Релятивистское сокращение длины.

[Volnovik]

Munin писал(а):

В физике такое равенство записывают для безразмерных векторов.

Например?

[Munin]

Например, вектор нормали к поверхности.

[Volnovik]

Munin писал(а):

Например, вектор нормали к поверхности.

Это в физике?

А остальные векторы, такие как вектор скорости, вектор ускорения, вектор силы, радиус-вектор и т.д., в физике единичной меры, по Вашему, не имеют?

[Munin]

Вектор скорости измеряется в метрах в секунду, ускорения - в метрах на секунду в квадрате, силы - в Ньютонах, радиус-вектор - в метрах. Здесь не бывает единицы, принципиально. 1 Н - это не единица, это произвольно выбранная величина. Например, 1 дин - другая произвольно выбранная величина.

[Volnovik]

Munin писал(а):

Вектор скорости измеряется в метрах в секунду, ускорения - в метрах на секунду в квадрате, силы - в Ньютонах, радиус-вектор - в метрах. Здесь не бывает единицы, принципиально. 1 Н - это не единица, это произвольно выбранная величина. Например, 1 дин - другая произвольно выбранная величина.

Значит скорость не произвольная единица, а сила, поскольку имеет отдельное название, а не $kg \cdot m/s^2 $ - уже не единица? Да! я чувствую мы с Вами скоро далеко зайдем. . .

Но хоть у радиус-вектора есть единичная мера? Или это тоже произвольно выбранная величина не имеющая меры?

[Алия87]

Я про задачу с ускоренным стержнем.
Сначала небольшой вывод формулы, она будет нужна дальше


$v=\frac{w t}{\sqrt{\frac{t^2 w^2}{c^2}+1}}$ (1) ( Ландау и Лифшиц Т2 )

$ v^2=\frac{c^2 t^2 w^2}{c^2+t^2 w^2}$

$ c^2 v^2+t^2 w^2 v^2=c^2 t^2 w^2$

$ c^2 v^2=c^2 t^2 w^2-t^2 v^2 w^2$

$ c^2 v^2=t^2 \left(c^2-v^2\right) w^2$

$ v^2=t^2 \left(1-\frac{v^2}{c^2}\right) w^2$

$ v=t \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} w$ (2)





В лабораторной инерциальной системе отсчёта ИСО_Л вдоль оси $x$ покоится стержень $AB$. Точка $A$ находится в начале координат ИСО_Л, точка $B$ правее. Длина стержня $AB$ в ИСО_Л, как разница координат точек $B$ и $A$ измеренных одновременно в ИСО_Л, в состоянии покоя равна $L$. Стержень $AB$ начал движение с ускорением в положительном направлении оси $x$. Все точки стержня в том числе и точки $A$ и $B$ в ИСО_Л начали движение одновременно. Задняя точка $A$ стержня $AB$ имеет постоянное по величине ускорение $w_A$$ в каждой МСИСО к ней, передняя точка $B$ имеет постоянное по величине ускорение $w_B$ в каждой МСИСО к ней. Чтобы стержень не растягивало, не удлиняло, не деформировало вероятно должна существовать такая МСИСО в которой все точки стержня одновременно мгновенно имеют нулевую скорость в ней (все точки стержня мгновенно покоятся относительно такой МСИСО). То есть, любая точка стержня, например $B$ в такой МСИСО неподвижна относительно любой другой точки этого стержня, например $A$. Такую МСИСО можно назвать МСИСО к стержню $AB$. В каждой такой МСИСО к стержню величина его длины, измеренная в МСИСО когда стержень в ней мгновенно покоился, будет не меняться. МСИСО к стержню можно провести и тогда, когда стержень покоился в ИСО_Л. В этот момент все точки СК такой МСИСО одновременно совпадали со всеми точками СК ИСО_Л и были взаимно неподвижны. Поэтому длина $L$ стержня $AB$ определённая в ИСО_Л будет и длиной этого стержня в МСИСО к стержню. То есть, длина стержня в каждой МСИСО к стержню равна $L$.
Пусть МСИСО стержня имеет скорость $v$ относительно ИСО_Л. Точки $A$ и $B$ с точки зрения МСИСО одновременно покоятся в ней. Так как одновременность относительна то, что одновременно в МСИСО в ИСО_Л уже неодновременно. То есть, с точки зрения ИСО_Л точки $A$ и $B$ достигают скорости $v$ неодновременно. С начала этой скорости достигает задняя точка $A$, а затем через время $ \text{$\Delta $t}=\frac{L v}{c^2 \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ передняя точка $B$.
Пусть в ИСО_Л точка $A$ достигает скорости $v$ за время $t$, тогда в ИСО_Л точка $B$ достигает этой же скорости $v$ за время
$ t+\text{$\Delta $t}=t+\frac{L v}{c^2 \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$.

