Что такое истина и ложь?

[epros]

Свободный Художник в сообщении #215225 писал(а):

...можно проиллюстрировать на примере классического пропозиционального исчисления.

Мне кажется, что то, о чём Вы далее пишете, является во многом излишним усложнением.

Свободный Художник в сообщении #215225 писал(а):

Рассмотрим язык пропозиционального исчисления над множеством из трех пропозициональных переменных

$$\{p, q, r\}$$

и над множеством пропозициональных связок

$$\{\lor, \land, \neg, \to \}$$

.
Множество всех правильно построенных формул (или “предложений”) этого языка обозначим через

$$F(p, q, r, \lor, \land, \neg, \to)$$

. Это – наш “объектный” язык.

Говорить о предложениях объектного языка будем в метаязыке, содержащем переменные

$$x, y, z, …$$

, которые, как будем предполагать, пробегают по множеству

$$F(p, q, r, \lor, \land, \neg, \to)$$

, и набор символов операций

$$\{\sqcup\,, \sqcap\,, \overline{\phantom{a}}\,, \Rightarrow \}$$

, которые обозначают операции над элементами множества

$$F(p, q, r, \lor, \land, \neg, \to)$$

, рассматриваемого как “абсолютно свободная алгебра” в духе польской школы:
http://www.px-pict.com/9/6/2/3/1/2/1.html

Понятно, как работают операции

$$\{\sqcup\,, \sqcap\,, \overline{\phantom{a}}\,, \Rightarrow \}$$

. Например, если

$$x = (p \lor q)$$

и

$$y = (q \land r)$$

, то

$$x \Rightarrow y = ((p \lor q) \to (q \land r))$$

.

Потом следует учесть, что пропозициональное исчисление это не только язык

$$F(p, q, r, \lor, \land, \neg, \to)$$

, но еще и правила вывода, позволяющие определить на множестве

$$F(p, q, r, \lor, \land, \neg, \to)$$

бинарное отношение “выводимости”. Чтобы говорить о нем в метаязыке, введем в него символ бинарного отношения

$$\sqsubseteq$$

(атомарная формула метаязыка

$$x \sqsubseteq y$$

содержательно читается как “из предложения объектного языка

$$x$$

выводимо предложение объектного языка

$$y$$

”).

Введем в наш метаязык еще один символ бинарного отношения

$$\equiv$$

, выразив его через символ бинарного отношения

$$\sqsubseteq$$

следующим образом:

$$x \equiv y$$

тогда и только тогда, когда

$$x \sqsubseteq y$$

и

$$y \sqsubseteq x$$

.

Всё это понятно. Только зачем для метатеории сочинять синтаксис, который бы ни в чём не пересекался с синтаксисом (и даже с алфавитом) предметной теории? Если уж мы привыкли в предметной теории употреблять логические связки $\wedge$, $\vee$, $\neg$, $\rightarrow$ и $\leftrightarrow$, то зачем их обязательно заменять на $\sqcap$, $\sqcup$, $\overline{\phantom{a}}$, $\Rightarrow$ и $\equiv$? По-моему, метаязык по своей структуре не обязан ничем отличаться от предметного языка. Единственно, должна быть предусмотрена возможность однозначного указания того, когда речь идёт о формулах предметной теории. Естественно, это может потребовать некоторых дополнительных по отношению к предметному языку выразительных возможностей, но не обязательно ревизии всего его в целом, вплоть до алфавита. Например, утверждение о том, что в предметной теории $T$ действует правило вывода modus ponens, можно записать так:
$(\forall A,B \in T)((T \vdash A) \wedge (T\vdash A \rightarrow B) \rightarrow (T \vdash B))$
Здесь $A \in T$ читается: "Строка A является правильным высказыванием в языке теории T", а $T \vdash A$ читается как: "Высказывание A является теоремой теории T".

Как видите, символы импликации используют и предметная теория, и метатеория, причём в одинаковых смыслах, и при правильно расставленных скобках это не должно приводить к путанице.

А в остальном, как я понимаю, изложеный Вами подход к построению высказываний метаязыка ничем принципиальным не отличается.

Свободный Художник в сообщении #215225 писал(а):

Кроме того, правила вывода классического пропозиционального исчисления подобраны еще и таким образом, чтобы факторалгебра

$$F(p, q, r, \lor, \land, \neg, \to)/\equiv$$

абсолютно свободной алгебры

$$F(p, q, r, \lor, \land, \neg, \to)$$

по конгруэнции

$$\equiv$$

оказалась бы булевой алгеброй.

Почему именно булевой? Чем объясняется особая любовь к булевой алгебре?

Свободный Художник в сообщении #215225 писал(а):

Так что, если отождествить истинность предложения

$$x$$

объектного языка с его общезначимостью, то тогда действительно будет, что

$$x$$

-- истинно, тогда и только тогда, когда в метатеории доказуема формула

$$T(x)$$

.

