2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 i в степени i
Сообщение05.05.2010, 23:01 
Вопрос, наверное, простой, но что-то я не могу разобраться. Чему равно $i^i$? и почему?

 
 
 
 Re: i в степени i
Сообщение05.05.2010, 23:12 
Аватара пользователя
Узнайте сначала где-нибудь, чему равно $e^{10i}$.
Кто-то ведь уже это спрашивал.

 
 
 
 Re: i в степени i
Сообщение05.05.2010, 23:35 

(Оффтоп)


 
 
 
 Re: i в степени i
Сообщение05.05.2010, 23:38 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Я имею в виду, кто-то здесь уже это спрашивал.

 
 
 
 Re: i в степени i
Сообщение05.05.2010, 23:41 

(Оффтоп)

ИСН, это я понял. Но я спрашивал именно там. :mrgreen:

 
 
 
 Re: i в степени i
Сообщение05.05.2010, 23:49 
софизм какой-то у меня получился...
$e^{10i} = ((e^{10i})^{\pi})^{1/{\pi}} = ((-1)^{10})^{1/\pi} = 1^{1/\pi} = 1}$

p.s. только что другие ответы увидел, пойду читать

 
 
 
 Re: i в степени i
Сообщение06.05.2010, 00:01 
Почитайте ещё про показательную и тригонометрическую формы комплексного числа.

 
 
 
 Re: i в степени i
Сообщение06.05.2010, 00:06 
malin в сообщении #316003 писал(а):
Вопрос, наверное, простой, но что-то я не могу разобраться. Чему равно $i^i$? и почему?

Такие степени вводятся через логарифм и экспоненту: $a^x=e^{x\ln a}$.
Целые степени - умножение само на себя, дробные - корень, иррациональные - предел,
а комплексные - через экспоненту. $i^i$ - это только обозначение $e^{i\ln i }$, такого числа нет, ведь логарифм - многолистная функция.

 
 
 
 Re: i в степени i
Сообщение06.05.2010, 05:10 
Ales в сообщении #316023 писал(а):
такого числа нет, ведь логарифм - многолистная функция.

что ж; значит, и логарифма -- тоже нет, как класса. Да, кстати, и корня -- тоже нет и отродясь не бывало.

 
 
 
 Re: i в степени i
Сообщение06.05.2010, 15:09 
Аватара пользователя
Всё-таки поиск по формулам --- великая вещь! Только что впервые его опробовал, и он не подкачал:
http://dxdy.ru/topic8101.html
http://dxdy.ru/topic27520.html

 
 
 
 Re: i в степени i
Сообщение06.05.2010, 16:05 
Прикольно, что $\frac{\ln{i^i}}{2\pi}+\frac 1 2$ - все целые комплексные числа.

 
 
 
 Re: i в степени i
Сообщение08.05.2010, 19:53 
Аватара пользователя
$$
i^i = e^{i\, \mathrm{Ln}\, i} = e^{i (i\pi/2 + 2\pi ki)} = e^{-\pi/2 + 2\pi k},\,\,\,\, k \in \mathbb{Z}
$$
Другими словами,
$$
i^i = \{ e^{-\pi/2}, e^{3\pi/2}, e^{-5\pi/2}, e^{7\pi/2}, e^{-9\pi/2}, \ldots \}
$$

-- Сб май 08, 2010 23:38:30 --

venco в сообщении #316188 писал(а):
...все целые комплексные числа.

Все целые рациональные :-)

 
 
 
 Re: i в степени i
Сообщение08.05.2010, 23:00 
спасибо большое, Профессор Снэйп.
Странно получается, я думал, что $a^x$ - комплексная функция, а это не так...

А помогите ещё найти ошибку - ИСН дал задачу найти, чему равно $e^{10i}$.

Я тут подумал и решил найти $e^{2ni}$.
$e^{2ni} = ((e^{2ni})^{\pi})^{1/{\pi}} =  ((e^{i\pi})^{2n})^{1/{\pi}} = ((-1)^{2n})^{1/\pi} = 1^{1/\pi} = 1}$

Но ведь это неправильно!
Действительно, если бы это было верно, то $e^{2ni} = cos2n + isin2n = 1$, а это значит, что $sin2n = 0$ для любого n, что точно неверно.

ТФКП прошла мимо меня... :-(

 
 
 
 Re: i в степени i
Сообщение09.05.2010, 05:36 
malin в сообщении #317041 писал(а):
Я тут подумал и решил найти $e^{2ni}$.
$e^{2ni} = ((e^{2ni})^{\pi})^{1/{\pi}} =  ((e^{i\pi})^{2n})^{1/{\pi}} = ((-1)^{2n})^{1/\pi} = 1^{1/\pi} = 1}$

Но ведь это неправильно!

Зато красиво.

Дело в том, что $z^{1/\pi}\equiv e^{{1\over\pi}Ln z}=e^{{1\over\pi}(ln z+2\pi ki)}$ для любого целого $k$. В частности, это формально верно и для $z=1$. Просто для положительных $z$ по умолчанию принято выбирать вещественно-аналитическую ветвь этой функции, но если само $z$ изначально порождено неким комплексным выражением, то это умолчание снимается.

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group