анализ ДУ2 на устойчивость решения

[BabbyAS]

DM_13 в сообщении #213811 писал(а):

Если функция $G(t)$ достаточно быстро стремится к нулю при $t\to+\infty$

Ну, видимо, автор не рассматривает варианты $G(t)$ такого рода (экспоненциально убывающую), поскольку вид этой функции задан, и зависит он от физических параметров.

Уравнение составлено относительно амплитуды возмущения, накладываемого в некоторый момент времени на функцию (поверхность). Т.е. анализ решений уравнения на устойчивость в нашем понимании - это определить, при каком $t$ возмущение исчезает, а при каких - растет, дабы найти критическое значение.

[DM_13]

Ага! Это уже теплее. А напишите вид этой функции.

[terminator-II]

тривиальный критерий устойчивости:
$G(t)\le c<0$ и $G'(t)\ge 0$ при всех $t\ge 0$

[DM_13]

terminator-II
Да, функция Ляпунова в этом случае легко строится. Обратите внимание на первые посты и на цитату из статьи - под "устойчивостью" в ней возможно понимается вовсе не устойчивость по Ляпунову.

[terminator-II]

DM_13 в сообщении #213895 писал(а):

terminator-II
Да, функция Ляпунова в этом случае легко строится. Обратите внимание на первые посты и на цитату из статьи - под "устойчивостью" в ней возможно понимается вовсе не устойчивость по Ляпунову.

я это заметил, а Вы саму статью видели, что там?

[DM_13]

terminator-II
Увы, нет.

[BabbyAS]

DM_13 в сообщении #213868 писал(а):

А напишите вид этой функции.

Трудно это сделать, не вдаваясь в детали (там сплошная физика). Попробую описать сначала вкратце, кто есть кто: на сферическую поверхность радиуса $R$ накладывается возмущение с амплитудой $a$ таким образом, что $r=R+aY_n$, где $Y_n$ - сферическая гармоника порядка $n$, и $a<<R$. Вводят замену $a=(\frac{R_0}R)^{\frac32} \alpha$ и получают ДУ для $\alpha$ вида $\alpha''-G(t)*\alpha=0$, где $G(t)=\frac34 (\frac{R'}R)^2 +$ $\frac{R''}R ( \frac32+\frac{n (n-1) \rho_2-(n+1) (n+2) \rho_1}{n \rho_2+(n+1) \rho_1}) -$ $\frac{(n-1) n (n+1) (n+2) \sigma}{R^3 (n \rho_2+(n+1) \rho_1)}$, или короче $G(t)=\frac34 (\frac{R'}R)^2 + A \frac{R''}R - B \frac1{R^3} $, где $A$ и $B$ зависят от физических констант и порядка $n$, а $R=R(t)$ - радиус растущей поверхности.
Цель (моя) - выяснить, при каком радиусе возмущение начинает не исчезать, а расти. Т.е. я предположила, что если у автора утверждается, что при $G(t)>0$ наблюдается неустойчивость возмущения, а при $G(t)<0$ - устойчивость, то $G(t)=0$ можно воспринимать как некий переходный вариант, решение которого даст критическое значение $t$.
Вот мне и хочется либо подтвердить своё предположение чем-то, либо чтобы опровергли его (тоже мотивированно )

[terminator-II]

BabbyAS
а Вы что всетаки разумеете под устойчивостью?

[BabbyAS]

terminator-II в сообщении #213942 писал(а):

а Вы что всетаки разумеете под устойчивостью?

Для меня устойчивость - это когда амплитуда $\alpha$ (или $a$) не уменьшается. Тогда возмущение можно считать устойчивым - т.е. оно не исчезает с ростом поверхности.

Автор статьи определил устойчивость так, как он её понимает: (как я цитировала выше) как отсутствие экспоненциального роста.

В принципе, хотелось бы разобраться в любом из этих пониманий...

[terminator-II]

похоже речь вообще идет о существовании какого-то частного решения, которое не уменьшается или в другой постановке не растет экспоненциально

[V.V.]

Об устойчивости можно почитать еще и в http://u-pereslavl.botik.ru/~trushkov/ode/ode.pdf

Замечу, что даже если $G(t)<0$ и отделимо от нуля постоянной, нельзя говорить об устойчивости.

[bot]

А я постановки задачи не понимаю. Когда говорят об устойчивости решения, то указывают то решение, про которое хотят узнать, устойчиво оно или нет. В данном случае я не вижу никаких указаний на этот счёт. Об устойчивости/неустойчивости какого решения идёт речь?
Из контекста также неясен смысл неравенств $G(t)>0$ или $G(t)<0$ - это как, при всех $t$?
Если речь идёт об устойчивости нулевого решения, то при стандартном сведении к системе двух уравнений можно взять $y^2+\dot{y}^2$ в качестве функции Ляпунова и по теореме Четаева получается неустойчивость независимо от неравенства $G(t)>0$ или $G(t)<0$.
Или я где-то проврался?

Может быть здесь идёт речь об устойчивости в каком-то другом смысле - не в смысле Ляпунова?

ЗЫ.

Цитата:

Для меня устойчивость - это когда амплитуда (или ) не уменьшается

Амплитуда чего? Смещения или скорости или и того и другого? Уравнение-то ведь второго порядка.

[DM_13]

bot
Уравнение линейное, поэтому либо все решения устойчивы, либо все не устойчивы по Ляпунову.

И вопрос к автору темы: а можно привести конкретный пример функции $R$? А вообще без оригинальной статьи и без работы Беллмана, на которую там ссылка думаю трудно будет понять о чём речь и что там имеется в виду под устойчивостью.

[bot]

DM_13 в сообщении #214256 писал(а):

Уравнение линейное, поэтому либо все решения устойчивы, либо все не устойчивы по Ляпунову

А, ну-да, такой пустячок, а забылся
Однако всё остальные сомнения остались в силе - неясно, о какой устойчивости речь. Не похоже, что по Ляпунову.

[terminator-II]

bot в сообщении #214251 писал(а):

Если речь идёт об устойчивости нулевого решения, то при стандартном сведении к системе двух уравнений можно взять $y^2+\dot{y}^2$ в качестве функции Ляпунова и по теореме Четаева получается неустойчивость независимо от неравенства $G(t)>0$ или $G(t)<0$.

это неверно, если $G=const<0$ то получается гармонический осциллятор -- он устойчив, пару тривиальных критериев устойчивости написано выше