Честно говоря, я не до конца понял смысла такого витиеватого и формального подхода к определению "истинности в теории". По моим понятиям "истинность" - это теоретическая концепция, а значит говорить о том, что истинно, нам должна теория. Естественно, так или иначе принятая нами (а не любая спорная) теория. Поэтому задача метатеории (применительно к понятию истинности) заключается только в том, чтобы сказать, какая(ие) теория(ии) "принята(ы)". В таком случае любое доказанное в теории высказывание автоматически считается "истинным".

Свободный Художник в сообщении #215225 писал(а):

Обычно, говоря об истинности или ложности некоторого предложения пропозиционального исчисления, неявно подразумевают эту истинность или ложность не вообще, а относительно того или иного “возможного мира” (в терминологии Витгенштейна; суть этой терминологии можно посмотреть здесь:
http://www.px-pict.com/preprints/1.html).

В построенной выше булевой алгебре мы можем отождествить “возможные миры” с максимальными фильтрами булевой алгебры. Значит, мы можем говорить о них в метатеории. Предложение

$$x$$

объектного языка истинно в “возможном мире” (или максимальном фильтре)

$$\bigtriangledown$$

тогда и только тогда, когда

$$x \in \bigtriangledown $$

.

Естественно, большая часть теорий имеют ограниченную сферу применения, поэтому для них неправильно будет говорить что они "приняты вообще", т.е. доказанные ими высказывания истинны в любом "возможном мире". В таком случае задача метатеории усложняется: Она должна не просто сказать, какая теория принята, а определить, применительно к какой предметной области.

Свободный Художник в сообщении #215225 писал(а):

Теперь мы можем доказать в нашей метатеории такую теорему об истинности-ложности предложений объектного языка: “В любом “возможном мире”

$$\bigtriangledown$$

каждое предложение

$$x$$

объектного языка является либо истинным, либо ложным”. Однако мы не можем доказать в метатеории факт истинности или ложности конкретного предложения

$$x$$

объектного языка, поскольку теперь эта истинность зависит от конкретного “возможного мира”.

Опять же, я здесь не вполне понял какую ценность имеет доказательство этого утверждения (согласно Вашей формулировке это ни что иное, как закон исключённого третьего). Вам так важно, чтобы логические значения подчинялись именно булевой алгебре, т.е. чтобы их было строго два?

[Свободный Художник]

epros в сообщении #215261 писал(а):

Мне кажется, что то, о чём Вы далее пишете, является во многом излишним усложнением. ... зачем для метатеории сочинять синтаксис, который бы ни в чём не пересекался с синтаксисом (и даже с алфавитом) предметной теории?

С этим могу частично согласиться. Конечно, можно избрать тот подход к построению синтаксиса метаязыка, о котором Вы пишите. Расева и Сикорский, на которых я ссылаюсь, примерно так и делают. Мой подход был мотивирован сознательным желанием посильнее отгородить метаязык от языка-объекта.

epros в сообщении #215261 писал(а):

По-моему, метаязык по своей структуре не обязан ничем отличаться от предметного языка.

В данном конкретном случае он, все же, именно существенно отличается. Предметный язык у нас (по условию) – это язык классического исчисления высказываний, а метаязык – куда как богаче. Это даже не язык первопорядковой теории, а язык какой-то теории более высокого порядка, коль скоро мы намерены допускать в нем квантификацию не только по предложениям языка-объекта, но и по определенным подмножествам предложений этого языка.

-- Ср май 20, 2009 04:00:30 --

epros в сообщении #215261 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #215225 писал(а):

Кроме того, правила вывода классического пропозиционального исчисления подобраны еще и таким образом, чтобы факторалгебра

$$F(p, q, r, \lor, \land, \neg, \to)/\equiv$$

абсолютно свободной алгебры

$$F(p, q, r, \lor, \land, \neg, \to)$$

по конгруэнции

$$\equiv$$

оказалась бы булевой алгеброй.

Почему именно булевой? Чем объясняется особая любовь к булевой алгебре?

Почему именно булевой? Это просто медицинский факт.
Таково уж дедуктивное устройство классического исчисления высказываний, что его алгебра Линденбаума – Тарского является булевой алгеброй. Доказательство можно найти, например, у Расева Е., Сикорский Р. “Математика метаматематики”, М.: "Наука", 1972, сс. 295 — 302.

epros в сообщении #215261 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #215225 писал(а):

Так что, если отождествить истинность предложения

$$x$$

объектного языка с его общезначимостью, то тогда действительно будет, что

$$x$$

-- истинно, тогда и только тогда, когда в метатеории доказуема формула

$$T(x)$$

.