По формуле (2)

$ v=t \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} w_A$

$ v=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} (t+\text{$\Delta $t}) w_B$

$ t \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} w_A=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}(t+\text{$\Delta $t}) w_B$

$ t w_A=(t+\text{$\Delta $t}) w_B$

$ t w_A=\left(t+\frac{L v}{c^2 \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right) w_B$

Вместо $v$ подставим $ t \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} w_A$ используя (2)

$ t w_A=\left(\frac{L \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} w_A t}{c^2 \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+t\right) w_B$

$ t w_A=\left(\frac{L w_A t}{c^2}+t\right) w_B$

$ w_A=\left(\frac{L w_A}{c^2}+1\right) w_B$

$ w_B=\frac{w_A}{\frac{L w_A}{c^2}+1}$ (3)

Ускорение передней точки $B$ стержня $AB$ меньше ускорения задней точки $A$ этого стержня.


Если известно ускорение задней точки $A$, стержня $AB$ собственною длиною $L$, то через время $t$ по часам ИСО_Л после начала движения задняя точка $A$ ускоряемого стержня $AB$ такого, что его длина в МСИСО остаётся постоянной, будет иметь скорость в ИСО_Л

$ v_A=\frac{t w_A}{\sqrt{\frac{t^2 w_A^2}{c^2}+1}}$

Cкорость передней точки $B$ будет

$v_B=\frac{t w_A}{\left(\frac{L w_A}{c^2}+1\right) \sqrt{\frac{t^2 w_A^2}{c^2 \left(\frac{L w_A}{c^2}+1\right){}^2}+1}}$

Длина такого стержня в ИСО_Л, как разница координат его концов (точек $B$ и $A$) через время $t$ будет

По формуле $x= \frac{c^2 \left(\sqrt{\frac{t^2 w^2}{c^2}+1}-1\right)}{w}$ ( Ландау и Лифшиц Т2 )

$ x_A=\frac{c^2 \left(\sqrt{\frac{t^2 w_A^2}{c^2}+1}-1\right)}{w_A} $

$ x_B=\frac{c^2\left(\sqrt{\frac{t^2 w_B^2}{c^2}+1}-1\right) }{w_B}+L $

$ w_B=\frac{w_A}{\frac{L w_A}{c^2}+1}$

$x_B-x_A=-\frac{\left(\sqrt{\frac{t^2 w_A^2}{c^2}+1}-1\right) c^2}{w_A}+\frac{\left(\frac{L w_A}{c^2}+1\right) \left(\sqrt{\frac{t^2 w_A^2}{c^2 \left(\frac{L w_A}{c^2}+1\right){}^2}+1}-1\right) c^2}{w_A}+L$

[Volnovik]

Уважаемая Алия87, я давно ждал Вашей формулы

$$v = \frac{{wt}}{{\sqrt {\frac{{t^2 w^2 }}{{c^2 }} + 1} }}$$

и если бы Вы привели только ее одну, как я и просил, то было бы лучше, чем приводить весь вывод.

Дело в том, что она некорректна у Ландау. Правильная (в рамках предпосылок СТО) формула для ускорения приведена у Паули. В случае одномерного движения вдоль оси х она имеет вид (В. Паули, Теория относительности, с. 114)

$\dot u_x = \dot u'_x \left( {1 - \beta ^2 } \right)^{3/2} ;\,\,\,\,\,\beta = v/c$

Формула у Ландау где-то становится похожей на формулу у Паули, если правильно сделать преобразование $w^i w_i $ с учетом формул, приведенных у Ландау же. Но полного совпадения не будет. У Ландау идет игра символов, чем он, как известно, очень увлекался, а у Паули производится расчет на основе прямого преобразования из МСИСО в ИСО_Л. Поэтому в его формулах присутствуют, как и полагается, обе системы отсчета и даже дается указание: «эти соотношения имеются уже в первой работе Эйнштейна (и в сноске – у Зоммерфельда)» (там же).

