Что такое истина и ложь?

[ellipse]

Что такое истина и ложь? Каково определение этих понятий?

Вот основные тезисы:

Истинность и ложность - это результат применения алгоритма к какой-то совокупности информации, например, к подмножеству слов какого-то формального языка или массиву информации о реальности. Результат алгоритма может принимать одно из трех значений: истина, ложь или одно специальное значение - неопределенность (есть такие формальные теории, в которых о некоторых высказываниях принципиально невозможно сказать ложные они или истинные).

Чаще всего, истинность это - сравнение чего-то с неким эталоном.
Вот такой алгоритм: Если "А", то по определению результат=Истина, иначе по определению результат=Ложь.

Критерием истины является результат такого сравнения в случае, если вообще возможно сравнение. Соответственно, истина это - положительный результат сравнения, а ложь - отрицательный. Все эти вполне однозначные определения обычно упускают из виду, когда говорят о достижении Истины, об абсолютной Истине и т.п. Почему-то аналогично не говорят об абсолютной Лжи, в этом явно нарушена симметрия и, соответственно, некий здравый смысл.

[gris]

Даже сам-знаете-кто не стал отвечать на такой вопрос.
В аксиоматической теории некоторые утверждения объявляются истинными и всё тут. Которые выводятся из них - тоже истинные, которые противоречат - ложные. Для некоторых утверждений свойство истинности или ложности невозможно установить.
Это вопрос философии, а не математики или физики. Да и вообще - зачем нужны поиски истины?

[PAV]

Тема перемещена из "Дискуссионных тем (М)" в карантин. Почему это произошло, можно понять, прочитав тему
Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться
Там же описано, как исправлять ситуацию.

(Согласно правилам форума, заглавное сообщение должно содержать внятное изложение вопроса для обсуждения, не требующее от участников форума ходить по дополнительным ссылкам).

[PAV]

PAV:

Тема возвращена, хотя мне не кажется, что предмет обсуждения обозначен достаточно внятно.
Но поглядим, может быть кто-нибудь что-то содержательное и откопает здесь.

[Droog_Andrey]

Истина и ложь - это термины для обозначения значений однобитной булевой функции.

Собственно, вопрос в заглавии темы имеет примерно столько же смысла, сколько и вопрос "что такое положительность и отрицательность?".

[epros]

ellipse писал(а):

Истинность и ложность - это результат...

Я знаю два подхода:
1. Интерпретировать истинность как "результат" некоего процесса (доказательства, эксперимента или чего-то иного). Вы, как я вижу, исходите как раз из этого.
2. Интерпретировать истинность и ложность просто как значения некой "однобитной булевой функции" (как выразился Droog_Andrey), которые как бы "существуют" сами по себе, но не всегда нам известны. Эта интерпретация мне непонятна.

ellipse писал(а):

Результат алгоритма может принимать одно из трех значений: истина, ложь или одно специальное значение - неопределенность

Непонятно почему именно три и почему именно такие. Если цель алгоритма - именно проверка утверждения, то:
1. Он может закончиться (успехом) и это можно интерпретировать как значение "истинно".
2. Он может не закончиться за разумное время. Увы, это нельзя интерпретировать как значение "ложно".

[STilda]

посмотрите как вводится понятие положительных и отрицательных чисел. Также вводится понятие истины и лжи.
"Абсолютная истина" потому что выполняется "истина истины = истина". А для лжи имеем "ложная лож = истина". Если хотите Абсолютную лож то это будет изоморфная система, тоесть такая же, но в приложении к действительности "задом на перед". Как -1 * -1 = -1, +1 * +1 = -1, +1 * -1 = +1. Как закон утверждения утверждения вместо закона двойного отрицания.

[Инт]

Про операцию сравнения сказано правильно. Истина это соответствие некоторому заранее заданному критерию. Но это не единственная сторона истины. Ещё одно её качество - устойчивость по отношению к разным наблюдениям. Если некоторое свойство устойчиво по отношению к определённому классу наблюдений, то свойство истинно конкретно на этих наблюдениях, можно сказать: "истинно относительно такого класса наблюдений". Такое качество истины проявляется в физике существенно, например, когда некоторое обобщение истинно на достаточно большом классе наблюдений, и классом тех наблюдений когда оно не верно можно пренебречь по тем или иным причинам. В математике - аналогично, если свойство например, устойчиво по отношению ко всем наблюдениям имеющим достаточно большие номера, то оно часто принимается истинным. При этом пренебрегается малым конечным множеством наблюдений, по отношении к которым свойство, обобщение, возможно не выполняется. Наконец, третьей стороной дедуктивной истины является её нормативность: мы, идеализируя некоторую базу индукции (которую можно назвать достаточным основанием), нормативно, по определению распространяем свойства, замеченные на базе индукции, на весь класс выстраиваемых (этими определениями) объектов. И базу индукции замыкаем нормативной дедукцией. Это не означает релятивизации истины. Можно или нет выстроить объекты с другими отношениями либо истинно либо ложно. Это в смысле первых двух указанных качеств истины.