Честно говоря, я не до конца понял смысла такого витиеватого и формального подхода к определению "истинности в теории". По моим понятиям "истинность" - это теоретическая концепция, а значит говорить о том, что истинно, нам должна теория. Естественно, так или иначе принятая нами (а не любая спорная) теория. Поэтому задача метатеории (применительно к понятию истинности) заключается только в том, чтобы сказать, какая(ие) теория(ии) "принята(ы)". В таком случае любое доказанное в теории высказывание автоматически считается "истинным"

Почему бы не провести такую аналогию: “четность” – это свойство натуральных чисел и мы определяем предикат $even(x)$ в теории о натуральных числах и теоремы о четных числах, в которые входит предикат $even(x)$, тоже доказываем в теории о натуральных числах.
Точно также “истинность” – это свойство предложений исчисления-объекта и мы определяем предикат $T(x)$ в теории об этом исчислении, т. е. в метаисчислении (или метатеории) и теоремы об истинных предложениях исчисления-объекта тоже доказываем в метатеории.

То определение “истинных предложений пропозиционального исчисления”, которое я привел, равносильно определению “истинных высказываний”, которое дают Кейслер Г. Дж., Чэн Ч.Ч. “Теория моделей”. М.: Мир, 1977, сc. 16 — 32:
http://www.px-pict.com/9/6/2/3/2/2/2.html#4

[epros]

Свободный Художник в сообщении #215421 писал(а):

epros в сообщении #215261 писал(а):

По-моему, метаязык по своей структуре не обязан ничем отличаться от предметного языка.

В данном конкретном случае он, все же, именно существенно отличается. Предметный язык у нас (по условию) – это язык классического исчисления высказываний, а метаязык – куда как богаче. Это даже не язык первопорядковой теории, а язык какой-то теории более высокого порядка, коль скоро мы намерены допускать в нем квантификацию не только по предложениям языка-объекта, но и по определенным подмножествам предложений этого языка.

Здесь у меня несколько иное понимание:

Во-первых, я не уверен, что всякая предметная теория должна быть построена на классическом исчислении предикатов. По моим понятиям формальная теория строится так:
- Определяется алфавит, из символов которого могут составляться слова.
- Определяется грамматика (аналитическая или порождающая - без разницы), согласно которой часть слов трактуются как синтаксически правильные "высказывания" языка.
- Часть высказываний определяются как "аксиомы" теории (либо методом перечисления, либо правилом построения аксиом из формул теории, т.е. "схемой аксиом").
- Определяются правила вывода.

Здесь совершенно неважно какое именно исчисление высказываний используется. Если используется классическое исчисление предикатов, то это учитывается при определении алфавита и грамматики, в аксиоматику включаются соответствующие аксиомы, а правила вывода целиком следуют правилам классического исчисления предикатов (правилу modus ponens и правилу подстановки терма вместо переменной). Но это только одна из множества возможностей. Вот я люблю интуиционистское исчисление предикатов. Почему бы мне не пользоваться им?

Во-вторых, я не вижу, с какой стати метаязык не должен быть построен на классическом исчислении предикатов и почему, собственно, он "куда как богаче" (классического исчисления предикатов? ). По моим понятиям, всё, что требуется от метатетории, это способность формулировать высказывания и доказывать теоремы о высказываниях и теоремах предметной теории. Для этого не нужна какая-то особая логика, достаточно иметь синтаксические возможности для обозначения высказываний предметных теорий, о которых идёт речь в высказываниях метатеории (чтобы первые не путались со вторыми). Т.е. речь идёт всего лишь о небольшом расширении языка, но не "логики" как таковой.

В третьих, я не согласен с соображением, что метаязык является более чем первопорядковым. Да, он допускает квантификацию по предложениям и даже по множествам предложений предметного языка, но только потому, что оные являются его собственными объектными константами и переменными (т.е. объектами метаязыка). В этом смысле правило логики первого порядка соблюдается: квантифицируются только объектные переменные, а не формулы. Естественно, определённые предметной теорией формулы могут быть квантифицированы метатеорией. В этом смысле метатеория поднимает нас "на более высокий уровень логики", но тем не менее сама по себе она всё равно остаётся первопорядковой теорией, потому что формулы предметной теории - это объекты метатеории.

Свободный Художник в сообщении #215421 писал(а):

Почему именно булевой? Это просто медицинский факт.
Таково уж дедуктивное устройство классического исчисления высказываний, что его алгебра Линденбаума – Тарского является булевой алгеброй. Доказательство можно найти, например, у Расева Е., Сикорский Р. “Математика метаматематики”, М.: "Наука", 1972, сс. 295 — 302.

Мне кажется, что относительно "медицинского факта" Вы ошибаетесь. Наверное, если исходить из определённых предположений, то можно доказать, что логика должна быть построена исключительно на булевой алгебре. Тем не менее "медицинский факт" состоит в том, что формальные системы, не сводящиеся к булевой алгебре, существуют.

Свободный Художник в сообщении #215421 писал(а):

Почему бы не провести такую аналогию: “четность” – это свойство натуральных чисел и мы определяем предикат $even(x)$ в теории о натуральных числах и теоремы о четных числах, в которые входит предикат $even(x)$, тоже доказываем в теории о натуральных числах.
Точно также “истинность” – это свойство предложений исчисления-объекта и мы определяем предикат $T(x)$ в теории об этом исчислении, т. е. в метаисчислении (или метатеории) и теоремы об истинных предложениях исчисления-объекта тоже доказываем в метатеории.

