Полное решение континуум-проблемы

[Бодигрим]

Инт в сообщении #224743 писал(а):

Т.е. они образуют некоторую совокупность, конечно, но почему она – множество? Этим доказывается только то, что множество может содержать «не-множество», но не более того.

Математическая интерпретация этого фрагмента от меня упорно ускользает.

[Инт]

Бодигрим в сообщении #224794 писал(а):

Инт в сообщении #224743 писал(а):

Т.е. они образуют некоторую совокупность, конечно, но почему она – множество? Этим доказывается только то, что множество может содержать «не-множество», но не более того.

Математическая интерпретация этого фрагмента от меня упорно ускользает.

"Множество всех ординалов", к примеру, мы не можем признать в качестве настоящего множества. Соответственно, "множество всех начальных вполнепорядков" для $S$ может быть достаточно большим, как "множество всех ординалов", и не может быть признано классическим множеством.

[Инт]

Мною, конечно, упущено упоминание аксиомы выделения. По этой аксиоме и существует "множество всех вполнеупорядочиваемых подмножеств множества $S$". Аксиома, очевидно, применяется неконструктивно, без описания как конкретно образовывать такое "множество подмножеств". Можно поставить вопрос, следует ли вообще считать неконструктивные доказательства такого рода доказательствами? Так как в них нет чёткого различения деталей, только общая декларация. В сущности, в таких "доказательствах" свойства приписываются множествам, а не устанавливаются относительно кокретных множеств.

[Инт]

Из википедии:

Цитата:

агностицизм подвергает сомнению истинность или возможность доказательства или опровержения утверждений в некоторой области

Получаем, что направление, развиваемое гёделево-коэновской школой это агностицизм в математике. Интересно, как агностики знают об истинности их доктрины? Похоже, что в истории логики это не единственная попытка.

[pST]

Так вот. Пробовали ли Вы развивать анализ на гиперконтинууме?

[Инт]

pST в сообщении #225878 писал(а):

Пробовали ли Вы развивать анализ на гиперконтинууме?

Пробовал. Развивается, весьма интересно. Вообщем, получается неархимедов анализ, т.е. то. что иногда называют "нестандартным анализом". Мой более чёткий.

[Инт]

Цитата:

Н.Н. счтитал, что доказательство непротиворечивости континуум-гипотезы не является удовлитворительным решением континуум-проблемы. Он считал, что целью теории множеств является накопление фактов, которые позволили бы выбрать определённую гипотезу. Арифметический континуум, - говорил он, - должен быть единственным. Н.Н. совершенно определённо полагал, что идея Гильберта о возможности формализовать всю математику является ошибочной.

УМН, т. VIII, вып.2(54), март-апрель 1953 г. Л.В.Келдыш, П.С.Новиков. Работы Н.Н.Лузина в области дескриптивной теории множеств.

Я не раз заявлял о своей интуиционистской позиции, но понимать мой интуиционизм следует не в том духе, о котором заявлял Брауэр и другие. Как раз позиция Лузина, Пуанкаре, Кантора мне ближе. Мою стратегию в математике можно назвать истинный интуиционизм, или радикальный неоплатоновский. Суть его в том, что математика есть знание и человек может знать о тех идеальных объектах, о которых он действительно думает. Если кто-то заменяет эти идеальные объекты на что-то другое, например, на "буквы", то он говорит о чём угодно, только не о предмете, который был изначально определён интуицией. Т.е. формалист говорит не о предмете исследования. А значит, врёт. Хотя формализация может быть иногда полезна как технический приём. Иными словами, вопреки Брауэру, математик имеет прямую связь с Богом. С другой стороны, мы не можем приписывать конкретным идеальным объектам, к примеру континууму, произвольно те или иные непротиворечивые свойства, подобно тому, как конкретному вектору пространства нельзя приписывать уравнения, которым он должен удовлетворять. Т.е., хотя можно сформулировать непротиворечивые линейные свойства, для конкретного вектора они могут не подойти. С моей точки зрения, математике необходимо сделать радикальный шаг, привлекая к решению задач не только дедукцию, но и строгую индукцию.

