Чему равно отношение кинетической энергии точки?

[Ferd]

ShMaxG

Откуда в формуле кинетической энергии появляется ещё $+\dfrac{\pi}{2}$?

Кинетическая энергия:
$\[{E_k} = \dfrac{{m{v^2}}} {2} = \dfrac{{m\omega _0^2{A^2}}} {2}{\sin ^2}\left( {{\omega _0}t + \varphi } \right) = \dfrac{{m\omega _0^2{A^2}}} {4}\cdot[{{1 - \cos 2\left( {{\omega _0}t + \varphi } \right)}}] $

Потенциальная энергия:

$\[{E_p} = -\int\limits_0^{x}{F}\cdot{dx} = \dfrac{{m\omega _0^2{x^2}}}{2} = \dfrac{{m\omega _0^2{A^2}}}{2}\cdot{\cos ^2}\left( {{\omega _0}t + \varphi } \right}) = \dfrac{{m\omega _0^2}{A^2}}{2}\cdot[{1 + \cos 2\left( {{\omega _0}t + \varphi } \right)}}] $

Я это из учебника взял, а у Вас наоборот написано, подскажите кто-нибудь как правильно это будет, объясните пожалуйста?

[Joker_vD]

Ferd
Потому что $\sin(x+ \frac{\pi}{2}) = \cos(x )$. А еще $\sin^2(x+ \frac{\pi}{2}) = \cos^2(x )$.

(Оффтоп)

Ох, перевелись бы вы куда-нибудь, где нет математики, пока не поздно...

[Ferd]

Joker_vD

А причём здесь $\dfrac{\pi}{2}$?

Здесь же находим производные, чтобы определить функцию по времени колебаний)))

-- 22 янв 2011, 01:38 --

Joker_vD

Фаза величины координаты и скорости точки насколько отличаются как это определить?

По какой формуле и по каким соображениям?

[Munin]

Ferd в сообщении #402951 писал(а):

Фаза величины координаты и скорости точки насколько отличаются как это определить?По какой формуле и по каким соображениям?

1. Взять производную.
2. Привести к одной и той же тригонометрической функции (к синусу или косинусу).
Возникшая константная добавка в аргументе функции будет разностью фаз координаты и скорости.

[Ferd]

Munin

Гармонические колебания величины ${x}$ описываются уравнением типа:

${x}={A}\cdot{cos({\omega_0}{t}+{\phi})}$,

Рассматриваем движение от начала равновесия:

${v}=\dfrac{dx}{dt} =-{A}\cdot{\omega_0}\cdot{sin({\omega_0}{t}+{\phi})}={A}\cdot{\omega_0}\cdot{cos({\omega_0}{t}+{\phi}+{\dfrac{\pi}{2}})}$

Значит фаза потенциальной энергии отличается от фазы кинетической энергии на ${\dfrac{\pi}{2}$, правильно?

То есть ${\dfrac{\pi}{2}$ - это и есть разность фаз координаты и скорости, а как записать эту формулу для разности фаз?

[Munin]

Ferd в сообщении #403287 писал(а):

Значит фаза потенциальной энергии отличается от фазы кинетической энергии на ${\dfrac{\pi}{2}$, правильно?

Пока не значит. Вы написали координату и скорость, а утверждение делаете про потенциальную и кинетическую энергию.

Ferd в сообщении #403287 писал(а):

То есть ${\dfrac{\pi}{2}$ - это и есть разность фаз координаты и скорости

Да.

Ferd в сообщении #403287 писал(а):

а как записать эту формулу для разности фаз?

Какую формулу? Что такое формула для разности фаз?

[Ferd]

Munin

Как же правильно решить эту задачу, уже бьюсь долго и никак...вот привёл даже из учебника, что потенциальная и кинетическая энергии изменяются по разным косинусоидам.
Но всё равно, в этой задаче не хватает или у меня не хватает что-то понять, чтобы решить её правильно, что происходит с начальной фазой, вот это для меня загадка)))

Munin в сообщении #403344 писал(а):

Какую формулу? Что такое формула для разности фаз?

Да.

И как она записывается?

Спасибо!