То определение “истинных предложений пропозиционального исчисления”, которое я привел, равносильно определению “истинных высказываний”, которое дают Кейслер Г. Дж., Чэн Ч.Ч. “Теория моделей”. М.: Мир, 1977, сc. 16 — 32:
http://www.px-pict.com/9/6/2/3/2/2/2.html#4

Мне этот подход не нравится одним: Такое определение истинности не имеет никакого отношения к выводам предметной теории. Нафига она тогда вообще нужна? Получается что предметная теория нам нужна только для того, чтобы построить вокруг неё метатеорию, которая и определит предикат истинности. Вычисление значения этого предиката для заданного аргумента - это и будет процедурой определения истинности высказывания. А как же тогда процедура доказательства в предметной теории? Разве доказательства интересующих нас высказываний - это не то самое, ради чего, собственно, и создаются теории?

[Свободный Художник]

epros в сообщении #215511 писал(а):

Мне этот подход не нравится одним: Такое определение истинности не имеет никакого отношения к выводам предметной теории. Нафига она тогда вообще нужна? Получается что предметная теория нам нужна только для того, чтобы построить вокруг неё метатеорию, которая и определит предикат истинности. Вычисление значения этого предиката для заданного аргумента - это и будет процедурой определения истинности высказывания. А как же тогда процедура доказательства в предметной теории? Разве доказательства интересующих нас высказываний - это не то самое, ради чего, собственно, и создаются теории?

Мне кажется, Вы несколько запутались в уровнях рефлексии.
Конечно, можно сказать: “Я доказываю теоремы” и этим ограничиться. Т. е. оставаться в рамках объектной теории и спокойно доказывать теоремы (как обычно и делают).

Но можно подняться на следующий уровень рефлексии и сказать: “Вижу себя, доказывающего теоремы, и доказываю теоремы о своих доказательствах”. Т. е., оказаться уже в метатеории. Для которой, кстати, тоже можно построить свою метатеорию и т. д.

Т. е. получается такая иерархия уровней рефлексии, описать которую можно, переиначив на “доказываю” вместо “пишу” цитату к роману М. В. Льоса "Тетушка Хулия и писака":
http://www.px-pict.com/11/2/1.html

Цитата:

Я пишу. Пишу, что пишу. Зримо ощущаю, как пишу то, что пишу, и даже вижу, что я вижу, как пишу. Помню — я всегда писал и видел себя пишущим.

Вижу себя, вспоминающего, что я видел себя пишущим, и помню себя, видящего свои воспоминания, что я писал и пишу, видя, что пишу о том, что всегда помнил себя пишущим, и всегда писал о том, что всегда помнил себя пишущим, и всегда писал о том, что я всегда помнил, что писал о том, как писал, и о чем писал, и что я всегда пишу так, как писал.

Я также могу представить себя пишущим о том, что уже написал, что я представлял себе то, как я писал о том, что уже написал, что я видел сам себя пишущим о том, что вижу, как пишу о том, что пишу.

Мне определенно кажется, что анализировать свои доказательства в объектной теории, в том числе рассуждать об истинности либо ложности доказываемых там теорем, мы должны в метатеории. Т. е. в метатеории мы должны строить теорию о доказательствах в объектной теории.

-- Сб май 23, 2009 22:52:20 --

epros в сообщении #215511 писал(а):

Во-первых, я не уверен, что всякая предметная теория должна быть построена на классическом исчислении предикатов...
Если используется классическое исчисление предикатов, то это учитывается при определении алфавита и грамматики, в аксиоматику включаются соответствующие аксиомы, а правила вывода целиком следуют правилам классического исчисления предикатов (правилу modus ponens и правилу подстановки терма вместо переменной). Но это только одна из множества возможностей. Вот я люблю интуиционистское исчисление предикатов. Почему бы мне не пользоваться им?

Хорошо, давайте пользоваться им. Только давайте начнем не с интуиционистского исчисления предикатов, а с интуиционистского исчисления высказываний в качестве “объектного логического исчисления”.
Т. е. начнем с объектного исчисления, в котором нет кванторов.
http://en.wikipedia.org/wiki/Intuitionistic_propositional_calculus

Этого будет вполне достаточно для того, чтобы обсудить различие между классическим и интуиционистским пониманием истинности-ложности предложений объектного исчисления.

[Свободный Художник]

epros в сообщении #215511 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #215421 писал(а):

Почему именно булевой? Это просто медицинский факт.
Таково уж дедуктивное устройство классического исчисления высказываний, что его алгебра Линденбаума – Тарского является булевой алгеброй. Доказательство можно найти, например, у Расева Е., Сикорский Р. “Математика метаматематики”, М.: "Наука", 1972, сс. 295 — 302.

