К вопросу о или еще о бесконечности близнецов.

[Delvistar]

(Оффтоп)

Тема открыта..а вернее исправлена старая.
И в ней Вы увидите...что это 1:1 копия моей метафорной аналогии с Путником. А также...пределы последовательностей мною отдельно обсуждались..и не вызывало никаких сомнений в том что предел последовательности Х стремиться к плюс-бесконечности.

Опять же, после Эратосфена эта проблема решалась на основе "готовыХ близнецов. То есть исходя от количества их на натуральном ряду.

Мною же рассмотрена с позиции образования в ходе прокалываний решета Эратосфена. И так я нашёл закономерность...которая привела меня к убеждению(и легко доказывается) о бесконечности пар!

PAV:

Предупреждение за попытку захвата чужой темы!

[hurtsy]

Delvistar в сообщении #339817 писал(а):

Тема открыта..а вернее исправлена старая.

Ваш Путник и близнецы остались без присмотра. Вернитесь к себе и займитесь чем нибудь похожим на дело. Успехов.

[hurtsy]

Очень тихо. Как говорил Сухов "Вопросов нет".
Может изменить способ изложения? С уважением,

[hurtsy]

hurtsy в сообщении #327678 писал(а):

В общем случае нужно рассматривать просеивание начиная с $p^2_i$.

Покажем, что в оставшемся после предыдущих просеиваний ряду разностей есть бесконечное число разностей двоек. Это разности соответствующие меньшим из двух индексов $\left (\prod\limits_{k=1}^j p_k \right )\pm 1$ где $j>i$,$p_k$ $k$- е простое число. Двойки оставшиеся после просеивания в интервале $(p^2_i , p^2_{i+1}]$ , соответствуют простым близнецам. С уважением,

[hurtsy]

hurtsy в сообщении #327678 писал(а):

Просеивание от 4.
$ \begin {array} {c} 1_2 $ 2_3 $ 2_5 $ 2_7 $ 2_9 $ 2_{11} $ 2_{13} $ 2_{15} $ 2_{17} $ 2_{19} $ 2_{21} $ 2_{23} $ 2_{25} \end {array}$

При просеивании от индекса 4 все индексы меньше 9 простые числа. Дальнейшее просеивание приводит к появлению новых четных разностей. После просеивания от индекса $p^2_i$ индексы меньшие $p^2_{i+1}$ все являются простыми числами, а оставшиеся разности $2$ показывают наличие близнецов.
Теперь можно провести доказательство бесконечности близнецов методом от противного.
Пусть число близнецов конечно. Это значит что начиная с идекса $M$ все разности больше 2. Простое число с таким индексом появляется при просеивании начиная с наибольшего индекса $l$ удовлетворяющего условию $p^2_l<M$ а это противоречит

hurtsy в сообщении #346535 писал(а):

в оставшемся после предыдущих просеиваний ряду разностей есть бесконечное число разностей двоек.

Следовательно число близнецов бесконечно. С уважением,

[venco]

hurtsy в сообщении #353204 писал(а):

Пусть число близнецов конечно. Это значит что начиная с идекса $M$ все разности больше 2.

Нет. Это значит, что для любого $i\ge M$ после просеивания $p_i$ не останется двоек в интервале $(p_i^2,p_{i+1}^2)$. Двойки за этим интрвалом могут ещё оставаться. Они могут исчезнуть при последующих просеиваниях.

[hurtsy]

venco в сообщении #353446 писал(а):

Это значит, что для любого после просеивания не останется двоек в интервале $(p^2_i,p^2_{i+1}).

Совершенно верно. Именно на этом сорвалось китайское доказательство для близнецов. Доказательство в стартовом топике. Мне нужно было выяснить отношение именно к стартовому топику. По моему Вы и с ним справитесь, если я не ошибаюсь. С уважением,

[venco]

Насколько я понял из обсуждения, в стартовом сообщении есть ошибки. Изложите исправленную версию.

[hurtsy]

venco в сообщении #353556 писал(а):

Изложите исправленную версию.

Эта версия и есть исправленная, а замечания относятся к предыдущему варианту. Дело в том, что предыдущих вариантов было два. Один был сразу модератором направлен в карантин. Я его переписал полностью. Меня вернули в старт-топик.
Сообщение

Xaositect в сообщении #330871 писал(а):

относится к переписанному сообщению.
Я (по неопытности) задал вопрос модератору, что мне нужно исправить топик-пост. "Модератор удивился" но любезно предложил переместиться в карантин. Я согласился, и очередной раз попал на старт.
Теперь на старте вариант который и есть исправленная версия.
Таким образом я потерял внимание ЗУ Xaositect . В результате мне пришлось применить "хитрость старого Ашира".
Последнее из сообщений

hurtsy в сообщении #350307 писал(а):

hurtsy в сообщении #353204 писал(а):

и есть "хитрость", прошу прощения.
Если Вас это затрудняет, я могу применить копипаст. С уважением,

[hurtsy]

venco в сообщении #353446 писал(а):

hurtsy в сообщении #353204 писал(а):

Пусть число близнецов конечно. Это значит что начиная с идекса $M$ все разности больше 2.

Нет. Это значит, что для любого $i\ge M$ после просеивания $p_i$ не останется двоек в интервале $(p_i^2,p_{i+1}^2)$. Двойки за этим интрвалом могут ещё оставаться. Они могут исчезнуть при последующих просеиваниях.

