Что такое истина и ложь?

[epros]

iig в сообщении #226262 писал(а):

Может, это поможет разобраться и разрешить проблемы оснований математики, в частности, в теории множеств.

Назовите какую-нибудь проблему (я не намекаю на то, что "проблем не существует", просто чтобы был понятен предмет обсуждения).

[Свободный Художник]

Что такое истина и ложь?
Почему бы не дать такое определение: это элементы любого двухэлементного множества.

Возможно, что к этому определению нужно что-то добавить. А возможно, что и добавлять ничего не надо.

[iig]

Согласен, только я пытаюсь это выразить в болл общем виде - кроме категорий истина и ложь можно добавить "не знаю" и "не скажу", и еще можно придумать.

-- 04 июл 2009, 12:32 --

epros в сообщении #226264 писал(а):

iig в сообщении #226262 писал(а):

Может, это поможет разобраться и разрешить проблемы оснований математики, в частности, в теории множеств.

Назовите какую-нибудь проблему (я не намекаю на то, что "проблем не существует", просто чтобы был понятен предмет обсуждения).

Проблем хватает, я их не собираюсь решать, а только выражаю свое мнение и идеи, может поможет кому-то решить.
Сылок в инете не искал, зато не поленился найти высоко на полке во втором ряду:
Справочная книга по математической логике: В 4-х частях/Под ред. Дж.Барвайса. -М.: Наука, 1982.
P.S. писать "ссылки" неприлично
P.P.S. слово "писать" тоже неприлично - надо "испражняться буквами, а не словами"

[epros]

Свободный Художник в сообщении #226304 писал(а):

Что такое истина и ложь?
Почему бы не дать такое определение: это элементы любого двухэлементного множества.

Возможно, что к этому определению нужно что-то добавить. А возможно, что и добавлять ничего не надо.

И что толку от такого определения (если к нему ничего не добавлять)? Людям обычно интересно откуда брать значение истинности (для высказывания), а не то, в сколькоэлементном множестве оно лежит.

[Свободный Художник]

epros в сообщении #226786 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #226304 писал(а):

Что такое истина и ложь?
Почему бы не дать такое определение: это элементы любого двухэлементного множества.

Возможно, что к этому определению нужно что-то добавить. А возможно, что и добавлять ничего не надо.

И что толку от такого определения (если к нему ничего не добавлять)?

Ну так добавьте! Будет интересно посмотреть, что получится.

-- Вт июл 07, 2009 12:14:48 --

epros в сообщении #226786 писал(а):

Людям обычно интересно откуда брать значение истинности (для высказывания), а не то, в сколькоэлементном множестве оно лежит.

И какие люди Вам об этом сказали?
В любом случае, вопрос темы сформулирован вполне четко: “Что такое истина и ложь?”, а не: “Откуда брать значение истинности для высказывания”?

[epros]

Свободный Художник в сообщении #227078 писал(а):

Ну так добавьте! Будет интересно посмотреть, что получится.

Я предлагаю добавить указание на то, откуда это значение брать. Своё предложение на этот счёт я уже дал: Высказывание истинно, если доказано в истинной (т.е. в принятой нами) теории. Ложно - если опровергнуто в истинной теории.

Свободный Художник в сообщении #227078 писал(а):

epros в сообщении #226786 писал(а):

Людям обычно интересно откуда брать значение истинности (для высказывания), а не то, в сколькоэлементном множестве оно лежит.

И какие люди Вам об этом сказали?

Вам как, перечислить или дать общее определение через свойства? Например, так: любые люди, не являющиеся математиками.

Свободный Художник в сообщении #227078 писал(а):

В любом случае, вопрос темы сформулирован вполне четко: “Что такое истина и ложь?”, а не: “Откуда брать значение истинности для высказывания”?

И опять невольно вспоминается анекдот про математика, ответившего путешественникам, что они находятся на воздушном шаре. Вопрос сформулирован вполне четко, так давайте и ответим чётко: Это два слова, первое - из шести, а второе - и четырёх букв. Устраивает?

