2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Найти все комплексные значения выражений
Сообщение23.11.2009, 20:34 
Условие такое: найти все комплексные значения следующих выражений и изобразить их на комплексной плоскости.

$i^i$
$\sin{i}$

Вопрос:
Что значит найти все комплексные значения выражения? Это значит представить данное комплексное число в алгебраической форме $z=x+iy$ и показать эти точки на комплексной плосоксти?

Не пойму никак.

 
 
 
 Re: Найти все комплексные значения выражений
Сообщение23.11.2009, 20:41 
Аватара пользователя
Ну синус онднозначная функция, а вот степень многозначна. Через логарифм её.

 
 
 
 Re: Найти все комплексные значения выражений
Сообщение28.11.2009, 16:56 
Аватара пользователя
$$
\sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}
$$
$$
i^i = e^{i \cdot \mathrm{Ln}(i)} = e^{i \cdot i(\pi/2 + 2\pi k)}, \,\,\, k \in \mathbb{Z}
$$

 
 
 
 Re: Найти все комплексные значения выражений
Сообщение07.12.2009, 08:49 
Интересно, а как это можно "изобразить все $i^i$ на комплексной плоскости"? Там и двух-то толком не изобразишь.

 
 
 
 Re: Найти все комплексные значения выражений
Сообщение07.12.2009, 10:45 
Меня вот это интересует:

$$i^i=e^{i Ln i}=e^{i(\ln{|i|}+i\pi/2+2k\pi i)}, k=0,\pm 1\pm 2, ...$$

Во первых, что делать с $\ln{|i|}$?

Во вторых, получается бесконечно много корней.

В третьих, мне ещё надо как эти числа изобразить на комплексной плоскости.

Короче, совсем запутался я с этой задачей. Помогите пожалуйста.

 
 
 
 Re: Найти все комплексные значения выражений
Сообщение07.12.2009, 10:46 
Чему равно $|i|$?

 
 
 
 Re: Найти все комплексные значения выражений
Сообщение07.12.2009, 10:50 
Sonic86 в сообщении #268664 писал(а):
Чему равно $|i|$?


В том-то и дело, что не знаю... НЕ поможете разобраться?

 
 
 
 Re: Найти все комплексные значения выражений
Сообщение07.12.2009, 10:58 
Блин, $|a+bi|= \sqrt{a^2+b^2}$.

 
 
 
 Re: Найти все комплексные значения выражений
Сообщение07.12.2009, 11:03 
Понял!

$$i^i=e^{i Ln i}=e^{i(\ln{|i|}+i\pi/2+2k\pi i)}=e^{-\pi/2+2k\pi}, k=0,\pm 1\pm 2, ...$$

Но тут я впадаю в ступор! Как же изображать на комплексной плоскости. Во первых, чисел бесконечное множество.

 
 
 
 Re: Найти все комплексные значения выражений
Сообщение07.12.2009, 11:13 
Ну Вам придется нарисовать 2-3 точки на плоскости в соответствующем масштабе и указать кривой, проходящей через них, куда уходят остальные точки для $k>0$. Для $k<0$ последовательность точек аккуратно приближается к нулю - можно еще 2-3 точки нарисовать и тоже кривой показать, что они уходят в нуль.

 
 
 
 Re: Найти все комплексные значения выражений
Сообщение07.12.2009, 11:37 
$k=0, e^{-\pi/2}=e^{-\pi/2}(\cos{0}+i\sin{0})$, то есть эта точка с абсциссой $\pi/2$ и ординатой $0$? и т.д.?

 
 
 
 Re: Найти все комплексные значения выражений
Сообщение07.12.2009, 11:45 
Ага, совершенно правильно.

 
 
 
 Re: Найти все комплексные значения выражений
Сообщение07.12.2009, 11:51 
Спасибо. Буду делать.

 
 
 
 Re: Найти все комплексные значения выражений
Сообщение07.12.2009, 19:17 
Sonic86 в сообщении #268677 писал(а):
придется нарисовать 2-3 точки на плоскости в соответствующем масштабе

Ну так вот как раз этого вот и не получится. Даже две соседних точки различаются друг от дружки по масштабу раз эдак в четыреста. Формулировка задачки -- откровенно дурацкая.

 
 
 
 Re: Найти все комплексные значения выражений
Сообщение07.12.2009, 19:23 
Аватара пользователя
А есть же такая специальная логарифмическая миллиметровка. На ней выйдет прямая .

 
 
 [ Сообщений: 15 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group