-- Ср июл 01, 2009 22:39:46 --

Коэн:

Цитата:

«С этой точки зрения С рассматривается как невероятно большое множество, которое дано нам какой-то смелой аксиомой и к которой нельзя приблизиться путем какого бы то ни было постоянного процесса построения»

Можно сказать, что Коэн хорошо осознавал, что на самом деле означает его "решение". Предсказание его довольно удивительно.

[pST]

Инт в сообщении #225906 писал(а):

pST в сообщении #225878 писал(а):

Пробовали ли Вы развивать анализ на гиперконтинууме?

Пробовал. Развивается, весьма интересно. Вообщем, получается неархимедов анализ, т.е. то. что иногда называют "нестандартным анализом". Мой более чёткий.

Какие-нибудь результаты можете доложить?

[epros]

Инт в сообщении #225994 писал(а):

Суть его в том, что математика есть знание и человек может знать о тех идеальных объектах, о которых он действительно думает.

Это - масло масляное. Естественно, те "идеальные объекты, о которых Вы думаете", составляют Ваше "знание", ибо первое и второе - просто синонимы, разные слова для обозначения одного и того же. Но это не исключает той возможности, что это Ваше "знание" является полной чушью, существующей только в Вашей голове и нигде более.

Инт в сообщении #225994 писал(а):

Если кто-то заменяет эти идеальные объекты на что-то другое, например, на "буквы", то он говорит о чём угодно, только не о предмете, который был изначально определён интуицией. Т.е. формалист говорит не о предмете исследования. А значит, врёт.

То же самое можно сказать и о данном Вашем тексте, ибо сейчас, когда Вы говорите об "идеальных объектах", Вы заменяте их на "буквы" и "слова".

Инт в сообщении #225994 писал(а):

математик имеет прямую связь с Богом

"Прямую связь с Богом" имеет не математик, а пророк.
Хотя точнее будет сказать так: Тот, кто считает, что имеет прямую связь с Богом, считает себя пророком.

[Инт]

pST в сообщении #226026 писал(а):

Какие-нибудь результаты можете доложить?

Пока нет времени на это. Простые и достаточно интересные результаты есть. Посмотрите, например, §6. Он фактически - приложение. Там даётся определение числа на гиперпрямой как «способа образования обычного действительного числа». В том числе, это касается определения актуальных бесконечно малых величин. Эти способы можно складывать и перемножать между собой. Кроме того, они образуют частичный порядок, включающий гиперконтинуум в том строгом виде, в котором он определён в §1. Таким образом, гиперконтинуум, неархимедову прямую, я не понимаю однозначно, так как существует много разных «прямых», на которых можно развить гиперанализ, по другому говоря, неархимедов анализ.

-- Чт июл 02, 2009 15:26:10 --

Нашёл интересную заметку в интернете.

Цитата:

Представленная Лобачевским Российской Академии наук в 1832 году, неевклидова геометрия была с ходу отвергнута в грубой форме, как «непонятная, выполненная с малым старанием и не заслуживающая внимания Академии», - так ёмко охарактеризовал её великий Остроградский. С ним были согласны Буняковский и все остальные члены Академии – единогласно. В конечном счёте гениальное открытие стоило Лобачевскому отстранения от ректорства в Казанском университете, а также кафедры математики и даже должности ординарного профессора. Бойяи, не имевшему научных званий и должностей, его теория стоила жизни.

Из книги Владимира Буткова «Теория относительности, как несчастный случай».

Настоящая судьба настоящих математиков.

-- Чт июл 02, 2009 15:42:24 --

epros в сообщении #226029 писал(а):

То же самое можно сказать и о данном Вашем тексте, ибо сейчас, когда Вы говорите об "идеальных объектах", Вы заменяте их на "буквы" и "слова"..