[Свободный Художник]

epros в сообщении #227083 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #227078 писал(а):

Ну так добавьте! Будет интересно посмотреть, что получится.

Я предлагаю добавить указание на то, откуда это значение брать. Своё предложение на этот счёт я уже дал: Высказывание истинно, если доказано в истинной (т.е. в принятой нами) теории. Ложно - если опровергнуто в истинной теории.

Ну, а я бы так добавил:
(Классические) истина и ложь – это элементы любого двухэлементного множества на котором задана структура булевой алгебры.

[epros]

Свободный Художник в сообщении #227096 писал(а):

(Классические) истина и ложь – это элементы любого двухэлементного множества на котором задана структура булевой алгебры.

И какой толк от этого определения? Если некто захочет узнать, высказывание: "Земля вращается вокруг Солнца", - истнно или ложно, такое определение хоть в чём-то ему поможет?

Смотрите, с чего начал топикстартер:

ellipse в сообщении #202500 писал(а):

Истинность и ложность - это результат применения алгоритма к какой-то совокупности информации, например, к подмножеству слов какого-то формального языка или массиву информации о реальности.

В этом, по крайне мере, есть хоть какой-то смысл: человек хочет понять каково применение этих понятий в реальности.

[STilda]

epros в сообщении #227126 писал(а):

И какой толк от этого определения? Если некто захочет узнать, высказывание: "Земля вращается вокруг Солнца", - истнно или ложно, такое определение хоть в чём-то ему поможет?

Ну а в чем поможет знание что это высказывание истинно или ложно? Что будет дальше, после оценки на истинность/ложность? Не применение ли алгебры на этих значениях? Если нет, так давайте скажем что высказывание "Земля вращается вокруг Солнца" сёвковое или проповное. Без системы взаимодействий этих значений (без алгебры) в них нет смысла.

Опять же

Цитата:

Если некто захочет узнать, высказывание: "Земля вращается вокруг Солнца", - истнно или ложно, такое определение хоть в чём-то ему поможет?

Это определение самих значений-полярностей и как с ними работать, а не способ поляризации выражений. Тоесть есть понятие цвета а есть способ покрасить объект в какойто цвет.

[epros]

STilda в сообщении #227173 писал(а):

epros в сообщении #227126 писал(а):

И какой толк от этого определения? Если некто захочет узнать, высказывание: "Земля вращается вокруг Солнца", - истнно или ложно, такое определение хоть в чём-то ему поможет?

Ну а в чем поможет знание что это высказывание истинно или ложно?

Ха, это уж зависит от конкретной задачи, стоящей перед пользователем. Может быть он календарь затмений составляет, а может быть собрался космический аппарат запускать. Но чтобы начать решать какую-то конкретную задачу, нужно сформулировать исходные условия, т.е. по-сути - определить, что истинно.

STilda в сообщении #227173 писал(а):

Что будет дальше, после оценки на истинность/ложность? Не применение ли алгебры на этих значениях? Если нет, так давайте скажем что высказывание "Земля вращается вокруг Солнца" сёвковое или проповное. Без системы взаимодействий этих значений (без алгебры) в них нет смысла.

Почему Вы так уверены, что всё должно свестись к применению алгебры и что только в этом "смысл"? Алгебра (булева или иная) нужна всего лишь для того, чтобы построить исчисление высказываний. Просто булева алгебра - традиционная основа для классического исчисления высказываний. Но исчисление можно построить и не глядя ни на какую алгебру.

Вот Вам пример некой теории (условно назовём её "недоарифметикой"):
1. Принимаем за аксиому следующую строку: $\vdash 0 \in \mathbb{N}$
2. Принимаем в качестве правила вывода: $(\forall x) ((\vdash x \in \mathbb{N}) \Rightarrow (\vdash S(x) \in \mathbb{N}))$.