Если нет соответствия, при сравнении с утверждаемым, тому что исть на самом деле, то это есть ложь.

[Чудо-в-перьях]

По Тарскому, "истина" определяется как соответствие действительности (в самом широком смысле этого слова) некоторой ситуации, формализуемой предложением языка ЛВ или логики предикатов; а "ложь" -- как несоответствие)))

[epros]

Чудо-в-перьях в сообщении #214941 писал(а):

По Тарскому, "истина" определяется как соответствие действительности (в самом широком смысле этого слова) некоторой ситуации, формализуемой предложением языка ЛВ или логики предикатов; а "ложь" -- как несоответствие)))

В контексте математики утверждение совершенно непонятное. Что это за "соответствие действительности (в самом широком смысле этого слова)"? И что такое "ситуация"? Слава богу, что хоть "предложение языка" - это вполне понятная вещь (т.е. математически формализуемая).

[luitzen]

epros в сообщении #214953 писал(а):

В контексте математики утверждение совершенно непонятное.

Я вот тоже никогда не понимал, что это такое он доказал в 1936 году .

[Свободный Художник]

luitzen в сообщении #214968 писал(а):

epros в сообщении #214953 писал(а):

В контексте математики утверждение совершенно непонятное.

Я вот тоже никогда не понимал, что это такое он доказал в 1936 году .

“Теории истины” – сложные теории.
http://en.wikipedia.org/wiki/Semantic_theory_of_truth

Но если строго различать язык и метаязык (утверждения об истинности либо ложности предложений объектного языка мы делаем только в метаязыке), то не надо таких сложных теорий.

А сами “истинностные значения”, я думаю, определить несложно. Берем любую булеву алгебру и какой-либо максимальный фильтр в ней. Фактор-алгебра этой булевой алгебры по данному фильтру будет двухэлементной булевой алгерой.
Фактор-алгебра этой же булевой алгебры по любому ее другому максимальному фильтру тоже будет двухэлементной булевой алгеброй.
Известно, что все двухэлементные булевы алгебры изоморфны. Какую-нибудь “абстрактную” булеву алгебру, изоморфную упомянутым выше “конкретным” двухэлементным булевым алгебрам полагаем по определению “булевой алгеброй истинностных значений”.

Таким образом, с формальной точки зрения булева алгебра истинностных значений определяется через произвольные булевы алгебры и максимальные фильтры в них.

[epros]

Свободный Художник в сообщении #215033 писал(а):

Но если строго различать язык и метаязык (утверждения об истинности либо ложности предложений объектного языка мы делаем только в метаязыке)...

Т.е. "истинное в теории" = "доказуемое в метатеории" (в некой метатеории)?

[luitzen]

Свободный Художник в сообщении #215033 писал(а):

Но если строго различать язык и метаязык (утверждения об истинности либо ложности предложений объектного языка мы делаем только в метаязыке), то не надо таких сложных теорий.

Мне эта фраза Свободного Художника показалась умышленной аллюзией на «Проблему истины в современной философии» Я. Хинтикки. Пользуясь случаем, всем рекомендую: автор респектабельный, может, кто и прочитает. Хотя текст, конечно, не по заявленной теме, да и слово «современный» употреблено довольно условно.

Сам-то придерживаюсь неких дефляционных теорий, ибо они проще остальных. В шуточной форме что-то на форуме уже излагал.

[Свободный Художник]

epros в сообщении #215038 писал(а):

Т.е. "истинное в теории" = "доказуемое в метатеории" (в некой метатеории)?

Мне кажется, что это несколько прямолинейная точка зрения. Есть определенные нюансы, которые нужно учитывать, и которые можно проиллюстрировать на примере классического пропозиционального исчисления.

Рассмотрим язык пропозиционального исчисления над множеством из трех пропозициональных переменных

$$\{p, q, r\}$$

и над множеством пропозициональных связок

$$\{\lor, \land, \neg, \to \}$$

.
Множество всех правильно построенных формул (или “предложений”) этого языка обозначим через

$$F(p, q, r, \lor, \land, \neg, \to)$$

. Это – наш “объектный” язык.