Нельзя сказать то же самое. Так как человек использует буквы и слова только для того, чтобы воспроизвести в сознании другого саму суть мысли (замечу, что слово "суть" есть синоним слова "есть", "исть", "истина", древнеарийский корень), т.е. саму мысль, которая имеется у сообщающего его. Возможно, мысль ошибочна, но она именно та, которую он имеет. Лучше мысли всё равно ничего предолжить невозможно. Если мысль заменяется на слова, то она уже не есть то, что имеется на самом деле в уме сообщающего. Изречённая есть ложь. Конечно, нельзя так однозначно оценивать хорошие изречённые мысли. Ясно, что они подвигают ум воспринимающего их воспринять в конечном итоге информацию точно. Что касается «пророка», то вы опять не правы. Дело в том, что любое живое существо имеет изначально прямую связь с богом.

[epros]

Инт в сообщении #226062 писал(а):

Так как человек использует буквы и слова только для того, чтобы воспроизвести в сознании другого саму суть мысли (замечу, что слово "суть" есть синоним слова "есть", "исть", "истина", древнеарийский корень), т.е. саму мысль, которая имеется у сообщающего его. Возможно, мысль ошибочна, но она именно та, которую он имеет. Лучше мысли всё равно ничего предолжить невозможно. Если мысль заменяется на слова, то она уже не есть то, что имеется на самом деле в уме сообщающего. Изречённая есть ложь. Конечно, нельзя так однозначно оценивать хорошие изречённые мысли. Ясно, что они подвигают ум воспринимающего их воспринять в конечном итоге информацию точно.

Вы в одном абзаце трижды противоречите самому себе. То Вы говорите, что буквы и слова можно использовать, чтобы "воспроизвести суть мысли" (и это идёт в разрез с предыдущим постом, где Вы такое действие обозначили как "врать"). То тут же через предложение Вы говорите, что если мысль заменяется на слова (изрекается), то она уже - ложь. И дальше опять допускаете, что к "хорошо изречённым" мыслям это не относится. Так что Вы хотели сказать?

Мы не знаем никакого другого способа "передать мысль", кроме как сформулировать её "в буковках и словах" (устно или письменно). Даже когда человек оценивает какую-то собственную мысль, без намерения её кому-то передать, он зачастую формулирует её на каком-то языке (возможно, более богатом, чем тот, который можно выразить в звуках или в тексте). По-сути, если мысль никак не сформулирована, её просто нет как таковой. А хорошо сформулированная (строго и однозначно по определённым правилам) мысль - это уже предложение той самой формальной теории, которую Вы обзываете "ложью".

Инт в сообщении #226062 писал(а):

Что касается «пророка», то вы опять не правы. Дело в том, что любое живое существо имеет изначально прямую связь с богом.

Это домыслы, ибо спорно и бездоказательно. Выражаясь напрямую: это и есть слова человека, претендующего на роль пророка. И претендующего безосновательно, ибо то, что высказывает "настоящий пророк", не должно вызывать сомнений у слышащих его.

[Инт]

epros в сообщении #226228 писал(а):

Инт в сообщении #226062 писал(а):

Так как человек использует буквы и слова только для того, чтобы воспроизвести в сознании другого саму суть мысли (замечу, что слово "суть" есть синоним слова "есть", "исть", "истина", древнеарийский корень), т.е. саму мысль, которая имеется у сообщающего его. Возможно, мысль ошибочна, но она именно та, которую он имеет. Лучше мысли всё равно ничего предолжить невозможно. Если мысль заменяется на слова, то она уже не есть то, что имеется на самом деле в уме сообщающего. Изречённая есть ложь. Конечно, нельзя так однозначно оценивать хорошие изречённые мысли. Ясно, что они подвигают ум воспринимающего их воспринять в конечном итоге информацию точно.

Вы в одном абзаце трижды противоречите самому себе. То Вы говорите, что буквы и слова можно использовать, чтобы "воспроизвести суть мысли" (и это идёт в разрез с предыдущим постом, где Вы такое действие обозначили как "врать"). То тут же через предложение Вы говорите, что если мысль заменяется на слова (изрекается), то она уже - ложь. И дальше опять допускаете, что к "хорошо изречённым" мыслям это не относится. Так что Вы хотели сказать?

