Бесконечная Сумма и произведение.

[Усулгурт]

Всем известно, что интеграл можно заменить бесконечной суммой.
Тогда с чем связано бесконечное произведение с каким таким "интегралом"?

[ewert]

Усулгурт в сообщении #183368 писал(а):

Всем известно, что интеграл можно заменить бесконечной суммой.

Во-первых, это неправда. Во-вторых, обратное неверно. В-третьих, прологарифмируйте (если приспичит).

[AD]

Если ряд сходится абсолютно, то

$$\sum_{n=1}^\infty a_n=(L)\int_{\mathbb{N}}a_n\,d\#(n)$$

Вы это имели ввиду?

[Усулгурт]

Да я хотел сказать, что определённый интеграл можно представить некой суммой.

[antbez]

Для исследования на сходимость бесконечный ряд заменяют на интеграл с бесконечным верхним пределом. Но как Вы собираетесь в общем случае заменять ряд на интеграл или наоборот?!

[Усулгурт]

Ну вот как ты будешь находить определённый интеграл, когда неопределённый невозможно взять?

[Brukvalub]

Замените, пожалуйста, $\int\limits_0^1 {xdx} $ бесконечной суммой.

[gris]

Для приближённого вычисления определённого интеграла есть разнообразные численные методы, которые по разному работают в разных случаях.
Исторически интеграл связан именно с суммированием. Даже знак интеграла произошёл от буквы S - Summa.
И это естественным способом связано с тем, что объём тела равен сумме объёмов его частей, а площадь фигуры равна сумме площадей маленьких квадратиков, на которые её можно разрезать.
Правда всё это наглядно представляется только для хороших, обычных тел и фигур и для житейского понимания объёма и площади.
Ну а для любознательных и неугомонных студентов специально придумана теория меры, интеграл Лебега, ужасные неинтегрируемые функции

[AD]

gris в сообщении #183412 писал(а):

Ну а для любознательных и неугомонных студентов специально придумана теория меры, интеграл Лебега, ужасные неинтегрируемые функции

Не знаю уж, зачем их придумывали, но тем, кто их придумал, сейчас поклоняются не только неугомонные студенты, но и, как минимум, функан, кусок урчпов и целый теорвер. Но вообще, конечно, как бы холивар не устроить.

Усулгурт в сообщении #183404 писал(а):

Ну вот как ты будешь находить определённый интеграл, когда неопределённый невозможно взять?

Ээээ ... через вычеты?

Добавлено спустя 13 минут 42 секунды:

Brukvalub в сообщении #183410 писал(а):

Замените, пожалуйста, $\int\limits_0^1 {xdx} $ бесконечной суммой.

$\int\limits_0^1xdx=\sum\limits_{k=1}^\infty2^{-k-1}$

Вообще, любое число можно заменить бесконечной суммой:
$\boxed{x=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{x}{2^k}}$

[gris]

AD, даже пятиклассники говорят: "Ну кто выдумал эти дроби, как будто без них нельзя обойтись"

А я бы заменил интеграл так: $\int\limits_0^1 {xdx} = \frac12(0+0+\cdots +0+1) $

[--mS--]

gris писал(а):

А я бы заменил интеграл так: $\int\limits_0^1 {xdx} = \frac12(0+0+\cdots +0+1) $

А единичка в этой сумме на каком по счёту месте стоит?

[bot]

gris в сообщении #183425 писал(а):

Ну кто выдумал эти дроби, как будто без них нельзя обойтись

А как же без них интеграл Стилтьеса считать?

[ewert]

Точно так же, как интеграл Римана.

А представлять число бесконечной суммой разумнее всего так:

$$x=x+\sum_{k=1}^{\infty}0^k.$$

[gris]

--mS--, а в этом весь смысл и заключается! Если бы я написал $1+0+0+0+ \cdots$, то нули можно было бы сократить и сумма стала бы конечной.
А у меня между первым нулём и последней 1 стоит бесконечное множество нулей. И нули сократить нельзя!

[ewert]

gris в сообщении #183436 писал(а):

у меня между первым нулём и последней 1 стоит бесконечное множество нулей

Кто-то тут уже любопытствовал, чему равняется наибольшее натуральное число...