2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 
Сообщение10.06.2007, 00:00 
У меня вопрос, которым уже не первый раз озадачивает преподаватель студентов.
Чему равен i в степени i ? i - это у нас мнимая единица.

 
 
 
 
Сообщение10.06.2007, 00:12 
Аватара пользователя
catharsis1996 писал(а):
Чему равен i в степени i ? i - это у нас мнимая единица.


По определению степени: $i^i=e^{i\cdot\mathop\mathrm{Ln}i}$. Дальше нужно вспомнить, как вычисляется логарифм комплексного числа.

 
 
 
 
Сообщение10.06.2007, 10:51 
Так натуральный логарифм комплексного числа равен комплексному числу:
$Lnz = \ln \left| z \right| + iArgz$
И че получаем при $z = i$? :shock:

 
 
 
 
Сообщение10.06.2007, 14:34 
подставим $i$ вместо $z$: $Ln i=\ln|i|+i Arg i = \ln 1 + i*\left(\frac\pi 2 +2\pi k\right)$

Тогда $i^i=e^{i* Ln i}=e^{i*i*\left(\frac\pi 2 +2\pi k\right)}=e^{-Arg i}$

 
 
 
 
Сообщение12.06.2007, 02:44 
Аватара пользователя
 !  catharsis1996
Пожалуйста, начинайте новую тему, а не вставляйте свой вопрос в случайно выбранную чужую.


Если есть вопросы, воспользуйтесь ЛС.

 
 
 
 Чему равен i в степени i
Сообщение20.10.2008, 23:00 
У меня получается, что i в степени i - действительное число, равное
e^-pi/2
Для проверки достаточно в формуле Эйлера e^(ix)=cos(x)+isin(x)взять
x=pi/2 и обе части равенства возвести в степень i.

 
 
 
 
Сообщение21.10.2008, 03:28 
ну только надо все же иметь в виду, что $z_1^{z_2}$ -- функция принципиально неоднозначная. То, что сейчас среди ветвей нашлась вещественная -- это, в некотором смысле, случайность...

 
 
 
 
Сообщение21.10.2008, 08:34 
Аватара пользователя
$$
i^i = e^{-\pi/2 + 2\pi k}, \,\, k \in \mathbb{Z}
$$

 
 
 
 
Сообщение21.10.2008, 09:15 
Профессор Снэйп писал(а):
$$
i^i = e^{-\pi/2 + 2\pi k}, \,\, k \in \mathbb{Z}
$$

Ну, коль уж пошла такая пьянка, исправим ещё одну ошибку:
... Исправил.

 
 
 
 
Сообщение21.10.2008, 09:30 
Аватара пользователя
ewert писал(а):
Профессор Снэйп писал(а):
$$
i^i = e^{-\pi/2 + 2\pi k}, \,\, k \in \mathbb{Z}
$$

Ну, коль уж пошла такая пьянка, исправим ещё одну ошибку:

$$
i^i = e^{-\pi^2/4 + \pi^2 k}, \,\, k \in \mathbb{Z}
$$


А Вы уверены? Откуда у Вас эти квадраты?

 
 
 
 
Сообщение21.10.2008, 12:31 
Профессор Снэйп писал(а):
А Вы уверены? Откуда у Вас эти квадраты?

А это я решил сделать ошибку, чтоб было, что исправлять.

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group