2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.
 
 Re: 2n^2+1, 3n^2+1, 6n^2+1, и все они - квадраты?
Сообщение23.05.2011, 12:54 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
Вот совсем элементарное доказательство того, что $2n^2+1$ и $3n^2+1$ при натуральных $n$ не могут быть одновременно квадратами.
Пусть
1. $2n^2+1=u^2$, $3n^2+1=v^2$
2. Тогда $u, v, n$ попарно взаимно просты и $n$ - четное.
3. $u^2+n^2=v^2$ и $n=2ab, u=a^2-b^2, v=a^2+b^2$, $a>b$, $ab$=чет, $(a,b)=1$
4. $3*4a^2b^2+1=a^4+b^4+2a^2b^2$ или $a^4-10a^2b^2+b^4=1$
Но при натуральных $a>b$, $min(|a^4-10a^2b^2+b^4|)=23$.
Отсюда и следует, что не существуют нужные $a,b$, а с ними $n,u,v$

Кстати, когда я настаивал на доказательстве неразрешимости в натуральных числах, то имел в виду уравнение $x^4-10x^2y^2+y^4=z^2$ , хотя в правой части писал 1. Издержки.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2n^2+1, 3n^2+1, 6n^2+1, и все они - квадраты?
Сообщение23.05.2011, 14:10 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
scwec в сообщении #449164 писал(а):
Но при натуральных $a>b$, $min(|a^4-10a^2b^2+b^4|)=23$.

А доказательство? Хотя какое доказательство тут может быть, когда утверждение неверно: $a=3$, $b=1$. И вообще, очень сомнительно, что указанный минимум можно вычислить элементарно --- всё опять сведётся к решению уравнений Туэ. И если только какое-нибудь чудо ... Тогда продемонстрируйте его, и мы все порадуемся.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2n^2+1, 3n^2+1, 6n^2+1, и все они - квадраты?
Сообщение23.05.2011, 15:25 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
Действительно, минимум=8 (по недоразумению при первоначальном прогоне к расчету допускались только $a,b$ такие, что $a^3+b^3=d^2$, ну и получилось $a=2,b=1$).
Дела это не меняет.
Минимум на натуральных числах ищется именно элементарно.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2n^2+1, 3n^2+1, 6n^2+1, и все они - квадраты?
Сообщение23.05.2011, 15:34 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
scwec в сообщении #449206 писал(а):
Минимум на натуральных числах ищется именно элементарно.

Уверены? А вдруг ошибка? Выкладывайте, чего уж в кошки-мышки играть.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2n^2+1, 3n^2+1, 6n^2+1, и все они - квадраты?
Сообщение23.05.2011, 15:44 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
scwec в сообщении #449164 писал(а):
Кстати, когда я настаивал на доказательстве неразрешимости в натуральных числах, то имел в виду уравнение $x^4-10x^2y^2+y^4=z^2$ , хотя в правой части писал 1.

Ну да. Причем, как я уже писал выше, $z$ обязано быть делителем числа 2 (в общем случае - числа $2(a-b)$).

 Профиль  
                  
 
 Re: 2n^2+1, 3n^2+1, 6n^2+1, и все они - квадраты?
Сообщение24.05.2011, 16:59 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
После компьютерных расчетов мне показалось совершенно очевидным, что для любых достаточно больших $a,b$ выражение $|a^4-10a^2b^2+b^4|$ можно сделать сколь угодно большим. Так оно, видимо, и есть. В этом случае доказательство сводится просто к вычислению на компьютере минимума выражения $|a^4-10a^2b^2+b^4|$ перебором конечного числа значений $a,b$. Оно, конечно, и это верно, однако ведь надо вычислить это самое конечное число значений для перебора. В нашем случае достаточно с большим запасом $a<10$ и $b<10$. Но ясно, что это не очевидно, посколько решения ужасающе неустойчивы. Надо подумать.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2n^2+1, 3n^2+1, 6n^2+1, и все они - квадраты?
Сообщение24.05.2011, 17:27 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
Можно ещё пробовать решить уравнение $x^2-24y^4=1$ или доказывать, что ранг кривой $y^2=x^3-96x$ равен нулю. Приятно удивлюсь, если что-нибудь в этом духе удастся получить элементарными средствами.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2n^2+1, 3n^2+1, 6n^2+1, и все они - квадраты?
Сообщение24.05.2011, 19:17 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
Пожалуй интересней доказывать, что ранг $y^2=x^3-82x$ равен трем. Ну и далее по кругу.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2n^2+1, 3n^2+1, 6n^2+1, и все они - квадраты?
Сообщение24.05.2011, 19:45 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
scwec в сообщении #449735 писал(а):
Пожалуй интересней доказывать, что ранг $y^2=x^3-82x$ равен трем. Ну и далее по кругу.

Опять сплошные загадки :-) . Объясните, пожалуйста, откуда взялась эта кривая (а заодно, кстати, и та, с жуткими коэффициентами, я так и не понял). Особенно пугает её ранг ... Не знаю ни одного примера эллиптической кривой, для которой был бы элементарно посчитан её ранг $>0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2n^2+1, 3n^2+1, 6n^2+1, и все они - квадраты?
Сообщение24.05.2011, 20:47 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
nnosipov в сообщении #449693 писал(а):
Можно ещё пробовать решить уравнение $x^2-24y^4=1$ или доказывать, что ранг кривой $y^2=x^3-96x$ равен нулю. Приятно удивлюсь, если что-нибудь в этом духе удастся получить элементарными средствами.

