2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Вопросы по теории групп.
Сообщение04.06.2010, 17:34 
Вроде, нет. Ведь $0\in \mathbb {R}$ неоднозначно представим в таком виде. А на множестве $\mathbb {R}$\$0$ - да, и даже ассоциативной операцией.

 
 
 
 Re: Вопросы по теории групп.
Сообщение04.06.2010, 18:54 
Вы меня не совсем правильно поняли: я хотел сказать, что понятие "алгебраическая операция" шире, чем понятие "бинарная операция".
Например, в книге А.Г. Куроша "Теория групп" (с. 15) даётся такое определение: "Пусть дано некоторое множество М. Мы говорим, что в М определена бинарная алгебраическая операция, если всяким двум (различным или одинаковым) элементам множества М, взятым в определённом порядке, по некоторому закону ставится в соответствие вполне определённый третий элемент, принадлежащий к этому же множеству". Отсюда и следует, что не всякая алгебраическая операция бинарная. Дело даже не в том,что она унарная или n-арная, а вообще какая-то произвольная. Например, пусть на множестве натуральных числе задана операция $a*b=\left|a-b \right|$. Она не бинарная и вообще не n-арная,а просто какая-то алгебраическая операция. Что мешает задать такую операцию?

P.S. Что касается заданного мной вопроса об однозначности результата бинарной операции, то он исчерпан, т.к. ответ я нашёл в упомянутой книге Куроша.

 
 
 
 Re: Вопросы по теории групп.
Сообщение04.06.2010, 19:37 
Mitrius_Math в сообщении #327709 писал(а):
Например, пусть на множестве натуральных числе задана операция $a*b=\left|a-b \right|$. Она не бинарная и вообще не n-арная,а просто какая-то алгебраическая операция.
Почему это она не бинарная? А мне, по моей наивности, всегда казалось, что очень даже бинарная. :-)

 
 
 
 Re: Вопросы по теории групп.
Сообщение04.06.2010, 21:30 
neo66 в сообщении #327730 писал(а):
Почему это она не бинарная?


Возьмем a=b (натуральное число) и получим ноль, который не принадлежит множеству натуральных чисел. Значит, операция не является бинарной на множестве натуральных чисел. Операция задаётся на каком-то определённом множестве.

 
 
 
 Re: Вопросы по теории групп.
Сообщение04.06.2010, 21:43 
Mitrius_Math в сообщении #327772 писал(а):
Возьмем a=b (натуральное число) и получим ноль, который не принадлежит множеству натуральных чисел. Значит, операция не является бинарной на множестве натуральных чисел.
Во-первых, есть мнение, хоть я его и не разделяю, что ноль принадлежит множеству натуральных чисел. А во-вторых, если он не принадлежит, то это ввооббче никакая не операция.

 
 
 
 Re: Вопросы по теории групп.
Сообщение04.06.2010, 21:48 
neo66 в сообщении #327778 писал(а):
Mitrius_Math в сообщении #327772 писал(а):
Возьмем a=b (натуральное число) и получим ноль, который не принадлежит множеству натуральных чисел. Значит, операция не является бинарной на множестве натуральных чисел.
Во-первых, есть мнение, хоть я его и не разделяю, что ноль принадлежит множеству натуральных чисел. А во-вторых, если он не принадлежит, то это ввооббче никакая не операция.


1. Я считаю, что не принадлежит, хотя мнение такое слышал. Но дело даже не в этом.
2. А почему это не операция? Мне кажется, здесь смешиваются понятия "операция" и "бинарная операция", точнее, сужается понятие операции путём приравнивания к бинарной. Это странно...

 
 
 
 Re: Вопросы по теории групп.
Сообщение04.06.2010, 22:06 
Аватара пользователя
Если два аргумента - то это бинарное. Это может быть операцией, а может и не быть. Если это однозначное - то оно операция. Если множество замкнуто относительно данной операции, то вместе с ней это множество представляет собой группоид, иначе - просто алгебра.

Вроде не наврал...

 
 
 
 Re: Вопросы по теории групп.
Сообщение04.06.2010, 22:24 
Аватара пользователя
Ещё есть слово магма. Не знаю, что это, но звучит стильно.

 
 
 
 Re: Вопросы по теории групп.
Сообщение04.06.2010, 22:46 
Аватара пользователя
AlexDem в сообщении #327784 писал(а):
Если множество замкнуто относительно данной операции, то вместе с ней это множество представляет собой группоид, иначе - просто алгебра.

Что-то сомневаюсь я насчёт последнего, потому что подалгеброй всё же называют подмножество, замкнутое относительно выбранных операций...

У меня тогда у самого пара вопросов:
1) Чем отличается Алгебра Ли от Группы Ли?
2) Если мы возьмём отношение в качестве сигнатуры, это ведь тоже будет алгебра? Или что?

 
 
 
 Re: Вопросы по теории групп.
Сообщение04.06.2010, 22:58 
ИСН в сообщении #327788 писал(а):
Ещё есть слово магма. Не знаю, что это, но звучит стильно.


Цитата:
Магма (группоид) — в абстрактной алгебре — базовый тип алгебраической структуры. Магма состоит из множества М с одной бинарной операцией M × M → M. Помимо требования замкнутости множества относительно заданной на нём операции, других требований к операции и множеству не предъявляется.

Термин магма был предложен Бурбаки. Термин группоид старше, но использование его в качестве альтернативы ввёл Остин Ор. Однако группоид также относится к другой алгебраической структуре, имеющей отношение к теории категорий.


http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/502304

Если верить этому определению, то группоид - разновидность магмы.

 
 
 
 Re: Вопросы по теории групп.
Сообщение04.06.2010, 23:04 
Аватара пользователя
Mitrius_Math в сообщении #327802 писал(а):
Если верить этому определению, то группоид - разновидность магмы.

По всей видимости, это в точности то же самое - в смысле алгебры группоид и магма тождественны, но ввели другое название, чтобы не путаться с терминами теории категорий.

 
 
 
 Re: Вопросы по теории групп.
Сообщение24.11.2010, 10:21 
Люди, помогите пожалуйста с заданием:
Является ли R группой относительно операции "о", где ХоY=$X^Y

 
 
 
 Re: Вопросы по теории групп.
Сообщение24.11.2010, 10:45 
Tsisar, посмотрите этот курс лекций, там есть примеры - http://matem.uspu.ru/i/inst/math/subjec ... 007D00.pdf.

 
 
 
 Re: Вопросы по теории групп.
Сообщение24.11.2010, 11:39 
Посмотрел и еще больше запутался :(

 
 
 
 Re: Вопросы по теории групп.
Сообщение24.11.2010, 11:55 
Tsisar в сообщении #379793 писал(а):
Является ли $\mathbb{R}$ группой относительно операции $*$, где $X*Y=X^Y$?
В группе обязана быть единица.

 
 
 [ Сообщений: 52 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group