$. И то, при условии невнимательности $\dfrac{k}d=\dfrac{d}k$. Предыдущее, признаться, не читал...

Жаль...я думал вы попробуете сами найти ответ)
Итак: В вашей системе $\[ k > d \]$
возводим 1-ое уравнение в квадрат, получаем:
$\[ c^2 = (a + b)^2 \frac{{k^2 }} {{d^2 }} \]$
С учетом 2-го уравнения получаем:
$\[ c^2 = (a + b)^2 \frac{{k^2 }} {{d^2 }} = (a^2 - ab + b^2 )\frac{d} {k} = ((a + b)^2 - 3ab)\frac{d} {k} \]$
То есть:
$\[ (a + b)^2 \frac{{k^2 }} {{d^2 }} = ((a + b)^2 - 3ab)\frac{d} {k} \]$
Умножим обе стороны на $\[ d^2 k \]$
$\[ (a + b)^2 \frac{{k^2 }} {{d^2 }}d^2 k = ((a + b)^2 - 3ab)\frac{d} {k}d^2 k \]$
Получаем:
$\[ (a + b)^2 k^3 = ((a + b)^2 - 3ab)d^3 \]$
Т.к. $\[ k^3 > d^3 \]$
$\[ (a + b)^2 < (a + b)^2 - 3ab \] $

[Алексей К.]

Belfegor в сообщении #455882 писал(а):

Жаль...я думал вы попробуете сами найти ответ)
Итак: В вашей системе $k>d$

Ну, во-вторых, система не моя.
А во-первых, я бы, конечно, попробовал (или не встревал бы), если бы Вы, кроме двух процитированных Вами равенств, процитировали бы и условие $k>d$.
А так, — сильно напоминало невнимательность, особенно при использовании автором команды \frac (\dfrac получше).
Ну извините.

[Belfegor]

Алексей К. в сообщении #455896 писал(а):

Belfegor в сообщении #455882 писал(а):

Жаль...я думал вы попробуете сами найти ответ)
Итак: В вашей системе $k>d$

Ну, во-вторых, система не моя.
А во-первых, я бы, конечно, попробовал (или не встревал бы), если бы Вы, кроме двух процитированных Вами равенств, процитировали бы и условие $k>d$.
А так, — сильно напоминало невнимательность, особенно при использовании автором команды \frac (\dfrac получше).
Ну извините.

А что есть другое условие?
Извиняю) Так вы будете объяснять это противоречие?

-- Чт июн 09, 2011 00:24:51 --

Belfegor в сообщении #455907 писал(а):

Алексей К. в сообщении #455896 писал(а):

Belfegor в сообщении #455882 писал(а):

Жаль...я думал вы попробуете сами найти ответ)
Итак: В вашей системе $k>d$

Ну, во-вторых, система не моя.
А во-первых, я бы, конечно, попробовал (или не встревал бы), если бы Вы, кроме двух процитированных Вами равенств, процитировали бы и условие $k>d$.
А так, — сильно напоминало невнимательность, особенно при использовании автором команды \frac (\dfrac получше).
Ну извините.

А что есть другое условие?
Извиняю) Так вы будете объяснять это противоречие?

Теперь, я буду извиняться))) Принял Вас за автора))) А зачем вы не зная броду полезли в воду?)

[Коровьев]

Alexey2 в сообщении #455396 писал(а):

поэтому ваш контрпример в данном случае неуместен.

Как это, как это, как это? Очень даже уместен.

Alexey2 в сообщении #455396 писал(а):

число $(c-a)$ содержит множитель $d$,
т. к. $c-a=b_1^3$, значит $(c-a)=d^3x^3$, $x\in \mathbb{N}$

А теперь заменим в цитате буковки циферками:

Цитата:

число $(c-a)=6^3$ содержит множитель $d=4$,
т. к. $c-a=b_1^3=6^3$, значит $(c-a)=d^3x^3=4^3x^3=6^3$, $x\in \mathbb{N}$

Ничего не напутал?

[Belfegor]

Похоже, автор всё осознал и раскаивается