Вопросы по теории групп.

[neo66]

Вроде, нет. Ведь $0\in \mathbb {R}$ неоднозначно представим в таком виде. А на множестве $\mathbb {R}$\$0$ - да, и даже ассоциативной операцией.

[Mitrius_Math]

Вы меня не совсем правильно поняли: я хотел сказать, что понятие "алгебраическая операция" шире, чем понятие "бинарная операция".
Например, в книге А.Г. Куроша "Теория групп" (с. 15) даётся такое определение: "Пусть дано некоторое множество М. Мы говорим, что в М определена бинарная алгебраическая операция, если всяким двум (различным или одинаковым) элементам множества М, взятым в определённом порядке, по некоторому закону ставится в соответствие вполне определённый третий элемент, принадлежащий к этому же множеству". Отсюда и следует, что не всякая алгебраическая операция бинарная. Дело даже не в том,что она унарная или n-арная, а вообще какая-то произвольная. Например, пусть на множестве натуральных числе задана операция $a*b=\left|a-b \right|$. Она не бинарная и вообще не n-арная,а просто какая-то алгебраическая операция. Что мешает задать такую операцию?

P.S. Что касается заданного мной вопроса об однозначности результата бинарной операции, то он исчерпан, т.к. ответ я нашёл в упомянутой книге Куроша.

[neo66]

Mitrius_Math в сообщении #327709 писал(а):

Например, пусть на множестве натуральных числе задана операция $a*b=\left|a-b \right|$. Она не бинарная и вообще не n-арная,а просто какая-то алгебраическая операция.

Почему это она не бинарная? А мне, по моей наивности, всегда казалось, что очень даже бинарная.

[Mitrius_Math]

neo66 в сообщении #327730 писал(а):

Почему это она не бинарная?

Возьмем a=b (натуральное число) и получим ноль, который не принадлежит множеству натуральных чисел. Значит, операция не является бинарной на множестве натуральных чисел. Операция задаётся на каком-то определённом множестве.

[neo66]

Mitrius_Math в сообщении #327772 писал(а):

Возьмем a=b (натуральное число) и получим ноль, который не принадлежит множеству натуральных чисел. Значит, операция не является бинарной на множестве натуральных чисел.

Во-первых, есть мнение, хоть я его и не разделяю, что ноль принадлежит множеству натуральных чисел. А во-вторых, если он не принадлежит, то это ввооббче никакая не операция.

[Mitrius_Math]

neo66 в сообщении #327778 писал(а):

Mitrius_Math в сообщении #327772 писал(а):

Возьмем a=b (натуральное число) и получим ноль, который не принадлежит множеству натуральных чисел. Значит, операция не является бинарной на множестве натуральных чисел.

Во-первых, есть мнение, хоть я его и не разделяю, что ноль принадлежит множеству натуральных чисел. А во-вторых, если он не принадлежит, то это ввооббче никакая не операция.

1. Я считаю, что не принадлежит, хотя мнение такое слышал. Но дело даже не в этом.
2. А почему это не операция? Мне кажется, здесь смешиваются понятия "операция" и "бинарная операция", точнее, сужается понятие операции путём приравнивания к бинарной. Это странно...

[AlexDem]

Если два аргумента - то это бинарное. Это может быть операцией, а может и не быть. Если это однозначное - то оно операция. Если множество замкнуто относительно данной операции, то вместе с ней это множество представляет собой группоид, иначе - просто алгебра.

Вроде не наврал...

[ИСН]

Ещё есть слово магма. Не знаю, что это, но звучит стильно.

[AlexDem]

AlexDem в сообщении #327784 писал(а):

Если множество замкнуто относительно данной операции, то вместе с ней это множество представляет собой группоид, иначе - просто алгебра.

Что-то сомневаюсь я насчёт последнего, потому что подалгеброй всё же называют подмножество, замкнутое относительно выбранных операций...

У меня тогда у самого пара вопросов:
1) Чем отличается Алгебра Ли от Группы Ли?
2) Если мы возьмём отношение в качестве сигнатуры, это ведь тоже будет алгебра? Или что?

[Mitrius_Math]

ИСН в сообщении #327788 писал(а):

Ещё есть слово магма. Не знаю, что это, но звучит стильно.

Цитата:

Магма (группоид) — в абстрактной алгебре — базовый тип алгебраической структуры. Магма состоит из множества М с одной бинарной операцией M × M → M. Помимо требования замкнутости множества относительно заданной на нём операции, других требований к операции и множеству не предъявляется.

Термин магма был предложен Бурбаки. Термин группоид старше, но использование его в качестве альтернативы ввёл Остин Ор. Однако группоид также относится к другой алгебраической структуре, имеющей отношение к теории категорий.

http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/502304

Если верить этому определению, то группоид - разновидность магмы.

[AlexDem]

Mitrius_Math в сообщении #327802 писал(а):

Если верить этому определению, то группоид - разновидность магмы.

По всей видимости, это в точности то же самое - в смысле алгебры группоид и магма тождественны, но ввели другое название, чтобы не путаться с терминами теории категорий.

[Tsisar]

Люди, помогите пожалуйста с заданием:
Является ли R группой относительно операции "о", где ХоY=$X^Y

[Mitrius_Math]

Tsisar, посмотрите этот курс лекций, там есть примеры - http://matem.uspu.ru/i/inst/math/subjec ... 007D00.pdf.

[Tsisar]

Посмотрел и еще больше запутался :(

[neo66]

Tsisar в сообщении #379793 писал(а):

Является ли $\mathbb{R}$ группой относительно операции $*$, где $X*Y=X^Y$?

В группе обязана быть единица.