Прошу прощения, venco, Вы не правы. Число $M$ по определению такое, что после него все разности больше 2. Была у меня надежда, что Вы ознакомитесь с стартовым сообщением и выскажете свое собственное мнение. С уважением,

[venco]

Ладно, посмотрим.

hurtsy в сообщении #327678 писал(а):

В общем случае нужно рассматривать просеивание начиная с $p^2_i$. В натуральном ряду в интервале сравнения $[p^2_i,p^2_{i+1})$ и в индексном ряду удаления производятся в одних и тех же позициях. В соответсвующем интервале индексного ряда удаление хоть и в тех же местах, но двойка исчезает(превращается в большую разность) только в случае если она левая соседка удаляемой. Таким образом,для всех интервалов плотность двоек в простых не меньше плотности простых в натуральных. Для каждого интервала сравнения выполняется $ \frac {\pi_2 ([p^2_i,p^2_{i+1}))} {\pi([p^2_i,p^2_{i+1}))} > \frac {\pi([p^2_i,p^2_{i+1}))} {p^2_{i+1}-p^2_i} $

Рассуждение очень туманное, но то, что вывод неверен, легко проверяется:
$ \frac {\pi_2 ([19^2,23^2))} {\pi([19^2,23^2))} = \frac{4}{27} < \frac{27}{168} = \frac {\pi([19^2,23^2))} {23^2-19^2} $

[hurtsy]

venco в сообщении #362822 писал(а):

Рассуждение очень туманное, но то, что вывод неверен, легко проверяется:

$ \frac {\pi_2 ([19^2,23^2))} {\pi([19^2,23^2))} = \frac{4}{27} < \frac{27}{168} = \frac {\pi([19^2,23^2))} {23^2-19^2} $

Спасибо, что посмотрели и результативно. Принимаю Ваш контрпример(в смысле я согласен, но "ещё не вечер"). Туманно - не туманно, все равно коряво(это относительно моего доказательства). Конечно, хоть

$$ \frac{5}{27} > \frac{27}{168} $$

, вряд ли будет "хорошим тоном" заставлять Вас, в каждом таком интервале добавлять единичку. У меня есть уверенность в достаточности этого. Тем не менее, попытаюсь "розогнать туман". Беру "тайм-аут". С уважением,

[venco]

hurtsy в сообщении #362956 писал(а):

вряд ли будет "хорошим тоном" заставлять Вас, в каждом таком интервале добавлять единичку. У меня есть уверенность в достаточности этого.

Вы так и не продемонстрировали, на чём основывается Ваша уверенность.

[hurtsy]

venco в сообщении #363144 писал(а):

Вы так и не продемонстрировали, на чём основывается Ваша уверенность.

На результатах численных экспериментов. Я, в связи с призрачной надеждой заняться криптографией, построил таблицу для первых $10^8$ простых чисел. Попутно вычислял отношение $\frac {n*\pi_2 (n)} {\pi^2 (n)}$. Мало того, что отношение "очень похоже" стремится к константе, так на всей моей выборке оно(отношение) больше единицы. А первые два десятичных 1.3 стабильно. Это ответ откуда моя уверенность.
Далее, я попробую внести ясность в "туманное рассуждение". Почему я говорю о применении решета Эратосфена дважды. Я думаю на это меня натолкнула знаменитая константа Виго Бруна, знакомая всем по курсу Фихтенгольца.Точнее там приводится как пример сходящегося ряда, ряд из величин обратных близнецам. Саму константу можно найти в Википедии,а Виго Брун из книг по теории чисел известен как автор двойного решета. Как-то так моя учебная программа сложилась, что теории чисел я в университете не изучал. Нижайшая просьба к специалистам, простить "изобретение велосипеда", наверняка имеющее место быть.
В рассуждениях стартового топика необходимо оценить число двоек остающихся после просеивания, возможно этот процесс имеет название двойного просеивания, а решето соответственно - двойное решето Виго Бруна.Что бы как-то различать Эратосфеновскую и Виго Бруно части просеивания, назовем просеивание двухтактным. Первый такт по Эратосфену, просеивание попрежнему индексное(стартовый топик), второй такт - по Виго Бруну, по тем же индексам где работал первый такт, просеиваются четверки.Цикл состоит из двух тактов.В конце каждого цикла по $p_i$ остаются только двойки. Мне помнится, у Виго Бруно для близнецов есть аналог функции Эйлера.У Бруно для простого числа $p_i$, от квадрата которого ведется просеивание, в его функции множитель $(1-\frac 1 {p_i})^2$.
Такой двухтактный процесс просеивания соответствует дважды примененному решету Эратосфена и дает возможность получить равенство плотностей $\frac {\pi_2(n)} n =(\frac {\pi(n)} n)^2 $, или применяя известную ассимптотику для $\frac {\pi(n)} n = \frac 1 {\ln n}$, получим

$$\pi_2(n) = \frac n {\ln^2 n}. $$

Я долго не мог понять почему так легко получилась оценка, пока не вспомнил, что разность квадратов простых(в нашем случае последовательных) чисел всегда сравнима с нулем по модулю $6$.
Для venco

(Оффтоп)

Я не тороплю Вас с ответом, напишите мне в личку, в какую сторону изменилось изложение,"между нами синоптиками".

С уважением,

[venco]

hurtsy, яснее не стало.

Проблема с численными экспериментами на простых числах в том, что многие замеченные закономерности очень трудно доказать, а некоторые и вовсе оказываются неверными.
Например, долгое время считалось, что

$$\pi(n) > li(n) = \int\limits_0^n\frac {dx}{\ln x}$$

ведь все вычисления показывали, что это верно, более того, разность возрастала с ростом $n$. Но в 1955 году Стенли Скьюз доказал, что существует

$$n < 10^{10^{10^{10^3}}}$$

(я не ошибся в степенях), при котором неравенство нарушается.
Это число вошло в историю как одно из самых больших чисел, встречавшихся в математическом доказательстве. Потом границу уменьшили, но всё равно она осталась далеко за пределами возможных вычислений.