Острые углы

[Sasha2]

В таком случае приходится отступить и использовать стандартное док-во этого предложения, которое в невыпуклом случае сводится к разбиению многоугольника на треугольники его диагоналями.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #367567 писал(а):

стандартное док-во этого предложения, которое в невыпуклом случае сводится к разбиению многоугольника на треугольники

Оно нехорошее. С разбиением на треугольники -- действительно морока.

[Sasha2]

Никакой мороки там нет. Вот примерная наметка. Если многоугольник невыпуклый, то в нем имеется, по крайней мере, один острый угол. Забираемся в вершину A этого острого угла и начинаем зырить, вращая башкой от его стороны AB до его стороны AC. Если назырили вершину D, то диагональ AD проведена, а если нет, то тогда BC будет такой диагональю. Ну и так далее.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #367591 писал(а):

Забираемся в вершину A этого острого угла и начинаем зырить, вращая башкой от его стороны AB до его стороны AC. Если назырили вершину D, то диагональ AD проведена, а если нет, то тогда BC будет такой диагональю. Ну и так далее.

Ну в принципе да, идея должна быть именно такой (с точностью до невнятности). Только это вовсе не триангуляция, а вот именно поиск внутренней диагонали.

[Sasha2]

Да какая там триангуляция.
Просто, если мы находимся в вершине острого угла ABC, сторонами AB и AC которого являются не бесконечные полупрямые, а конечные отрезки AB и AC, то тогда, если вдруг проведению отрезка BC мешает какой-либо еще один отрезок, тогда мы просто не можем узреть вершины того отрезка, который препятствует такому проведению или же в конечном счете, выбрав ту вершину которая ближе всего к вершине A, показываем, что ее мы обязательно то уж узреем, ибо в противном случае, она будет уже не самой ближайшей, так как еще одна (уже не знааю какая третья или четвертая сторона), заходя в круг с центром в точке A и радиуса AM (M ближайшая к A вершина), будет иметь одним из своих концов вершину, которая отстоит от A еще ближе чем M.

Ну тут то уж наверно все в порядке.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #367603 писал(а):

Ну тут то уж наверно все в порядке.

В принципе -- да, ровно это я и имел в виду, с точностью до разгильдяйства в изложении. Правда, некоторые ньюансы, связанные с самим понятием "внутренности", остались-таки неосвещёнными, но тут уж действительно ничего не поделаешь: это понятие в невыпуклом случае действительно не вполне тривиально, и требует много не вполне школьных слов в любом варианте изложения, и лучше на всё это действительно забить (в первом приближении).

(только зачем Вы вдруг называете тот угол "острым", хотя явно имели в виду всего лишь "выпуклый", что и требовалось, разумеется?...)

[Sasha2]

А в остром случае - это просто в глаза бросается. Ну понимаете, в жизни ведь бывает комнат с острыми углами больше, чем комнат с "вывернутыми" углами. Поэтому, и подход к доказательству основан чисто на житейском опыте.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #367621 писал(а):

Ну понимаете, в жизни ведь бывает комнат с острыми углами больше, чем комнат с "вывернутыми" углами.

Э-е, нет. "Острость" -- вовсе не альтернатива "вывернутости" (ну в смысле невыпуклости). Исправьтесь, пожалуйста (для себя лично, разумеется). И дальше так не повторяйте.

[Sasha2]

А что тут исправлять. Ошибки то нет. Просто можно начать не с острого угла, а с любого, а процесс этот вести не до упора, а до тех пор пока острых углов не останется. Тогда и без этой процедуры можно разбить на треугольники.

И еще я обязательно подумаю вот над чем. Видите ли в чем дело, во всех доказательствах мы пытаемся соединить отрезками вершины углов, чтобы уменьшить число сторон в получаемых таким образом многоугольниках. Вот так сразу непонятно, а что если соединять отрезками не вершины углов, а точки на сторонах этих многоугольников, не являющихся вершинами. Непонятно сразу, точно ли это не приведет к упрощению.

[venco]

Sasha2 в сообщении #367657 писал(а):

Вот так сразу непонятно, а что если соединять отрезками не вершины углов, а точки на сторонах этих многоугольников, не являющихся вершинами.

Это никак не помогает. Число вершин растёт. Невыпуклость не пропадает.

[Sasha2]

Ну или такой путь, продолжить сторону "плохого" угла за его вершину, то бишь сделать разрез, который устраняет один "плохой" угол.

[Edward_Tur]

По арене круглого цирка радиусом 10 м бегает лев. Двигаясь по ломаной линии, он пробежал 30 км. Докажите, что сумма величин всех углов, на которые он поворачивал, не меньше 2998 радиан.

[TOTAL]

Edward_Tur в сообщении #367789 писал(а):

По арене круглого цирка радиусом 10 м бегает лев. Двигаясь по ломаной линии, он пробежал 30 км. Докажите, что сумма величин всех углов, на которые он поворачивал, не меньше 2998 радиан.

Всегда буду поворачивать на отрицательный угол и получу даже меньше нуля.

[Sasha2]

TOTAL в сообщении #367858 писал(а):

Edward_Tur в сообщении #367789 писал(а):

По арене круглого цирка радиусом 10 м бегает лев. Двигаясь по ломаной линии, он пробежал 30 км. Докажите, что сумма величин всех углов, на которые он поворачивал, не меньше 2998 радиан.

Всегда буду поворачивать на отрицательный угол и получу даже меньше нуля.

Тут наверно речь идет об абсолютных величинах углов между двумя последовательными векторами скорости животного.

[Edward_Tur]

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1973/11/p41.htm