Сравните, что написано мною в приведённой вами же цитате, и как это интерпретированно вами. Ясно, что я имел ввиду то, что правильные слова (в смысле их адекватности процессу выражения мысли) могут способствовать наиболее правильному выражению мысли. Правильные мысли и правильные слова ведут к знанию.

epros в сообщении #226228 писал(а):

Мы не знаем никакого другого способа "передать мысль", кроме как сформулировать её "в буковках и словах" (устно или письменно). Даже когда человек оценивает какую-то собственную мысль, без намерения её кому-то передать, он зачастую формулирует её на каком-то языке (возможно, более богатом, чем тот, который можно выразить в звуках или в тексте). По-сути, если мысль никак не сформулирована, её просто нет как таковой. А хорошо сформулированная (строго и однозначно по определённым правилам) мысль - это уже предложение той самой формальной теории, которую Вы обзываете "ложью".

Да, но если мысль действительно хорошо сформулирована. Если например, одновременно строить формальную теорию бесконечности и ту же утверждать, что бесконечность не имеет никакой реальности, это лишь буквы, то в этом и есть ложь. Можно обвинять платонистов в том, что они не доказали реального существания бесконечности, но тогда формалисты, агностики не доказали обратного - её несуществования. На каком же основании, на каком знании агностики утверждают своё? Аналогично, если заменить настоящее понимание слова "решение", на суррогат, т.е. изменить объём понятия на сомнительных основаниях, спекулируя на сложности задачи, то такая замена, точнее подмена, есть ложь. Если задача не решена, то она не решена и всё, и нечего врать. Строго говоря, любое несоответствие есть ложь. Иногда, тонкие математические моменты состоят в том, что когда мысль высказана, она уже не есть то, что она есть. И в этом несоответствие. Т.е. в какой-то степени ложь. Это я имел ввиду.

epros в сообщении #226228 писал(а):

Инт в сообщении #226062 писал(а):

Что касается «пророка», то вы опять не правы. Дело в том, что любое живое существо имеет изначально прямую связь с богом.

Это домыслы, ибо спорно и бездоказательно.

Это врёте. Собственно это, и остальное высказанное вами, к делу не относится.

[epros]

Инт в сообщении #226265 писал(а):

я имел ввиду то, что правильные слова (в смысле их адекватности процессу выражения мысли) могут способствовать наиболее правильному выражению мысли.

А "самый правильный" из известных на сегодня способов выражения мыслей - математическая формализация. И ежели оная отсутствует, то это наводит на подозрения об отсутствии и собственно мысли.

Инт в сообщении #226265 писал(а):

Если например, одновременно строить формальную теорию бесконечности и ту же утверждать, что бесконечность не имеет никакой реальности, это лишь буквы, то в этом и есть ложь.

И о чём же это Вы? О теоретико-множественной аксиоме бесконечности? Так те, кто её принимают, не говорят, что она "не имеет никакой реальности". А кто не принимает, не строит "формальную теорию бесконечности".

Инт в сообщении #226265 писал(а):

Аналогично, если заменить настоящее понимание слова "решение", на суррогат, т.е. изменить объём понятия на сомнительных основаниях, спекулируя на сложности задачи, то такая замена, точнее подмена, есть ложь.

Чтобы было что "заменять", это самое "настоящее понимание" должно для начала быть. А если есть только заявления о том, что таковое понимание имеется, но в чём оно заключается человек объяснить не в состоянии, то значит имеет место самообман и самовнушение при отсутствии "настоящего понимания".

"Решение" - это конечная цепочка вывода, каждый шаг которой выполнен по одному из заранее определённых правил вывода. Вот это - "настоящее понимание". Плохое оно или хорошее, но никакого другого смысла для этого слова, дающего другой "объём понятия", пока никто не определил.

Инт в сообщении #226265 писал(а):

epros в сообщении #226228 писал(а):

Инт в сообщении #226062 писал(а):

Что касается «пророка», то вы опять не правы. Дело в том, что любое живое существо имеет изначально прямую связь с богом.

Это домыслы, ибо спорно и бездоказательно.

Это врёте.