[Munin]

Ferd в сообщении #403374 писал(а):

Как же правильно решить эту задачу, уже бьюсь долго и никак...

Я не понимаю. Вы решили задачу. Что вас не устраивает? Что такое "правильно"?

Ferd в сообщении #403374 писал(а):

вот привёл даже из учебника, что потенциальная и кинетическая энергии изменяются по разным косинусоидам.

Их можно привести к одинаковому виду, так что всё различие будет в константной добавке в аргументе функции.

Ferd в сообщении #403374 писал(а):

Да.

Это ответ на вопрос "Какую формулу?", или на вопрос "Что такое формула для разности фаз?"?

[Ferd]

Munin

Я так понимаю формула разности фаз - это формула между двумя точками)))

Что значит их можно привести к одинаковому виду - это что значит и как понять, что значит одинаковому, в каком смысле?

[Himfizik]

(Оффтоп)

Забавно, один про Фому, другой про Ерему ...

[Утундрий]

Ferd в сообщении #403374 писал(а):

в этой задаче не хватает

Да, в этой задаче:

Ferd в сообщении #402512 писал(а):

Чему равно отношение кинетической энергии точки, совершающей гармонические колебания, к ее потенциальной энергии для момента времени ${t}=\dfrac{T}{12}$, где ${T}$ – период колебаний.

не хватает.

Ferd в сообщении #403374 писал(а):

у меня не хватает что-то понять

Да, у вас не хватает понять, что

Ferd в сообщении #403374 писал(а):

в этой задаче не хватает

[Munin]

Ferd в сообщении #403388 писал(а):

Я так понимаю формула разности фаз - это формула между двумя точками)))

Я не понимаю, что такое "формула между двумя точками". Вы можете перевести это на русский?

Ferd в сообщении #403388 писал(а):

Что значит их можно привести к одинаковому виду - это что значит и как понять, что значит одинаковому, в каком смысле?

Это значит примерно
$E_k=\ldots\cdot[1+\cos 2(\ldots t+\ldots)]$
$E_p=\ldots\cdot[1+\cos 2(\ldots t+\ldots)]$
только последние ... разные.

[Ferd]

Munin

Это значит, насколько скорость приобретает минимальное/максимальоное значение быстрее, чем координата.

скорость опережает координату на $\dfrac{\pi}{2}$

Munin в сообщении #403442 писал(а):

Это значит примерно
$E_k=\ldots\cdot[1+\cos 2(\ldots t+\ldots)]$
$E_p=\ldots\cdot[1+\cos 2(\ldots t+\ldots)]$
только последние ... разные.

Ничего не понимаю, что Вы пишете, что значит последние - разные?

[Munin]

Ferd в сообщении #403612 писал(а):

Это значит, насколько скорость приобретает минимальное/максимальоное значение быстрее, чем координата.

А скорость не принимает это значение быстрее. Она принимает это значение раньше.

Я другого не понимаю. Вот вы нашли нужное вам число: $\dfrac{\pi}{2}.$ Зачем вам для него ещё и формула?

Ferd в сообщении #403612 писал(а):

Ничего не понимаю, что Вы пишете, что значит последние - разные?

Читать: "последние многоточия разные". Остальные, стало быть, одинаковые.

[Ferd]

Munin

Да, а Вы уверены, что энергии будут точно отличаться именно на это число $\dfrac{\pi}{2}$?

Это не я нашёл, а в учебнике было написано, что фазы скорости и координаты отличаются на угол $\dfrac{\pi}{2}$

Вот поэтому я и спрашиваю про формулу, как мы это посчитали, в учебнике Трофимовой 2003 год я этого не нашёл)))

Объясните пожалуйста?

Спасибо!

-- 24 янв 2011, 12:40 --

Joker_vD

Кинетическая энергия идёт по косинусу, потенциальная по синусу, если брать за начало периода момент, когда точка проходит через нулевое положение. Амплитуда у них одинаковая, я её сократил в дроби.

$\dfrac{E_k}{E_p}=\dfrac{cos({\dfrac{1}{12}})}{sin({\dfrac{1}{12}})}={ctg({\dfrac{1}{12}})}$

Не знаю, правильно ли это и можно ли так думать)))