Мне кажется, что относительно "медицинского факта" Вы ошибаетесь. Наверное, если исходить из определённых предположений, то можно доказать, что логика должна быть построена исключительно на булевой алгебре. Тем не менее "медицинский факт" состоит в том, что формальные системы, не сводящиеся к булевой алгебре, существуют.

В том, что “формальные системы, не сводящиеся к булевой алгебре существуют” нет никакого сомнения. В своем посте я явно оговорил, что речь идет не о возможных логических исчислениях вообще, а конкретно о классическом исчислении высказываний. Для него имеет место именно тот “медицинский факт”, о котором я упомянул.

Конечно, для интуиционистского исчисления высказываний имеет место другой “медицинский факт”. Там правила вывода подобраны таким образом, чтобы факторалгебра

$$F(p, q, r, \lor, \land, \neg, \to)/\equiv$$

абсолютно свободной алгебры

$$F(p, q, r, \lor, \land, \neg, \to)$$

по конгруэнции

$$x \equiv y$$

оказалась бы алгеброй Гейтинга:
http://en.wikipedia.org/wiki/Heyting_algebra

В том конкретном случае, когда (см. выше) объектный пропозициональный язык

$$F(p, q, r, \lor, \land, \neg, \to)$$

содержит три пропозициональные переменные, это будет свободная алгеброй Гейтинга с тремя свободными образующими.

[iig]

На моем сайте ссылка удалена обобщение вашей примитивной логики.

PAV:

Пользователю вынесено предупреждение за рекламу своего сайта

[epros]

Свободный Художник в сообщении #216465 писал(а):

Мне кажется, Вы несколько запутались в уровнях рефлексии.
Конечно, можно сказать: “Я доказываю теоремы” и этим ограничиться. Т. е. оставаться в рамках объектной теории и спокойно доказывать теоремы (как обычно и делают).

Но можно подняться на следующий уровень рефлексии и сказать: “Вижу себя, доказывающего теоремы, и доказываю теоремы о своих доказательствах”. Т. е., оказаться уже в метатеории. Для которой, кстати, тоже можно построить свою метатеорию и т. д.

Я как-то не понял, причём тут уровни рефлексии? Разумеется - метатеория - это "следующий уровень рефлексии" по отношению к предметной теории. Я это не отрицаю, и я не понял, почему я в этом "путаюсь". Но всё-таки "истина" (безо всякой оглядки на рефлексию) - это имено та штука, для определения которой и создаются теории. Так я полагаю.

Свободный Художник в сообщении #216465 писал(а):

epros в сообщении #215511 писал(а):

Вот я люблю интуиционистское исчисление предикатов. Почему бы мне не пользоваться им?

Хорошо, давайте пользоваться им. Только давайте начнем не с интуиционистского исчисления предикатов, а с интуиционистского исчисления высказываний в качестве “объектного логического исчисления”.
Т. е. начнем с объектного исчисления, в котором нет кванторов.
http://en.wikipedia.org/wiki/Intuitionistic_propositional_calculus

Этого будет вполне достаточно для того, чтобы обсудить различие между классическим и интуиционистским пониманием истинности-ложности предложений объектного исчисления.

А что тут особо обсуждать? Различия известны. В первую очередь - это отсутствие закона исключённого третьего (или снятия двойного отрицания). Я упомянул этот вариант лишь для того, чтобы подчеркнуть, что исчисление не обязано опираться на булеву алгебру.

Свободный Художник в сообщении #216547 писал(а):

В том, что “формальные системы, не сводящиеся к булевой алгебре существуют” нет никакого сомнения. В своем посте я явно оговорил, что речь идет не о возможных логических исчислениях вообще, а конкретно о классическом исчислении высказываний. Для него имеет место именно тот “медицинский факт”, о котором я упомянул.

Понятное дело, что если принять полный набор аксиом классического исчисления высказываний, то мы получим булеву алгебру. А если принять набор аксиом интуиционистского исчисления высказываний, то мы получим алгебру Гейтинга. Я-то говорил о другом: При определении формальной теории не имеет принципиального значения, какой алгебре подчиняются логические значения - как определим, так и будет.

[Someone]

epros в сообщении #216771 писал(а):

Но всё-таки "истина" (безо всякой оглядки на рефлексию) - это имено та штука, для определения которой и создаются теории.

Что-то я не пойму столь упорного обсуждения метатеории в связи с понятием истинности. Истинность высказывания определяется не метатеорией, а интерпретацией.

[epros]

Someone в сообщении #217087 писал(а):

Что-то я не пойму столь упорного обсуждения метатеории в связи с понятием истинности. Истинность высказывания определяется не метатеорией, а интерпретацией.

Не могли бы Вы дать формальное определение понятия истинности высказывания? Ибо математическое содержание понятия "интерпретация" мне непонятно.

[Свободный Художник]

epros в сообщении #217185 писал(а):

Someone в сообщении #217087 писал(а):

Что-то я не пойму столь упорного обсуждения метатеории в связи с понятием истинности. Истинность высказывания определяется не метатеорией, а интерпретацией.