Говорить о предложениях объектного языка будем в метаязыке, содержащем переменные

$$x, y, z, …$$

, которые, как будем предполагать, пробегают по множеству

$$F(p, q, r, \lor, \land, \neg, \to)$$

, и набор символов операций

$$\{\sqcup\,, \sqcap\,, \overline{\phantom{a}}\,, \Rightarrow \}$$

, которые обозначают операции над элементами множества

$$F(p, q, r, \lor, \land, \neg, \to)$$

, рассматриваемого как “абсолютно свободная алгебра” в духе польской школы:
http://www.px-pict.com/9/6/2/3/1/2/1.html

Понятно, как работают операции

$$\{\sqcup\,, \sqcap\,, \overline{\phantom{a}}\,, \Rightarrow \}$$

. Например, если

$$x = (p \lor q)$$

и

$$y = (q \land r)$$

, то

$$x \Rightarrow y = ((p \lor q) \to (q \land r))$$

.

Потом следует учесть, что пропозициональное исчисление это не только язык

$$F(p, q, r, \lor, \land, \neg, \to)$$

, но еще и правила вывода, позволяющие определить на множестве

$$F(p, q, r, \lor, \land, \neg, \to)$$

бинарное отношение “выводимости”. Чтобы говорить о нем в метаязыке, введем в него символ бинарного отношения

$$\sqsubseteq$$

(атомарная формула метаязыка

$$x \sqsubseteq y$$

содержательно читается как “из предложения объектного языка

$$x$$

выводимо предложение объектного языка

$$y$$

”).

Введем в наш метаязык еще один символ бинарного отношения

$$\equiv$$

, выразив его через символ бинарного отношения

$$\sqsubseteq$$

следующим образом:

$$x \equiv y$$

тогда и только тогда, когда

$$x \sqsubseteq y$$

и

$$y \sqsubseteq x$$

.

Правила вывода классического пропозиционального исчисления подобраны таким образом, чтобы отношение

$$x \equiv y$$

оказалось бы некоторым отношением эквивалентности на множестве

$$F(p, q, r, \lor, \land, \neg, \to)$$

и, более того, – некоторой конгруэнцией на множестве

$$F(p, q, r, \lor, \land, \neg, \to)$$

, рассматриваемом как “абсолютно свободная алгебра”.

Кроме того, правила вывода классического пропозиционального исчисления подобраны еще и таким образом, чтобы факторалгебра

$$F(p, q, r, \lor, \land, \neg, \to)/\equiv$$

абсолютно свободной алгебры

$$F(p, q, r, \lor, \land, \neg, \to)$$

по конгруэнции

$$\equiv$$

оказалась бы булевой алгеброй. В нашем конкретном случае, когда объектный пропозициональный язык содержит три пропозициональные переменные, это будет свободная булева алгебра с тремя образующими, содержащая, как известно, в точности

$$256$$

элементов.

Следовательно, мы можем говорить в нашей метатеории о всех конструкциях этой булевой алгебры и, в частности, о ее единичном элементе. Поскольку наша булева алгебра реализована как некоторая фактор-алгебра, то ее единичным элементом будет некоторое подмножество множества

$$F(p, q, r, \lor, \land, \neg, \to)$$

предложений объектного языка. Обозначим это подмножество символом

$$1$$

. Теперь мы можем ввести в метаязыке символ унарного отношения

$$T$$

(атомарная формула метаязыка

$$T(x)$$

содержательно читается как “предложение

$$x$$

объектного языка является общезначимым”) следующим образом:

$$T(x)$$

тогда и только тогда, когда

$$x \in 1$$

.

Так что, если отождествить истинность предложения

$$x$$

объектного языка с его общезначимостью, то тогда действительно будет, что

$$x$$

-- истинно, тогда и только тогда, когда в метатеории доказуема формула

$$T(x)$$

.

Но это слишком сильное определение истинности для предложений пропозиционального исчисления. Будут формулы (например,

$$x = p \land q $$

), которые не являются ни истинными, ни ложными в этом смысле.

Обычно, говоря об истинности или ложности некоторого предложения пропозиционального исчисления, неявно подразумевают эту истинность или ложность не вообще, а относительно того или иного “возможного мира” (в терминологии Витгенштейна; суть этой терминологии можно посмотреть здесь:
http://www.px-pict.com/preprints/1.html).

В построенной выше булевой алгебре мы можем отождествить “возможные миры” с максимальными фильтрами булевой алгебры. Значит, мы можем говорить о них в метатеории. Предложение

$$x$$

объектного языка истинно в “возможном мире” (или максимальном фильтре)

$$\bigtriangledown$$

тогда и только тогда, когда

$$x \in \bigtriangledown $$

.

Теперь мы можем доказать в нашей метатеории такую теорему об истинности-ложности предложений объектного языка: “В любом “возможном мире”

$$\bigtriangledown$$

каждое предложение

$$x$$

объектного языка является либо истинным, либо ложным”. Однако мы не можем доказать в метатеории факт истинности или ложности конкретного предложения

$$x$$

объектного языка, поскольку теперь эта истинность зависит от конкретного “возможного мира”.