Нечего тут желчью брызгать. Я сказал "спорно", значит я считаю противоположное утверждение не менее убедительным. Я сказал "бездоказательно", значит я не вижу никаких доказательств. Если хотите доказать - доказывайте. Если хотите, чтобы я поверил без доказательств - идите в ...

[Инт]

Не слишком интересно Вы epros возражаете.


Укажу на ситуации в работе математика, когда слова не имеют значения. Сначала приведу пример логического рассуждения вне вербальных рамок. Если оперативный командир находится со своим отрядом в боевой ситуации, то он принимает решения, делает логические выводы, в первую очередь, опираясь на свои наблюдения, а не на слова. Мало того, если в такой ситуации делать выводы, исходя только из сообщений подчинённых, то можно погибнуть вместе с ними. Подобным же образом, вожак волчей стаи, как заметили биологи, планирует свои действия: обходит деревни, выбирает место стоянки, выбирает время охоты, т.е. принимает решение на интуиции.

Если математик решает сложную задачу, то только на некотором, самом примитивном уровне он рассуждает в том смысле слова "рассуждать", которое имеют ввиду обычные люди. Т.е. на этапе, когда он только примеряется к задаче. Затем происходит следующее. Задача, если она действительно трудная, означает, что известными методами её не решить. Обычно, эти уже хорошо известные методы, как раз и вербализуют, формализуют. Но ключ к решению лежит в операциях, выходящих за рамки известного. Это не означает, что операции не познаваемы, так как предъявленные конкретно в уме, подобно знакам на бумаге, они могут быть видны всем. Т.е. в конкретном предъявлении математик может знать о них абсолютно, может видить их, различать такие мыслительные операции. Ведение синоним знания (не зря есть книга Веды). И вот тогда, идёт полный отказ от какой-либо формализации, от какой-либо завязки на старое, поскольку может оказаться, что именно такие завязки и мешают решить задачу, кроме того, таких обычных операций, как правило, не достаточно по количеству, мало в самом прямом смысле. Из-за этого, для того, чтобы решить задачу, необходимо просмотреть огромный объём информации в собственном уме. Из-за этого, математик настолько сильно сосредотачивается на задаче, что его интеллектуальный процесс с некоторого момента уже нельзя назвать "рассуждением". Сосредоточнение мысли становится очень сильным. Такое сосредоточение становится по сути медитацией. Включаются некие глубокие мыслительные инстинкты, изначальная интуиция, чистая мысль, с позиции которых слова не имеют никакого значения. В этом состоянии, в уме связывается огромное число конкретных ассоциаций, точек зрения, мыслительных реакций. Математик может их сопоставлять и видеть сразу, без так называемого дедуктивного вывода. Видно, как в ум притекает физиологическая энергия особого рода. Выразить такой процесс через слова в принципе не возможно.

Иногда при сосредоточнии можно видеть даже работу собственного мозга: отдел мозга вопроизводит частное видение предмета исследования, т.е. с некоторой точки зрения, и затем несколько таких отделов проецируют видение задачи в один синтезирующий отдел, где сознание (со-знание) склеивает точки зрения, и проделывает умозаключение не на основе рассуждения, а сразу, на основе непрерывной работы нейронов. Вот это и есть настоящая математическая логика.

Сама же интуиция основана не на опыте, как думают некоторые, она изначально дана каждому живому существу для поиска истины, собственно как инстинкт, как способность усматривать истину сразу, не имея опыта. У разумных существ, включается ещё и аналитика - различение.

[AGu]

Инт в сообщении #226274 писал(а):

Если математик решает сложную задачу [...] математик настолько сильно сосредотачивается на задаче, что его интеллектуальный процесс с некоторого момента уже нельзя назвать "рассуждением".

Согласен. Но (ничего личного!) профессиональный математик все же предпочитает не делиться с публикой конспектами этого (сугубо интимного) процесса, ибо он (1) уважает потенциальных читателей и (2) понимает, что эти конспекты в лучшем случае будут игнорированы, а в худшем -- вызовут раздражение и будут обозваны "потоком сознания".