Далее, с помощью тупой подстановки в правило вывода вместо переменной $x$ строки $0$, потом $S(0)$ и т. д. выводим теоремы вида: $\vdash S(0) \in \mathbb{N}$, $\vdash S(S(0)) \in \mathbb{N}$ и т. д.

Теперь смотрите: Мы фактически получили определение любого натурального числа, хотя при этом не воспользовались ни одним из законов логики, т.е. данная теория вообще ничего не знает о булевой алгебре.

Я, конечно, не утверждаю, что эта теория столь же содержательна, как арифметика Пеано. Но тем не менее - налицо бесконечное количество теорем, причём поддающихся некой вполне разумной интерпретации.

STilda в сообщении #227173 писал(а):

Это определение самих значений-полярностей и как с ними работать, а не способ поляризации выражений. Тоесть есть понятие цвета а есть способ покрасить объект в какойто цвет.

Понятие цвета есть способ определения того, какой цвет имеет объект. А Вы пытаетесь доказать, что цвет - это просто одно из слов: "красный", "синий", "зелёный" ... , плюс некоторые операции над этими словами, например: "жёлтый" + "синий" = "зелёный".

[STilda]

epros в сообщении #227329 писал(а):

Теперь смотрите: Мы фактически получили определение любого натурального числа, хотя при этом не воспользовались ни одним из законов логики, т.е. данная теория вообще ничего не знает о булевой алгебре.

По идее мы ПОЛЬЗОВАЛИСЬ законами логики. Только не сказали про это явно. Вы же использовали свое мышление? Во втором пункте вы использовали:
квантор (можно ли квантор определить без логики?),
значок следования (можно ли следование определить без логики?),
результаты - то, что стоит справа от значка следования ,
вы делали сопоставление 1. и 2. и подставляли вместо $x$ $0,S(0),...$ (можно ли сопоставлять без логики? результат сопоставления же это "подходит" или "не подходит")
и так далее...
Это можно сделать без логики?
Вы же размышляли логически: "Таак, если из А следует В для любого икс, а известно что А выполняется для нуля значит имеем В для нуля"? Разве нет?

И да, я не имею ввиду некоторую математическую логику, булеву алгебру, исчисление высказываний. Все это пошло от обычной человеческой логики, как он рассуждает.

[epros]

STilda в сообщении #227336 писал(а):

epros в сообщении #227329 писал(а):

Теперь смотрите: Мы фактически получили определение любого натурального числа, хотя при этом не воспользовались ни одним из законов логики, т.е. данная теория вообще ничего не знает о булевой алгебре.

По идее мы ПОЛЬЗОВАЛИСЬ законами логики. Только не сказали про это явно. Вы же использовали свое мышление?
...
И да, я не имею ввиду некоторую математическую логику, булеву алгебру, исчисление высказываний. Все это пошло от обычной человеческой логики, как он рассуждает.

Вот именно, что Вы подменили предмет обсуждения: Речь была о формализме - булевой алгебре, а не о "логике" в смысле "мышление". Никто не отрицает, что, определяя формальную теорию, мы "используем своё мышление".

STilda в сообщении #227336 писал(а):

Во втором пункте вы использовали:
квантор (можно ли квантор определить без логики?),
значок следования (можно ли следование определить без логики?),
результаты - то, что стоит справа от значка следования ,
вы делали сопоставление 1. и 2. и подставляли вместо $x$ $0,S(0),...$ (можно ли сопоставлять без логики? результат сопоставления же это "подходит" или "не подходит")
и так далее...

Как видите, всё указанное не относится к определяемой теории:
- Квантор всеобщности (а я мог бы и просто сказать словами: "для любой строки $x$") здесь выступает как метатеоретический символ. Можете считать его "логическим", но это не означат что в саму формальную теорию попал хоть один закон логики.
- Следование тоже определено в метатеории: если 1 теорема, то и 2 теорема. Это нужно всего лишь для понятного описания правила вывода и не имеет отношения к булевой алгебре.
- Подстановка вместо $x$ любой подстроки - это просто строковая операция, определённая в рамках метатеории. Обычно предполагается, что смысл таких вещей никому объяснять не нужно, поэтому это вопрос даже не "логики", а просто общезначимых базовых понятий.

