Вопросы по теории групп.

[Mitrius_Math]

Xaositect в сообщении #319113 писал(а):

Очевидно, построить это отображение.

Как?

[arseniiv]

А изоморфизм между какими группами вам надо найти?

[Mitrius_Math]

Мне хотелось разобраться с этим вопросом в целом, сейчас ищу какую-нибудь несложную задачу.

[ИСН]

В целом вопрос сложный. А простую задачу я Вам дал на той странице.

[arseniiv]

Если так хочется в общем случае, есть идея. Если группы конечные, можно найти изоморфную каждой из них группу перестановок, как делается в доказательстве теоремы Кэли. А уж имея две группы "одной природы" будет легче понять, что к чему. А вот с бесконечными группами перестановок я не знаком, потому тут ничего не скажу.

[Mitrius_Math]

Давно мучает такой вопрос. Он касается первой аксиомы группы: для каждой упорядоченной пары элементов непустого множества А по некоторому закону найдётся единственный элемент того же множества А. Действительно ли такой элемент должен быть определён однозначно? Как-то в учебниках это обычно не пишется в явном виде (видел только в одном).
Пусть A= Q, а операция $*$ такова: $\frac{a}{b}*\frac{c}{d}=\frac{a+c}{bd}$, причём $a, b, c, d \in Z ,\ b,d \not=0$. Возьмём, например, $\frac{a}{b}=\frac{3}{3}=\frac{4}{4}$, $\frac{c}{d}=\frac{2}{1}=\frac{-2}{-1}$. Тогда получим два разных результата алгебраической операции $\frac{5}{3} ,\ -\frac{1}{2}$. Значит, $(A, *)$ не является группоидом, т.к. операция $*$ не является бинарной. Я прав?

[Профессор Снэйп]

Mitrius_Math в сообщении #327484 писал(а):

Давно мучает такой вопрос. Он касается первой аксиомы группы: для каждой упорядоченной пары элементов непустого множества А по некоторому закону найдётся единственный элемент того же множества А. Действительно ли такой элемент должен быть определён однозначно?

Да, всегда. Однозначность вкладывается в понятие операции. А умножение --- именно операция.

-- Пт июн 04, 2010 10:43:05 --

Mitrius_Math в сообщении #327484 писал(а):

Я прав?

Вообще-то нет. Потому что пишете "операция определяется", а затем определяете отнюдь не операцию!

В том, что не является группоидом, правы.

[Mitrius_Math]

Профессор Снэйп в сообщении #327512 писал(а):

затем определяете отнюдь не операцию!

А почему это не операция? Не бинарная, но операция.

[neo66]

Mitrius_Math в сообщении #327564 писал(а):

А почему это не операция?

Профессор Снэйп в сообщении #327512 писал(а):

Однозначность вкладывается в понятие операции.

[Mitrius_Math]

neo66 в сообщении #327573 писал(а):

Mitrius_Math в сообщении #327564 писал(а):

А почему это не операция?

Профессор Снэйп в сообщении #327512 писал(а):

Однозначность вкладывается в понятие операции.

Не знаю такого понятия. Знаю понятие бинарной операции. А операцией, по-моему, может быть всё, что угодно. Именно этим и был вызван мой вопрос.

-- Пт июн 04, 2010 12:58:50 --

И где, например, это определяется, в какой литературе?

[neo66]

Mitrius_Math в сообщении #327579 писал(а):

Знаю понятие бинарной операции. А операцией, по-моему, может быть всё, что угодно.

Да, мы говорим именно о бинарной операции, но бывают и другие, унарная, например. Определение бинарной операции можете сами найти в интернете.

[BapuK]

Mitrius_Math в сообщении #327579 писал(а):

neo66 в сообщении #327573 писал(а):

Mitrius_Math в сообщении #327564 писал(а):

А почему это не операция?

Профессор Снэйп в сообщении #327512 писал(а):

Однозначность вкладывается в понятие операции.

Не знаю такого понятия. Знаю понятие бинарной операции. А операцией, по-моему, может быть всё, что угодно. Именно этим и был вызван мой вопрос.

-- Пт июн 04, 2010 12:58:50 --

И где, например, это определяется, в какой литературе?

Отображением $f$ из множества $A$ в множество $B$ называется некоторое правило, по которому каждому элементу $a$ из множества $A$ ставится в соответсвие единственный элемент $f(a)$ множества $B$
n-арная операция на множестве $A$ это отображение $f:A^n \to A$
вроде так

[Профессор Снэйп]

BapuK в сообщении #327585 писал(а):

Отображением $f$ из множества $A$ в множество $B$ называется некоторое правило, по которому каждому элементу $a$ из множества $A$ ставится в соответсвие единственный элемент $f(a)$ множества $B$
n-арная операция на множестве $A$ это отображение $f:A^n \to A$
вроде так

Совершенно справедливо. Именно так.

[arseniiv]

Почему мало кто любит теоретико-множественное определение отображения? Правило да правило. Люди любят потом вот это определение толковать так, как заблагорассудится...

[BapuK]

кстати, а если определить, что числа из $\mathbb{Q}$ есть $\frac{m}{n}$, где $m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}$, причем $m$ и $n$ взаимнопросты, то данная штука будет бинарной операцией, т.к. данным заданием мы убираем неопределенность, верно же?