Для фильтрации простых используется решето Эратосфена. На выходе оператора Эратосфена (так назовем этот бесконечный процесс) будет получен, опять же, бесконечный ряд простых чисел.
Давно известна недоказанная оценка для числа близнецов

.
Не знаю кому как, мне здесь видится применение оператора Эратосфена дважды.
Покажем как решето Эратосфена применяется для оценки числа близнецов в просеянном ряду. Применим к натуральному ряду оператор разности. Получим ряд

, где

. Индексы этого ряда начинаются с двойки. Будем применять решето Эратосфена к индексам. После каждого просеиванивания индексы уже не будем переопределять. В результате полного просеивания получится ряд разностей у которых индексы будут простыми числами.
Проиллюстрируем процесс.

.
Так как элементы ряда суть разности, а просеиваться будут только индексы, то разность ставшую безиндексной прибавим к ближайшей соседке слева.
Просеивание от 4.

. Как известно, очередное просеивание начинается с очередного квадрата простого числа.
Просеивание от 9.

.
Рассматривая результат просеивания от 4 и от 9 мы можем заключить, плотность двоек и меньших разностей, среди простых, равная

не меньше плотности простых среди 25 первых натуральных

.
В общем случае нужно рассматривать просеивание начиная с

. В натуральном ряду в интервале сравнения

и в индексном ряду удаления производятся в одних и тех же позициях. В соответсвующем интервале индексного ряда удаление хоть и в тех же местах, но двойка исчезает(превращается в большую разность) только в случае если она левая соседка удаляемой. Таким образом,для всех интервалов плотность двоек в простых не меньше плотности простых в натуральных. Для каждого интервала сравнения выполняется

Для доказательства оценки приведем неравенства к виду

и подставим в правую часть неравенства оценку для простых чисел

получим

.
Суммируя по всем интервалам, окончательно получаем для числа простых близнецов
Таким образом справедливо

С уважением,