i в степени i

[malin]

Вопрос, наверное, простой, но что-то я не могу разобраться. Чему равно $i^i$? и почему?

[ИСН]

Узнайте сначала где-нибудь, чему равно $e^{10i}$.
Кто-то ведь уже это спрашивал.

[Mitrius_Math]

(Оффтоп)

http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=19129&hl

[ИСН]

(Оффтоп)

Я имею в виду, кто-то здесь уже это спрашивал.

[Mitrius_Math]

(Оффтоп)

ИСН, это я понял. Но я спрашивал именно там.

[malin]

софизм какой-то у меня получился...
$e^{10i} = ((e^{10i})^{\pi})^{1/{\pi}} = ((-1)^{10})^{1/\pi} = 1^{1/\pi} = 1}$

p.s. только что другие ответы увидел, пойду читать

[Mitrius_Math]

Почитайте ещё про показательную и тригонометрическую формы комплексного числа.

[Ales]

malin в сообщении #316003 писал(а):

Вопрос, наверное, простой, но что-то я не могу разобраться. Чему равно $i^i$? и почему?

Такие степени вводятся через логарифм и экспоненту: $a^x=e^{x\ln a}$.
Целые степени - умножение само на себя, дробные - корень, иррациональные - предел,
а комплексные - через экспоненту. $i^i$ - это только обозначение $e^{i\ln i }$, такого числа нет, ведь логарифм - многолистная функция.

[ewert]

Ales в сообщении #316023 писал(а):

такого числа нет, ведь логарифм - многолистная функция.

что ж; значит, и логарифма -- тоже нет, как класса. Да, кстати, и корня -- тоже нет и отродясь не бывало.

[worm2]

Всё-таки поиск по формулам --- великая вещь! Только что впервые его опробовал, и он не подкачал:
http://dxdy.ru/topic8101.html
http://dxdy.ru/topic27520.html

[venco]

Прикольно, что $\frac{\ln{i^i}}{2\pi}+\frac 1 2$ - все целые комплексные числа.

[Профессор Снэйп]

$$ i^i = e^{i\, \mathrm{Ln}\, i} = e^{i (i\pi/2 + 2\pi ki)} = e^{-\pi/2 + 2\pi k},\,\,\,\, k \in \mathbb{Z} $$

Другими словами,

$$ i^i = \{ e^{-\pi/2}, e^{3\pi/2}, e^{-5\pi/2}, e^{7\pi/2}, e^{-9\pi/2}, \ldots \} $$

-- Сб май 08, 2010 23:38:30 --

venco в сообщении #316188 писал(а):

...все целые комплексные числа.

Все целые рациональные

[malin]

спасибо большое, Профессор Снэйп.
Странно получается, я думал, что $a^x$ - комплексная функция, а это не так...

А помогите ещё найти ошибку - ИСН дал задачу найти, чему равно $e^{10i}$.

Я тут подумал и решил найти $e^{2ni}$.
$e^{2ni} = ((e^{2ni})^{\pi})^{1/{\pi}} = ((e^{i\pi})^{2n})^{1/{\pi}} = ((-1)^{2n})^{1/\pi} = 1^{1/\pi} = 1}$

Но ведь это неправильно!
Действительно, если бы это было верно, то $e^{2ni} = cos2n + isin2n = 1$, а это значит, что $sin2n = 0$ для любого n, что точно неверно.

ТФКП прошла мимо меня...

[ewert]

malin в сообщении #317041 писал(а):

Я тут подумал и решил найти $e^{2ni}$.
$e^{2ni} = ((e^{2ni})^{\pi})^{1/{\pi}} = ((e^{i\pi})^{2n})^{1/{\pi}} = ((-1)^{2n})^{1/\pi} = 1^{1/\pi} = 1}$

Но ведь это неправильно!

Зато красиво.

Дело в том, что $z^{1/\pi}\equiv e^{{1\over\pi}Ln z}=e^{{1\over\pi}(ln z+2\pi ki)}$ для любого целого $k$. В частности, это формально верно и для $z=1$. Просто для положительных $z$ по умолчанию принято выбирать вещественно-аналитическую ветвь этой функции, но если само $z$ изначально порождено неким комплексным выражением, то это умолчание снимается.