2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.
 
 Re: 2n^2+1, 3n^2+1, 6n^2+1, и все они - квадраты?
Сообщение20.05.2011, 20:40 
Заслуженный участник


20/12/10
9062
scwec в сообщении #448033 писал(а):
Для nnosipov: Дорогой друг: зайдите лучше с другой стороны. Ведь уравнения Пелля - территория изъезженная кругом.
Вот и Вы попались на эту удочку.
Я предложил подход совершенно нехоженный, а вдруг получится?
Успеха Вам. Мне кажется у Вас получится.

Почти уверен, что в PARI/GP ранг (и всё остальное, что нужно) Вашей кривой будет найден, так что в принципе проблемы нет. Но хочется обойтись без этих непростых вещей. Уравнения Пелля, конечно, вещь популярная, а вот единицы в неполных модулях полей алгебраических чисел --- не очень. Я бы с бОльшим удовольствием здесь покопался. Впрочем, не будучи специалистом в этих областях, не берусь судить, какой взгляд на нашу "детскую" задачу правильный.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2n^2+1, 3n^2+1, 6n^2+1, и все они - квадраты?
Сообщение20.05.2011, 20:48 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5702
scwec в сообщении #448006 писал(а):
Легко видеть, что речь идет о решении уравнения $x^4-10x^2y^2+y^4=1$.
$(x,y)=1$, $xy$=чет.
Что нам известно об этом уравнении?
Практически ничего.

Вообще-то это уравнение Туэ - и его решениями, согласно PARI/GP, являются лишь $(0,\pm 1)$ и $(\pm 1,0)$:
Код:
? thue(thueinit(x^4 - 10*x^2 + 1),1)
%1 = [[0, 1], [0, -1], [1, 0], [-1, 0]]


-- Fri May 20, 2011 12:51:38 --

А вообще по поводу решения системы уравнений:
$$\begin{cases} ax^2 + 1 = y^2\\ bx^2 + 1 = z^2\end{cases}$$
для заданных $a, b$ - см. Теорему 6 в моей статье http://arxiv.org/abs/1002.1679

 Профиль  
                  
 
 Re: 2n^2+1, 3n^2+1, 6n^2+1, и все они - квадраты?
Сообщение20.05.2011, 21:35 
Заслуженный участник


20/12/10
9062
maxal, мне припоминается ещё некий метод Сколема (но, возможно, я что-то путаю). Похоже, сколь-нибудь элементарного решения задача не имеет. Или Вы можете привести пример таких $a$ и $b$, для которых можно обойтись более-менее элементарными средствами?

 Профиль  
                  
 
 Re: 2n^2+1, 3n^2+1, 6n^2+1, и все они - квадраты?
Сообщение20.05.2011, 21:58 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5702
nnosipov в сообщении #448133 писал(а):
мне припоминается ещё некий метод Сколема

Вероятно, этот: http://www.math.uoc.gr/~tzanakis/Papers ... Skolem.pdf
nnosipov в сообщении #448133 писал(а):
Или Вы можете привести пример таких $a$ и $b$, для которых можно обойтись более-менее элементарными средствами?

Моя статья вполне элементарна, если доверить решение уравнений Туэ PARI/GP.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2n^2+1, 3n^2+1, 6n^2+1, и все они - квадраты?
Сообщение20.05.2011, 22:05 
Заслуженный участник


20/12/10
9062
maxal в сообщении #448142 писал(а):
Моя статья вполне элементарна, если доверить решение уравнений Туэ PARI/GP.

Решение уравнений Туэ и есть самое интересное. Вот, например, уравнение $x^4-6x^2y^2+y^4=1$ исследуется элементарно.

Да, что-то вроде этого http://www.math.uoc.gr/~tzanakis/Papers ... Skolem.pdf я и имел в виду. Спасибо за ссылку.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2n^2+1, 3n^2+1, 6n^2+1, и все они - квадраты?
Сообщение20.05.2011, 22:57 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5702
maxal в сообщении #448114 писал(а):
А вообще по поводу решения системы уравнений:
$$\begin{cases} ax^2 + 1 = y^2\\ bx^2 + 1 = z^2\end{cases}$$
для заданных $a, b$ - см. Теорему 6 в моей статье http://arxiv.org/abs/1002.1679

При условии, что $ab$ не является квадратом, эта система сводится к набору уравнений Туэ относительно $m,n$ вида:
$$(a-b)^2 m^4 - 2(a+b)m^2n^2 + n^4 = q^2,$$
где $q$ пробегает делители числа $2(a-b)$. Соответственно, количество решений в этом случае конечно. Исходные переменные выражаются так:
$$\begin{cases} x = \frac{2mn}{q} \\ y= \frac{(a-b)m^2 + n^2}{q} \\ z = \frac{(a-b)m^2-n^2}{q}\end{cases}$$