Но и данная формула не решает Вашей задачи. Дело в том, что под корнем стоит параметр $\beta $, в который входит мгновенная скорость МСИСО в рассматриваемый момент времени, и эта скорость суммарная! То есть скорость, которую приобрело само тело от начала движения до данного момента времени. А следовательно, она должна определяться или из выражения (при условии равноускоренного в МСИСО движения)

$v = \dot u'_x t'$

или из выражения

$v = \int_0^t {\dot u_x dt} $

И хотя в рамках предположений СТО эти случаи формально должны давать один и тот же результат, в обоих случаях этот результат нереально получить, особенно во втором.

[Алия87]

Volnovik, Вы считате, что эта формула $ w_B=\frac{w_A}{\frac{L w_A}{c^2}+1}$ неправильная? Потому что выведена с использованием некорректной формулы Ландау $ v=\frac{t w}{\sqrt{\frac{t^2 w^2}{c^2}+1}}$


Эта формула есть и у других авторов

К.Мёллер
Теория Относительности



В.А. Угаров
Специальная теория относительности

[Volnovik]

Во-первых, уважаемая Алия87 и из-за этого, поскольку формулу, о которой я говорил, Вы используете далее, во-вторых, как я показал, если подходить к выводу строго, то в четырехмерных ускорениях вообще нельзя что-либо путного получить приведенными у Вас преобразованиями. Тут появляются интегральные уравнения и без их решения не обойтись. А вообще, тут проблема глубже, уважаемая Алия87. Задачу нужно рассматривать для двух независимых точек, не сводя их в одну систему отсчета, о чем, кстати, говорил и Someone. А вот как свести две МСИСО в одну, если и скорости концов разные, и собственные времена. Ведь МСИСО как раз характеризуется тем, что в начальный для нее момент времени тело покоится. Если в этой системе тело или его части, движутся с некоторой начальной скоростью, теряется все обоснование релятивистского ускорения вместе с формулами для МСИСО.

P.S. И по поводу других авторов. Здесь нужно смотреть на суть вопроса, поскольку дралоскоп в учебниках процветал и процветает. Если есть претензии к Паули, я с одной стороны, за них не ответчик, а с другой стороны готов совместно разобраться. Но если Вы повторите вывод $w^i w_i $ с учетом, что у Ландау же

$$w^i = \frac{{du^i }}{{ds}};\,\,\,ds = cdt\sqrt {1 - \frac{{v^2 }}{{c^2 }}} ;\,\,\,u^1 = \frac{v}{{c\sqrt {1 - \frac{{v^2 }}{{c^2 }}} }};\,\,\,w^i w_i = w^1 w_1 $$

,

то получите другое выражение, что и подтверждает ошибочность вывода у Ландау.

[Munin]

Volnovik в сообщении #181210 писал(а):

Значит скорость не произвольная единица, а сила

Впали в маразм? Скорость - это не сила, а скорость.

Хватит нести бред и пропагандировать своё неумение выполнять простейшие выкладки.

[Шимпанзе]

Алия87 в сообщении #181361 писал(а):

С начала этой скорости достигает задняя точка $A$, а затем через время передняя точка $B$.

А почему не наоборот?

[Volnovik]

Munin писал(а):

Volnovik в сообщении #181210 писал(а):

Значит скорость не произвольная единица, а сила

Впали в маразм? Скорость - это не сила, а скорость.

Хватит нести бред и пропагандировать своё неумение выполнять простейшие выкладки.

Раз Вы ругаетесь, уважаемый Munin, и подтасовываете мои слова, которые в оригинале звучат так:

«Значит скорость не произвольная единица, а сила, поскольку имеет отдельное название, а не $kg \cdot m/s^2 $ - уже не единица?»

и откуда видно, что я ничего ни с чем не отождествляю, как бы Вам это ни хотелось выкрутить, - значит, аргументов у Вас нет. Это Вы написали:

«Вектор скорости измеряется в метрах в секунду, ускорения - в метрах на секунду в квадрате, силы - в Ньютонах, радиус-вектор - в метрах. Здесь не бывает единицы, принципиально. 1 Н - это не единица, это произвольно выбранная величина. Например, 1 дин - другая произвольно выбранная величина».

Поэтому давайте лучше отвечайте на вопрос по существу: так имеет радиус-вектор единичную меру или нет?

Вот на это и отвечайте, и нечего валить свое на меня.

[Munin]

Мдя. Я интерпретировал ваши слова менее кретинским образом. Если вы настаиваете на более кретинской интерпретации, отвечу на неё.