STilda в сообщении #227336 писал(а):

Вы же размышляли логически: "Таак, если из А следует В для любого икс, а известно что А выполняется для нуля значит имеем В для нуля"? Разве нет?

При желании, конечно, любое объяснение можно назвать "логическим". Тем не менее это не значит, что речь идёт о булевой алгебре. Можете рассматривать это как задание для программиста: взять такую-то теорему и подставить вместо этого то-то. Сама же формальная теория - это уже как бы готовая программа, написанная по этому заданию. И эта программа не использует ни одной аксиомы булевой алгебры - только строковые подстановки.

[Свободный Художник]

А вот давайте так поставим вопрос. Подмножества некоторого множества $X$ иногда определяются при помощи так называемых “характеристических функций”:
http://en.wikipedia.org/wiki/Indicator_function
http://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_function

Областью определения таких функций является множество $X$, а областью значений – двухэлементное множество $\{0, 1\}$. Можно ли элементы этого последнего множества в данном контексте называть “истинностными значениями”, т. е. $0$ – это ложь, а $1$ – это истина?

[epros]

Свободный Художник в сообщении #227424 писал(а):

А вот давайте так поставим вопрос. Подмножества некоторого множества $X$ иногда определяются при помощи так называемых “характеристических функций”:
http://en.wikipedia.org/wiki/Indicator_function
http://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_function

Областью определения таких функций является множество $X$, а областью значений – двухэлементное множество $\{0, 1\}$. Можно ли элементы этого последнего множества в данном контексте называть “истинностными значениями”, т. е. $0$ – это ложь, а $1$ – это истина?

Интересная, конечно, постановка вопроса. Типа того, что: Вот Вам двухэлементное множество, элементы которого обычно называют "истинностными значениями". Можно ли это делать?

А вот давайте-ка я Вам задам вопрос про эти самые характеристические функции. Допустим, на множестве действительных чисел определена характеристическая функция $\varphi(x)$, определяющая подмножество рациональных чисел. Число $r$ определяется так: $k$-тый разряд в его двоичном представлении равен 1, если $k$ - совершенное число, и равен 0 в противоположном случае. Вопрос: Каково значение $\varphi(r)$?

[Sergey-Cop]

Философский извечный вопрос «что есть истина».

Однако, если возьмем конкретные условия:

ellipse в сообщении #202500 писал(а):

Истинность и ложность - это результат алгоритма к какой-то информации…
Чаще всего, истинность - это сравнение чего-то с неким эталоном.

Тогда тема об обозначениях и сравнениях.


Однако, обсуждение идет как-то странно:

Свободный Художник в сообщении #215225 писал(а):

Рассмотрим язык пропозиционального исчисления над множеством из трех пропозициональных переменных…

… В построенной выше булевой алгебре мы можем отождествить “возможные миры” с максимальными фильтрами булевой алгебры…

Ну да. Три или даже — легко перечисляемое количество переменных, чтобы отождествить «возможные миры»… — Маловато будет.

А вот для решения конкретной задачи, для заданной ограниченной области — вот там да. Там вы вполне отождествите то, что требуется для решения указанной задачи.


А по части того, что:

ellipse в сообщении #202500 писал(а):

…говорят о достижении Истины, об абсолютной Истине и т.п. Почему-то аналогично не говорят об абсолютной Лжи…

Ну дак, потому что, во-первых, ко лжи применяют другие слова: «изощренная ложь», «совершенная» (так, что и не придерешься) и т.п. А во-вторых, потому что всё-таки в данном коллективе стремятся к истине, а не ко лжи (т.е. нет открытого целенаправленного обмана).

Признанная истина.
А еще один «математик» выдал нечто, «хоть стой, хоть падай»: у него истина может быть признанной или непризнанной. То бишь, вы по своему желанию либо верите (признаете), либо не верите что указанное утверждение истинно. И это даже не то, что доказано или не доказано, а просто то, во что человек «убитый горем» хочет верить. Здесь отождествление выполняется не с «окружающим миром», не с условиями решаемой задачи, а с воображаемым миром.