Не могли бы Вы дать формальное определение понятия истинности высказывания? Ибо математическое содержание понятия "интерпретация" мне непонятно.

В рамках классического исчисления высказываний математическое содержание понятия “интерпретация” как раз-то очень понятно. Это – произвольное отображение множества пропозициональных переменных в двухэлементное множество истинностных значений.
В рамках рассмотренного выше пропозиционального языка $F(p, q, r, \lor, \land, \neg, \to)$ таких отображений будет 8 штук.
Если $i$ – одно из таких отображений (интерпретаций), то для любой формулы $A$ языка $F(p, q, r, \lor, \land, \neg, \to)$ ее истинностное значение в данной интерпретации можно определить, например, методом истинностных таблиц.

Если формула $A$ в данной интерпретации $i$ принимает значение “Истина”, то она называется “истинной в данной интерпретации.” Другое дело, что само понятие “интерпретация” определяется с использованием истинностных значений.

[epros]

Свободный Художник в сообщении #217248 писал(а):

epros в сообщении #217185 писал(а):

Someone в сообщении #217087 писал(а):

Что-то я не пойму столь упорного обсуждения метатеории в связи с понятием истинности. Истинность высказывания определяется не метатеорией, а интерпретацией.

Не могли бы Вы дать формальное определение понятия истинности высказывания? Ибо математическое содержание понятия "интерпретация" мне непонятно.

В рамках классического исчисления высказываний математическое содержание понятия “интерпретация” как раз-то очень понятно. Это – произвольное отображение множества пропозициональных переменных в двухэлементное множество истинностных значений.
В рамках рассмотренного выше пропозиционального языка $F(p, q, r, \lor, \land, \neg, \to)$ таких отображений будет 8 штук.
Если $i$ – одно из таких отображений (интерпретаций), то для любой формулы $A$ языка $F(p, q, r, \lor, \land, \neg, \to)$ ее истинностное значение в данной интерпретации можно определить, например, методом истинностных таблиц.

По-моему, это всё как-то несколько убого.

Во-первых, это всё сформулировано для высказываний, записанных в языке исчисления высказываний, а нормальные теории формализуются как минимум в языке исчисления предикатов. Исчисление высказываний явно бедновато для чего бы то ни было, кроме заведомо игрушечных примеров.

Во-вторых, отображение всех высказываний языка в множество {0,1} - это понятно что такое, но как мы построим формулу такого отображения, не прибегая к мета-теоретическим средствам? (Насколько я понимаю, вопрос был в том, что это мы тут говорим о каких-то мета-теориях, когда достаточно обойтись "интерпретацией").

В третьих, я вообще не понимаю навязчивого желания непременно ВСЕ высказывания некоего языка отобразить в множество {0,1}. По-моему, большинство высказываний имеют однозначный смысл только в рамках какого-то чётко оговоренного контекста, вне него они и не могут иметь никакого разумного значения истинности. Например, высказывание Галилея о том, что все тела падают с одинаковым ускорением, является истинным только при вполне определённых условиях: околоземная гравитация, пренебрежимая малость прочих сил (в том числе - сопротивления воздуха) и т.п. Если я решаю какую-то совсем другую задачу, так что в рамках рассматриваемой мной предметной области эти условия не оговорены, но испольуемый мной язык позволяет сформулировать такое высказывание, то почему я обязательно должен настаивать на том, чтобы была некая "интерпретация", которая определит непременно одно из двух значений истинности - в том числе и этого высказывания?

[man]

В основном, такие споры всегда крутятся вокруг понятия истины. Это по-своему понятно, ее все ищут . Но может стоит обратить внимание и на ложь, и на ее отличие от противоречия ? В частности, на смешение лжи и противоречия в отрицании истины.
Я имею в виду ситуацию, когда некое утверждение, формально ложно (т.к. является отрицанием истины, аксиомы), но по содержанию (в интерпретации, или в метатеории) представляет собой противоречие. В таком случае, возможно, закон снятия двойного отрицания и отчасти исключенного третьего "ращепляют" существование на конструктивное существует и не может не существовать, а в классике ведет к чистым теоремам существования.
Например, понятие "множество всех множеств". Известно, что оно противоречиво, но если его обозначить, например так: $\exists b \forall a(a \in b)$, то эта формула с точки зрения теории множеств формально ложна. ? Не уверен, что пример удачный, т.к. не специалист в этой области. Но в целом, как распознать истинные формулы в формальной системе понятно, а вот как различить ложные и противоречивые - вопрос.
По-моему, epros прав в том, что: "метатеория поднимает нас "на более высокий уровень логики", но тем не менее сама по себе она всё равно остаётся первопорядковой теорией, потому что формулы предметной теории - это объекты метатеории". И то, что в теории формально ложно, в метатеории может оказаться противоречием (или наоборот), а потому некоторые истины первой теории тоже могут оказаться противоречивыми объектами метатеории (если строго формально пользоваться законами исключенного третьего и снятия двойного отрицания, не обращая внимание на их содержание - в метатеории).