Скорость - не единица. Сила - тоже не единица. Скорость и сила - физические величины, такое специальное понятие. У физической величины есть единица измерения, но от этого физическая величина не становится единицей. Кстати, единица измерения - это тоже не единица, а такое специальное понятие. И наконец, как именно называется единица измерения - значения не имеет. Она может иметь отдельное название, а может называться кг·м/сек^2 - это ни на что не влияет.

Радиус-вектор не имеет единичной меры. И он не произвольно выбранная величина. Он физическая величина. Если выбрать конкретную единицу измерения, то у этой физической величины будет численная мера в этой выбранной единице измерения. А саму единицу измерения можно выбрать произвольной величины.

Всё это банальности, которые должен знать на пять любой школьник, и их обсуждение не интересно. Ваше место за учебниками, а окружающим не хамите.

[Volnovik]

Munin писал(а):

Всё это банальности, которые должен знать на пять любой школьник

… и которые Вы делаете вид, что не знаете. Вернее, понимаете, что действительно единица измерения является условной величиной, но от этого она не перестает быть единицей, и без этой самой единицы мы не можем определить параметры исследуемого явления. И мне приходится Вам разжевывать детсадовские тезы, чтобы Вы огрызались, перевирали мои слова, но в конце концов признавали, перемежая ругательствами, то, что Вам невыгодно. А вот невыгодно Вам на следующем этапе то, что не признавая наличие единичной меры, Вы не запишете и радиус-вектор в том виде, в котором Вы уже признали в моей записи, а именно

${\bf{A}} = a_1 {\bf{e}}_{\bf{1}} + a_2 {\bf{e}}_{\bf{2}} + a_3 {\bf{e}}_{\bf{3}} $

[Someone]

Volnovik в сообщении #181415 писал(а):

Но если Вы повторите вывод $w^i w_i $ с учетом, что у Ландау же

$$w^i = \frac{{du^i }}{{ds}};\,\,\,ds = cdt\sqrt {1 - \frac{{v^2 }}{{c^2 }}} ;\,\,\,u^1 = \frac{v}{{c\sqrt {1 - \frac{{v^2 }}{{c^2 }}} }};\,\,\,w^i w_i = w^1 w_1 $$

Последнее равенство - Ваша собственная выдумка, к ЛЛ отношения не имеющая. Для случая движения частицы со скоростью $v$ вдоль оси $Ox$ получаем 4-скорость

$$u^i=\left(\frac 1{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},\frac v{c\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},0,0\right)\text{.}$$

Дифференцируя, получим

$$du^i=\left(\frac{v\,dv}{c^2\sqrt{\left(1-\frac{v^2}{c^2}}\right)^3}},\frac{c\,dv}{c^2\sqrt{\left(1-\frac{v^2}{c^2}}\right)^3}},0,0\right)\text{.}$$

Делим на $ds=c\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\,dt$:

$$w^i=\frac{du^i}{ds}=\left(\frac v{c^3\left(1-\frac{v^2}{c^2}}\right)^2}\frac{dv}{dt},\frac c{c^3\left(1-\frac{v^2}{c^2}}\right)^2}\frac{dv}{dt},0,0\right)\text{.}$$

Вычисляем свёртку:

$$w^iw_i=\left(\frac v{c^3\left(1-\frac{v^2}{c^2}}\right)^2}\frac{dv}{dt}\right)^2-\left(\frac c{c^3\left(1-\frac{v^2}{c^2}}\right)^2}\frac{dv}{dt}\right)^2=\frac{v^2-c^2}{c^6\left(1-\frac{v^2}{c^2}}\right)^4}\left(\frac{dv}{dt}\right)^2=-\frac 1{c^4\left(1-\frac{v^2}{c^2}}\right)^3}\left(\frac{dv}{dt}\right)^2\text{.}$$

Поскольку $w^iw_i=-\frac{w^2}{c^4}$ (согласно тому же ЛЛ), получаем

$$\frac 1{\sqrt{\left(1-\frac{v^2}{c^2}}\right)^3}}\frac{dv}{dt}=w\text{.}$$

Интегрирование с учётом начального условия $v|_{t=0}=0$ даёт

$$\frac v{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=wt\text{,}$$

что приводит к выражению

$$v=\frac{wt}{\sqrt{1+\frac{w^2t^2}{c^2}}}\text{.}$$