И по сути признанная или непризнанная истина — это, как раз таки, есть ложь (т.е. не адекватная тому, что обозначает).

-- Пт июл 10, 2009 19:35:49 --

Как определить понятия «истинно — ложно».

Ну, рассматривать логику, предикаты и прочее, использующее понятия истинно и ложно, оно, конечно, приближает понимание, что подразумевается под этими понятиями. Но, напрасный труд, если нужно определение.

Имея, например, аксиому, вы имеете уже готовую истинность, взятую из ниоткуда. Вот почему оно истинно? — потому что аксиома. И на этом всё.

Так что понятия «истинно — ложно» возникают еще до того, как вы выполните хоть какую-либо математическую операцию, введете хоть какое-либо математическое обозначение. Вот этот вопрос и нужно рассматривать — что происходит «перед дверьми у входа в математику».


Что обозначает символ

Любой символ что-то обозначает. Какой-то объект. И с этим объектом вы имеете хоть какой-нибудь контакт: можете увидеть, услышать, пощупать, наблюдать какое-то действие и пр.

И вот когда уже знаете, что это за объект, то только тогда: «давайте введем обозначение». Ввели обозначение. Оно зарезервировано именно для указанного объекта.

И если вы этот символ используете по назначению, то — истинно, а если не по назначению, то это ложно.

Далее.

Обозначения введены, правила введены, выполняем сложение:
$ 2+1=? $
Берем все натуральные числа:
$ 2+1=1 $ ложно
$ 2+1=2 $ ложно
$ 2+1=3 $ истинно
$ 2+1=4 $ ложно
…
Надо же! Почему-то не всё, что мы подставляем, истинно.
Используя символы в произвольных сочетаниях, вы можете о чём-то сообщить, только вот по заранее заданным правилам далеко не все эти сочетания истинны.

Сначала мы сопоставляли обозначение с объектом, а теперь проверяем выполнение внутренних правил.


Условность обозначений.

$ 2>1 $ истинно

В принципе, всякое обозначение — это условность, и можно было бы поменять, что подразумевается под символами «2», «>» и «1». Однако…

А запишем это неравенство римскими цифрами:
$ II>I $ истинно

По сути, оно представлено пиктограммой. Т.е. это упрощенный рисунок тех объектов, которые он обозначает. Две палочки явно больше чем одна, да и знак «больше» графически соответствует понятию «больше».

А в итоге, вы не имеете право менять содержание этих обозначений. Истинна только данная интерпретация.

Однако, даже используя ложные обозначения, всё равно может получиться истинный результат… но только в комплексе с другими ложными обозначениями. «Хорошее средство» чтобы ввести в заблуждение «непосвященных в таинство секты». Т.е. пока постороннему известно не всё, пока ему недоступен ключ к расшифровке.

-- Пт июл 10, 2009 19:39:05 --

Абсолютная истина.

Вообще-то, есть только либо истинно, либо ложно. Другого не дано, абсолютней некуда. Неабсолютная истина есть ложь.

Однако, сколько у нас обозначений?

Свободный Художник в сообщении #215225 писал(а):

…язык пропозиционального исчисления над множеством из трех пропозициональных переменных…

Маловато будет. И сколько не возьми обозначений, всё будет мало.

Вот и не хватает обозначений.
Но каждое обозначение соответствует какому-то объекту из, так сказать, «возможного мира». И этот обозначенный объект есть не что иное, как образец для сравнения. Совпадает с образцом — истина, не совпадает — ложно. Если ложно, то данный символ не подходит для обозначения объекта.

Вот и ищите символ, для которого сравнение с образцом даст истинный результат… а нету такого, на данный момент. И что же делать? — Искать, на что он похож, на какой образец из множества. Вот и получается, чем-то похож на того, чем-то похож на этого… а истина так и недостижима.