[epros]

man в сообщении #217451 писал(а):

В основном, такие споры всегда крутятся вокруг понятия истины. Это по-своему понятно, ее все ищут . Но может стоит обратить внимание и на ложь, и на ее отличие от противоречия ? В частности, на смешение лжи и противоречия в отрицании истины.

По-моему, таковое смешение вводится по определению, т.е. намеренно. Если мы принимаем некую теорию как работающую в рамках соответствующей предметной области, то это значит, что мы убеждены в её непротиворечивости (даже если формального доказательства у нас нет). Поэтому если мы свели некое предположение к противоречию, то можем смело интерпретировать это как доказательство отрицания. Это выражается в том, что в исчисление включается логический закон:
$(p \rightarrow (a \wedge \neg a)) \rightarrow \neg p$

man в сообщении #217451 писал(а):

Я имею в виду ситуацию, когда некое утверждение, формально ложно (т.к. является отрицанием истины, аксиомы), но по содержанию (в интерпретации, или в метатеории) представляет собой противоречие. В таком случае, возможно, закон снятия двойного отрицания и отчасти исключенного третьего "ращепляют" существование на конструктивное существует и не может не существовать, а в классике ведет к чистым теоремам существования.

Этого я не очень понял. Вы имеете в виду, что в предметной теории есть вывод $\neg p$, но он сделан не через сведение $p$ к противоречию (например, $\neg p$ просто является аксиомой)? Тогда первое из процитированных предложений понятно: В предметной теории $p$ "формально ложно", а согласно метатеории добавление в предметную теорию аксиомы $p$ сделает её противоречивой. Или Вы о чём-то другом?

Какое отношение к этому имеет закон исключённого третьего я не понял.

man в сообщении #217451 писал(а):

Например, понятие "множество всех множеств". Известно, что оно противоречиво, но если его обозначить, например так: $\exists b \forall a(a \in b)$, то эта формула с точки зрения теории множеств формально ложна. ?

Конечно же с точки зрения теории множеств эта формула - ложна. Доказывается это именно сведением её к противоречию (доказано Кантором).

man в сообщении #217451 писал(а):

Но в целом, как распознать истинные формулы в формальной системе понятно, а вот как различить ложные и противоречивые - вопрос.

А смысл? Вы хотите не признать ложным то, что предметная теория сводит к противоречию, или наоборот - признать ложным нечто такое, что предметная теория не сводит к противоречию?

[man]

epros в сообщении #217527 писал(а):

man в сообщении #217451 писал(а):

Но в целом, как распознать истинные формулы в формальной системе понятно, а вот как различить ложные и противоречивые - вопрос.

А смысл? Вы хотите не признать ложным то, что предметная теория сводит к противоречию, или наоборот - признать ложным нечто такое, что предметная теория не сводит к противоречию?

Скорее, я задумался на тему: если в отрицании истины смешаны ложь и противоречие, то двойное отрицание не всегда ведет к истине, иногда к противоречию.
Можно не признать ложным (а признать противоречивым) то, что предметная теория сводит к противоречию, т.к. к противоречию может вести не только ложь, но и другое противоречие. Отрицание противоречия - противоречие, отрицание лжи – истина, а отрицание истины – неизвестно что (не истина).
Смысла может и нет, есть смутные предположения, что независимый способ отделить ложь от противоречия в чем-то поможет, например, снимать двойное отрицание в зависимости от того о чем высказывание.

Цитата:

По-моему, таковое смешение вводится по определению, т.е. намеренно. Если мы принимаем некую теорию как работающую в рамках соответствующей предметной области, то это значит, что мы убеждены в её непротиворечивости (даже если формального доказательства у нас нет). Поэтому если мы свели некое предположение к противоречию, то можем смело интерпретировать это как доказательство отрицания. Это выражается в том, что в исчисление включается логический закон:
$(p \rightarrow (a \wedge \neg a)) \rightarrow \neg p$

Да, действительно, если мы говорим о теории, противоречивость которой не установлена, а непротиворечивость не доказана, остаются только убеждения, что $p$ ложно, а не противоречиво.

man в сообщении #217451 писал(а):

Я имею в виду ситуацию, когда некое утверждение, формально ложно (т.к. является отрицанием истины, аксиомы), но по содержанию (в интерпретации, или в метатеории) представляет собой противоречие. В таком случае, возможно, закон снятия двойного отрицания и отчасти исключенного третьего "ращепляют" существование на конструктивное существует и не может не существовать, а в классике ведет к чистым теоремам существования.

Цитата:

Этого я не очень понял. Вы имеете в виду, что в предметной теории есть вывод $\neg p$, но он сделан не через сведение $p$ к противоречию (например, $\neg p$ просто является аксиомой)? Тогда первое из процитированных предложений понятно: В предметной теории $p$ "формально ложно", а согласно метатеории добавление в предметную теорию аксиомы $p$ сделает её противоречивой. Или Вы о чём-то другом?