Я отнесся к этому как к шутке. Вроде не совсем по теме. Также и ответил. Значит, я Вас не понял. Извиняюсь. Коли не шутка, то можно порешать.
Кривая из моего ответа действительно третьего ранга, известная. Отношения к Вашему сообщению не имеет.
Насчет жутких коэффициентов, так это как Морделл научил, так и делаем. В других координатах может и попроще бы была.
Вас не смущает, что $x^3+y^3=1$ приводится к виду $v^2=u^3-\frac{1}{108}$?
Так решаем?

 Профиль  
                  
 
 Re: 2n^2+1, 3n^2+1, 6n^2+1, и все они - квадраты?
Сообщение24.05.2011, 20:54 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
Нет, у меня по теме: уравнение $a^4-10a^2b^2+b^4=1$ можно переписать в виде $(a^2-5b^2)^2-24b^4=1$ или $x^2-24y^4=1$, где $x=a^2-5b^2$, $y=b$. В нормальной форме Вейерштрасса получаем кривую $v^2=u^3-96u$. Хотя почему я считаю, что ранг этой кривой равен нулю? Это может оказаться и неправдой.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2n^2+1, 3n^2+1, 6n^2+1, и все они - квадраты?
Сообщение24.05.2011, 21:04 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
nnosipov в сообщении #449798 писал(а):
В нормальной форме Вейерштрасса получаем кривую $v^2=u^3-96u$. Хотя почему я считаю, что ранг этой кривой равен нулю? Это может оказаться и неправдой.

Ранг равен 1:
Код:
? ellanalyticrank(ellinit([0,0,0,-96,0]))[1]
%1 = 1

 Профиль  
                  
 
 Re: 2n^2+1, 3n^2+1, 6n^2+1, и все они - квадраты?
Сообщение24.05.2011, 21:10 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
Да-а, так и есть. Легко, конечно, доказать, что ранг положительный, но что он равен 1 ... Впрочем, это уже не важно. Уравнение $x^2-24y^4=1$ имеет бесконечно много рациональных решений, и даже если их как-то удастся описать, могут быть трудности с выделением целочисленных решений. Решать же это уравнение сразу в целых числах --- дело столь же дохлое.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2n^2+1, 3n^2+1, 6n^2+1, и все они - квадраты?
Сообщение25.05.2011, 10:30 


23/01/07
3497
Новосибирск
nnosipov

А что, если организовать своеобразный "спуск"?
(примечание: каждое выражение составляется с учетом анализа остатков по основанию $8$)

$24y^4=x^2-1$

$2(12y_1^4-y_2^4)=\pm 2$


$12y_1^4-y_2^4=\pm 1$

Если $y$ нечетное число, то получаем в остатках по основанию $8$ противоречие, если - четное, то продолжаем:

$12y_1^4=y_2^4-1$

$2(6y_{11}^4-y_{12}^4)=\pm 2$

$6y_{11}^4-y_{12}^4=\pm 1$

$6y_{11}^4=y_{12}^4-1$

$2(3y_{111}^4-y_{112}^4)=\pm 2$

$3y_{111}^4-y_{112}^4=\pm 1$

$3y_{111}^4=y_{112}^4-1$

$2(\dfrac{3y_{1111}^4}{2}-y_{1112}^4)=\pm 2$

$\dfrac{3y_{1111}^4}{2}-y_{1112}^4=\pm 1$

.................
В конце концов приходим к нечетным $k, m$:
$24k^4=m^4-1$

$2(12k_1^4-k_2^4)=\pm 2$

$12k_1^4=k_2^4-1$

Последнее выражение в остатках по основанию $8$ не возможно.

-- 25 май 2011 15:07 --

Расшифровка индексов:
$y_{111}\cdot y_{112}=y_{11}$
$y_{11}\cdot y_{12}=y_1$
$y_1\cdot y_2=y$

Что такой метод может иметь место, показывает то, что если бы вместо четвертых степеней была бы вторая, то получив решение:
$24\cdot 1^2+1=5^2$
подъемом вверх можно находить новые:
$2\cdot 24\cdot 2\cdot 5^2+1=49^2$
$2(2\cdot 24\cdot 2\cdot 5^2)\cdot2(49^2)+1=4801^2$
$2(2\cdot (2\cdot 24\cdot 2\cdot 5^2)\cdot2(49^2)+1)\cdot 2(4801^2)+1=46099201^2$
и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2n^2+1, 3n^2+1, 6n^2+1, и все они - квадраты?
Сообщение26.05.2011, 04:39 


23/01/07
3497
Новосибирск
Извиняюсь, неправильно расписал "спуск". :oops:
Надо так:

$24y^4=x^2-1$

$12y_1^4-2y_2^4=\pm 2$


$6y_1^4-y_2^4=\pm 1$

Если $y$ нечетное число, то получаем в остатках по основанию $8$ противоречие, если - четное, то продолжаем:

$6y_1^4=y_2^4-1$

$2(\dfrac{3y_{11}^4}{2}-y_{12}^4)=\pm 2$

$\dfrac{3y_{11}^4}{2}-y_{12}^4=\pm 1$

.................
В конце концов приходим к нечетным $k, m$:
$24k^4=m^4-1$

$12k_1^4-2k_2^4=\pm 2$

$6k_1^4=k_2^4-1$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 97 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group