Вопросы по теории групп.

[Mitrius_Math]

Требуется определить, является ли группой множество $\mathbb R_+$ относительно алгебраической операции $*$, заданной формулой $a*b=a \cdot b+a$. Очевидно, что $\left[\mathbb R_+ ,\ * \right]$ - группоид, т.к. элемент $a*b=c \ \in \mathbb R_+$ cуществует и единственный. Проверяю аксиому ассоциативности: $a*(b*c)=(a*b)*c \ \Leftrightarrow \ abc+ab+a=abc+ac+ab+a$, что, конечно же, неверно. Отсюда вывод: рассматриваемое множество с алгебраической операцией есть всего лишь группоид, а не группа. Прав ли я? Проверьте, пожалуйста.

[arseniiv]

Правы. Это не группа.

[Mitrius_Math]

arseniiv в сообщении #317626 писал(а):

Правы. Это не группа.

Cпасибо.

[Mitrius_Math]

При решении задач из сборника под ред. Кострикина столкнулся с непонятным мне обозначением: например, группы $\mathbb R^* ,\ \mathbb Q^* ,\ \mathbb C^*$. Что это за группы? Какое именно множество подразумевается и какая операция?

[Xaositect]

Мультипликативные группы соответствующих полей. Т.е. все элементы, кроме нуля, с операцией умножения.

[Mitrius_Math]

Xaositect, огромное спасибо!
Было у меня такое подозрение, но хотелось уточнить.

-- Чт май 13, 2010 01:09:44 --

Требуется найти порядок элемента группы: $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 1 & 5 & 4 \end{pmatrix} \in S_5$. Правильно ли я понял, что имеется ввиду группа подстановок пятой степени относительно операции умножения? Делаю так: возвожу указанную подстановку в степень 2, 3, 4, 5, 6, после чего получаю тождественную подстановку. Заключаю, что степень элемента группы равна 6. С ответом сошлось, но верен ли метод решения?
А как быть, например, с таким элементом: $\begin{pmatrix} 0 & i \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \in GL_2 (\mathbb C)$ (задание то же)? Что обозначает $GL_2 (\mathbb C)$? Множество невырожденных комплексных матриц порядка 2? Подскажите, пожалуйста.

[mkot]

Mitrius_Math в сообщении #318723 писал(а):

При решении задач из сборника под ред. Кострикина столкнулся с непонятным мне обозначением: например, группы $\mathbb R^* ,\ \mathbb Q^* ,\ \mathbb C^*$. Что это за группы? Какое именно множество подразумевается и какая операция?

Mitrius_Math в сообщении #318726 писал(а):

Что обозначает $GL_2 (\mathbb C)$? Множество невырожденных комплексных матриц порядка 2? Подскажите, пожалуйста.

В задачнике Кострикина, по крайней мере в издании 2001 года в конце (начиная со стр. 460) приведена расшифровка всех обозначений.

Например, $GL_n(F)$ -- группа невырожденных линейных операторов в $n$-мернов векторном пространстве над полем $F$, группа невырожденных матриц порядка $n$ над полем $F$.

$K^{*}$ -- группа обратимых элементов кольца $K$.

[ИСН]

С перестановками можно было разбить на независимые циклы и там НОК. Неважно.

[Mitrius_Math]

ИСН в сообщении #318801 писал(а):

С перестановками можно было разбить на независимые циклы

Это я умею. Только зачем? Мне интересно, правильно ли моё решение.

[Xaositect]

Mitrius_Math в сообщении #318802 писал(а):

Это я умею. Только зачем? Мне интересно, правильно ли моё решение.

Правильно.

[Mitrius_Math]

Xaositect в сообщении #318834 писал(а):

Mitrius_Math в сообщении #318802 писал(а):

Это я умею. Только зачем? Мне интересно, правильно ли моё решение.

Правильно.

Cпасибо. А в чём принцип решения подобных задач? Возводя в степень, дойти до единичного элемента соответствующей мультипликативной группы? Ведь в приведённом мной примере именно так: тождественная подстановка есть единица группы $S_5$.

[Xaositect]

Ну да.
Для специальных групп могут быть специальные теоремы, вот тут говорили про НОК длин всех циклов.

[Mitrius_Math]

Не могу понять, как доказывать изоморфизм групп. С гомоморфизмом всё ясно, задачи решал. Гомоморфизмом группы $\left( A, *\right)$ в группу $\left( B, \circ \right)$ называется отображение $\phi: A \rightarrow B$, удовлетворяющее условию: $\left(\forall \ x,y \in A\right) \ \left(\phi(x*y)=\phi(x) \circ \phi(y)\right)$. Если данное отображение взаимно однозначно, то оно называется изоморфизмом. Например, легко доказать, что отображение $f: C^* \rightarrow R^* ,\ f(z)=\left|z \right|$ есть гомоморфизм. А как доказать изоморфизм, если просто даны две группы, а отображение формулой не задано?

-- Пт май 14, 2010 00:28:18 --

Кстати, есть ли другие задачники с упражнениями по теории групп, кроме сборника Кострикина (желательно попроще)?

[ИСН]

Дак задать. Но вообще, это может оказаться сложно.
Вот, скажем, те самые C* и R* - как думаете, они изоморфны или нет?

[Xaositect]

Mitrius_Math в сообщении #319100 писал(а):

А как доказать изоморфизм, если просто даны две группы, а отображение формулой не задано?

Очевидно, построить это отображение. :)