Вопрос о том, что если в теории высказывание ложно(противоречиво), а в метатеории противоречиво (ложно), то отрицание, в одной ведет к противоречию, а в другой к истине.

[Свободный Художник]

epros в сообщении #217267 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #217248 писал(а):

epros в сообщении #217185 писал(а):

Не могли бы Вы дать формальное определение понятия истинности высказывания? Ибо математическое содержание понятия "интерпретация" мне непонятно.

В рамках классического исчисления высказываний математическое содержание понятия “интерпретация” как раз-то очень понятно. Это – произвольное отображение множества пропозициональных переменных в двухэлементное множество истинностных значений.
В рамках рассмотренного выше пропозиционального языка $F(p, q, r, \lor, \land, \neg, \to)$ таких отображений будет 8 штук.
Если $i$ – одно из таких отображений (интерпретаций), то для любой формулы $A$ языка $F(p, q, r, \lor, \land, \neg, \to)$ ее истинностное значение в данной интерпретации можно определить, например, методом истинностных таблиц.

По-моему, это всё как-то несколько убого.
Во-первых, это всё сформулировано для высказываний, записанных в языке исчисления высказываний, а нормальные теории формализуются как минимум в языке исчисления предикатов. Исчисление высказываний явно бедновато для чего бы то ни было, кроме заведомо игрушечных примеров.

Это не “убого”, это просто стандартное определение понятия, о котором Вы спрашивали, во вполне определенном логическом исчислении.
Никто не мешает соответствующим образом обобщить это определение интерпретации на первопорядковые исчисления. Такие определения тоже известны. Просто хочу обратить Ваше внимание, что мы находимся в теме “Что такое истина и ложь?”, а не в теме об исчислении предикатов.
По моему мнению, этот вопрос (т. е. “Что такое истина и ложь?”) вполне можно обсудить в контексте исчисления высказываний. Например, в контексте классического и интуиционистского исчислений высказываний. Уж во всяком случае, его можно обсудить здесь “в первом приближении”.

Заметьте также, что метод “истинностных таблиц”, т. е. некий метод оперирования с “истиной” и “ложью” специфичен именно для исчисления высказываний. Например, Л. Витгенштейн, один из отцов этих таблиц, изрядно поразмышлял на эту тему:

Цитата:

Wittgenstein is to be credited with the invention of truth tables (4.31) and truth conditions (4.431) which now constitute the standard semantic analysis of first-order sentential logic.
The philosophical significance of such a method for Wittgenstein was that it alleviated a confusion, namely the idea that logical inferences are justified by rules.
If an argument form is valid, the conjunction of the premises will be logically equivalent to the conclusion and this can be clearly seen in a truth table; it is displayed.
The concept of tautology is thus central to Wittgenstein's Tractarian account of logical consequence, which is strictly deductive.

http://en.wikipedia.org/wiki/Tractatus_Logico-Philosophicus
http://en.wikipedia.org/wiki/Truth_tables

-- Чт май 28, 2009 02:51:16 --

Свободный Художник в сообщении #217248 писал(а):

В рамках классического исчисления высказываний математическое содержание понятия “интерпретация” как раз-то очень понятно. Это – произвольное отображение множества пропозициональных переменных в двухэлементное множество истинностных значений.

Мы можем рассматривать интерпретации, определенные выше, как “полные описания возможных миров”, заимствуя термин “возможный мир” из “Трактата” Л. Витгенштейна.

Свободный Художник в сообщении #215225 писал(а):

Обычно, говоря об истинности или ложности некоторого предложения пропозиционального исчисления, неявно подразумевают эту истинность или ложность не вообще, а относительно того или иного “возможного мира” (в терминологии Витгенштейна; суть этой терминологии можно посмотреть здесь:
http://www.px-pict.com/preprints/1.html).

Значит, для классического пропозиционального исчисления, основанного на языке $F(p, q, r, \lor, \land, \neg, \to)$, существует ровно $8$ “возможных миров”.

-- Чт май 28, 2009 03:36:39 --

А вот если строить семантику для языка $F(p, q, r, \lor, \land, \neg, \to)$ с привлечением не только “полных”, но также и “частичных” описаний “возможных миров”, то мы придем к некоторой разновидности интуиционистского исчисления высказываний.
“Частичные” описания “возможных миров” можно формализовать следующим образом. Исходим из множества пропозициональных переменных. В нащем модельном примере их три: $p, q, r$. Рассматриваем всевозможные собственные подмножества этого множества. Для каждого такого подмножества рассматриваем множество всех отображений этого подмножества во все то же постоянное двухэлементное множество истинностных значений.
Каждое такое отображение естественно ассоциируется с некоторым “частичным” описанием некоторого “возможного мира”.

Т.е. истинностных значений по прежнему строго два, а логика получается интуиционистской.