Если $ab=s^2$ является квадратом, то уравнение 4-й степени разваливается на два множителя:
$$(n^2 - (a+b+2s)m^2)\cdot (n^2 - (a+b-2s)m^2) = q^2$$
и все сводится к нескольким системам линейных уравнений относительно $m^2$ и $n^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2n^2+1, 3n^2+1, 6n^2+1, и все они - квадраты?
Сообщение21.05.2011, 08:42 
Заслуженный участник


20/12/10
9062
Случай $ab=s^2$ был очевиден с самого начала. Непонятно, почему его Руст исключил.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2n^2+1, 3n^2+1, 6n^2+1, и все они - квадраты?
Сообщение21.05.2011, 13:41 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5702
nnosipov в сообщении #448146 писал(а):
Решение уравнений Туэ и есть самое интересное. Вот, например, уравнение $x^4-6x^2y^2+y^4=1$ исследуется элементарно.

Это не уравнение Туэ, так как многочлен раскладывается на множители:
$$x^4-6x^2y^2+y^4=(x^2 + 2xy - y^2) (x^2 - 2xy -y^2)$$
По определению в уравнении Туэ многочлен обязан быть неприводимым.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2n^2+1, 3n^2+1, 6n^2+1, и все они - квадраты?
Сообщение21.05.2011, 15:43 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
Конечно, RAPI/GP - хорошая вещь, но то, что $x^4-10x^2y^2+y^4=1$ не имеет решения в натуральных числах все же надо доказать.
Нельзя же результат калькулятора считать доказательством.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2n^2+1, 3n^2+1, 6n^2+1, и все они - квадраты?
Сообщение21.05.2011, 15:55 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5702
scwec в сообщении #448357 писал(а):
Нельзя же результат калькулятора считать доказательством.

Не проблема - возьмите статью с описание алгоритма, используемого в PARI/GP, и проделайте все вычисления вручную...
http://dx.doi.org/10.1006/jnth.1996.0129

 Профиль  
                  
 
 Re: 2n^2+1, 3n^2+1, 6n^2+1, и все они - квадраты?
Сообщение21.05.2011, 16:18 
Заслуженный участник


20/12/10
9062
maxal в сообщении #448314 писал(а):
nnosipov в сообщении #448146 писал(а):
Решение уравнений Туэ и есть самое интересное. Вот, например, уравнение $x^4-6x^2y^2+y^4=1$ исследуется элементарно.

Это не уравнение Туэ, так как многочлен раскладывается на множители:
$$x^4-6x^2y^2+y^4=(x^2 + 2xy - y^2) (x^2 - 2xy -y^2)$$
По определению в уравнении Туэ многочлен обязан быть неприводимым.

Пардон, перепутал с уравнением $x^4+6x^2y^2+y^4=z^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2n^2+1, 3n^2+1, 6n^2+1, и все они - квадраты?
Сообщение21.05.2011, 19:24 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
maxal в сообщении #448359 писал(а):
Не проблема - возьмите статью с описание алгоритма, используемого в PARI/GP, и проделайте все вычисления вручную...

Уже взял, уже проделал и теперь не нарадуюсь.

Для nnosipov: может будет интересно следующее. Выражения $m^4+6m^2n^2+n^4$ и $|m^4-6m^2n^2+n^4|$ при $m{\ne}n$ обязательно являются конгруэнтными числами и поэтому не могут быть квадратами.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2n^2+1, 3n^2+1, 6n^2+1, и все они - квадраты?
Сообщение21.05.2011, 20:49 
Заслуженный участник


20/12/10
9062
scwec в сообщении #448444 писал(а):
Для nnosipov: может будет интересно следующее. Выражения $m^4+6m^2n^2+n^4$ и $|m^4-6m^2n^2+n^4|$ при $m{\ne}n$ обязательно являются конгруэнтными числами и поэтому не могут быть квадратами.

Да, именно так.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2n^2+1, 3n^2+1, 6n^2+1, и все они - квадраты?
Сообщение22.05.2011, 08:11 


23/01/07
3497
Новосибирск
nnosipov в сообщении #447983 писал(а):
Речь идёт о существенно более сложной задаче: при каких $n$ числа $2n^2+1$ и $3n^2+1$ будут квадратами. Весьма вероятно, что таких $n$ нет, однако доказательство не обещает быть простым.

Произведение указанных чисел также должно быть квадратом:

$(2n^2+1)(3n^2+1)=m^2$

$6n^4+5n^2+1=m^2$

Далее тщетно ищем подходящие остатки по основанию $5$.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2n^2+1, 3n^2+1, 6n^2+1, и все они - квадраты?
Сообщение22.05.2011, 08:19 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
Это означает только, что n делится на 5.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 97 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group