2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 анализ ДУ2 на устойчивость решения
Сообщение13.05.2009, 11:42 
В одной статье по физике встретила такое:
для уравнения вида $y''-G(t)y=0$ решение неустойчиво при $G(t)>0$ и устойчиво при $G(t)<0$
Не поможете найти где-нибудь в математической литературе обоснование такого подхода?

 
 
 
 Re: анализ ДУ2 на устойчивость решения
Сообщение13.05.2009, 12:10 
 !  Jnrty:
Каждая формула должна быть окружена знаками доллара: $y''-G(t)y=0$. Тег [mаth] в большинстве случаев вставляется сам.

Код:
$y''-G(t)y=0$

Подробнее о правилах записи формул можно почитать в темах "Первые шаги в наборе формул" и "Краткий ФАК по тегу [mаth]."

Исправьте, пока не переехали в "Карантин".

 
 
 
 Re: анализ ДУ2 на устойчивость решения
Сообщение13.05.2009, 13:37 
Это неверно.
Т.к. уравнение линейное однородное, то устойчивость равносильна ограниченности всех решений.

Пусть $$G(t)=-\frac{1}{t^2\ln t}$$. Тогда $$y(t) = \ln t$$ - частное решение. Оно не ограничено. При этом $$G(t)<0$$ при всех $$t>1$$.

 
 
 
 Re: анализ ДУ2 на устойчивость решения
Сообщение13.05.2009, 13:42 
DM_13" в сообщении #213497 писал(а):
Это неверно.
Т.к. уравнение линейное однородное, то устойчивость равносильна ограниченности всех решений.

Не уверена, что там автор под устойчивостью подразумевал ограниченность. Там под устойчивостью понимается, что нет экспоненциального роста.

 
 
 
 Re: анализ ДУ2 на устойчивость решения
Сообщение13.05.2009, 13:51 
Я не подразумеваю под устойчивостью ограниченность. Я говорю об устойчивости по Ляпунову, которая для линейных однородных уравнений равносильна ограниченности решений.

Т.е. речь идёт о том, что если $$G(t)<0$$, то нет экспоненциального роста, а если $$G(t)>0$$, то он есть? Это тоже не верно. Пусть $$G(t) = \frac{6}{t^2}$$. $$G(t)>0$$. $$y(t) = t^3$$ частное решение. "Экспоненциального роста" у него нет.

Сформулируйте чётко что понимаете под устойчивостью.

 
 
 
 Re: анализ ДУ2 на устойчивость решения
Сообщение13.05.2009, 14:03 
DM_13 в сообщении #213500 писал(а):
Сформулируйте чётко что понимаете под устойчивостью.

Цитирую автора (Plesset, 1954) (в моём переводе с английского):
Цитата:
Как хорошо известно, для ДУ такой формы (см выше) оба решения не могут быть ограничены для $t>t0$ когда $G(t)>0$ Таким образом мы делаем вывод, что решение неустойчиво, когда $G(t)$ положительно. И, наоборот, решение устойчиво, когда $G(t)$ отрицательно.
Под устойчивостью (неустойчивостью) здесь подразумевается, что нет экспоненциального роста (или убывания).

Я нашла подобные рассуждения только о колеблющихся/неколеблющихся решениях.

 
 
 
 Re: анализ ДУ2 на устойчивость решения
Сообщение13.05.2009, 15:19 
Аватара пользователя
Я не специалист, но по поводу устойчивости уравнения можно почитать, например, в Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. Глава 3. Первый метод Ляпунова. Здесь х.числа уравнения лежат в левой полуплоскости. По поводу неустойчивости я пока сомневаюсь.

 
 
 
 Re: анализ ДУ2 на устойчивость решения
Сообщение13.05.2009, 16:04 
Если $G>0$ то неустойчивость доказывается легко: $xy$- функция Четаева(?). (надо бы это проверить) Во всяком случае, если $G$ отделена от нуля сверху, то неустойчивость гарантирована. Доказательство устойчивости гамильтоновой системы -- всегда не просто. Думаю, что частные теоремы об устойчивости этого уравнения действительно надо искать в цитированном учебнике Демидовича. Но только не надо считать хар. числа, как это предлагает предыдущий оратор.

 
 
 
 Re: анализ ДУ2 на устойчивость решения
Сообщение13.05.2009, 16:15 
Аватара пользователя
У Демидовича встречается понятие "спектр нелинейной системы". На стр. 138 приведён пример уравнения со "сплошным спектром", но я не разбирался в этом.

 
 
 
 Re: анализ ДУ2 на устойчивость решения
Сообщение13.05.2009, 16:23 
мат-ламер" в сообщении #213534 писал(а):
У Демидовича встречается понятие "спектр нелинейной системы". На стр. 138 приведён пример уравнения со "сплошным спектром", но я не разбирался в этом.


Никакого отношения к обсуждаемой теме это не имеет. Не путайте человека.

 
 
 
 Re: анализ ДУ2 на устойчивость решения
Сообщение13.05.2009, 16:26 
всетаки с Четаевым или без при $G\ge 0$ неустойчивость мы получим.

 
 
 
 Re: анализ ДУ2 на устойчивость решения
Сообщение13.05.2009, 16:34 
Аватара пользователя
BabbyAs. Можно поинтересоваться, откуда Вы взяли утверждения, приведенные в первом посту? Можно ссылку?

 
 
 
 Re: анализ ДУ2 на устойчивость решения
Сообщение14.05.2009, 07:27 
мат-ламер в сообщении #213541 писал(а):
Можно поинтересоваться, откуда Вы взяли утверждения, приведенные в первом посту? Можно ссылку?

Статья On the Stability of Fluid Flows with Spherical Symmetry, M.S.Plesset, Jornal of applied physics, vol.25, N1, Jan.1954.
Автор при рассуждениях ссылается на Беллмана (1949)

Спасибо за ответы. Просто я пока не очень понимаю, можно ли использовать такой метод, и чем его обосновать, чтобы не получилось, что в вопросах математики один физик на другого ссылается :)

 
 
 
 Re: анализ ДУ2 на устойчивость решения
Сообщение14.05.2009, 07:30 
Для меня вопрос более волнующий: можно ли $G(t)=0$ рассматривать как нахождение некого критического $t$ как параметр, при котором решение из неустойчивого становится устойчивым?

 
 
 
 Re: анализ ДУ2 на устойчивость решения
Сообщение14.05.2009, 08:58 
Нельзя. Если функция $G(t)$ достаточно быстро стремится к нулю при $t\to+\infty$ (например, $G(t)=e^{-t}$ или $G(t)=-e^{-t}$), то асимптотика решений уравнений $y^{\prime\prime}-G(t)y=0$ будет такой же, как у уравнения $y^{\prime\prime}=0$, т.е. экспоненциального роста не будет. При этом знак $G(t)$ не играет никакой роли.

Вообще понятие устойчивости в этой работе какое-то странное - если нет ни экспоненциального роста ни экспоненциального убывания, то получается одновременно и устойчивость и неустойчивость:). Например, уравнение $y^{\prime\prime}=0$ - устойчиво или неустойчиво в смысле этой статьи?:)

 
 
 [ Сообщений: 32 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group