Сумма всех натуральных чисел

[вздымщик Цыпа]

Anton Nonko в сообщении #172911 писал(а):

Неправильно выразился, это предельный переход от обычной суммы. Однако, ряд натуральных чисел не сходится.

Предельный переход в последовательности частичных сумм — не единственный способ обобщить суммирование на бесконечные последовательности слагаемых.

[Anton Nonko]

вздымщик Цыпа в сообщении #172912 писал(а):

Предельный переход в последовательности частичных сумм — не единственный способ обобщить суммирование на бесконечные последовательности слагаемых.

Я и не спорю, просто надо уточнить, какая сумма имеется в виду.

[вздымщик Цыпа]

Anton Nonko в сообщении #172913 писал(а):

Я и не спорю, просто надо уточнить, какая сумма имеется в виду.

Разумеется, не суммирование сходящихся радов. Это и без уточнений ясно

[kvanttt]

Профессор Снэйп писал(а):

kvanttt писал(а):

Тут же возникает вопрос если все натуральные числа "симметричны" относительно нуля...

Народ! Вы натуральные числа с целыми не перепутали?

Да, перепутал. Но 1 + 2 + 3 + ... = -1/12 это еще больший бред(с точки зрения логики и инуитивного понимания). сумма бесконечной последовательности может быть равна числу, да еще и отрицательному?

Раз это так, то чему же равна сумма всех целых чисел?

Добавлено спустя 4 минуты 21 секунду:

вопрос снимается, после прочтения про метод суммирования Вершамова

[Лукомор]

вздымщик Цыпа писал(а):

juna в сообщении #172821 писал(а):

Утверждается, что $1+2+3+4+5+...=-\frac{1}{12}$

Не, ну раз уж $1+2+4+8+16+... = -1$. то и в этом утверждении нет ничего особо необычного

А вот это мне как раз непонятно:
Почему сумма $1+2+3+4+5$ получилась больше, чем
$1+2+4+8+16$
Вроде вторая сумма растет быстрее???

[вздымщик Цыпа]

Лукомор в сообщении #175392 писал(а):

А вот это мне как раз непонятно:
Почему сумма $1+2+3+4+5$ получилась больше, чем
$1+2+4+8+16$
Вроде вторая сумма растет быстрее???

Чем шире мы тракуем понятие суммирования, тем меньше привычных свойств конечного суммирования у него остается. Уже при суммировании сходящихся рядов натыкаемся на некоммутативность неабсолютно сходящихся рядов. Если его только «слегка» расширить (по Чезаро например), то имеем $1-1+1-1+... = 1/2$, а $1-1+0+1-1+0+... = 1/3$, т.е. $0$ — уже не вполне нейтральный элемент суммы. Ну а чем дальше, тем чудесатее и чудесатее Появляются отрицательные суммы положительных, нецелые суммы целых и пр. пр. пр.

[Лукомор]

вздымщик Цыпа писал(а):

имеем $1-1+1-1+... = 1/2$, а $1-1+0+1-1+0+... = 1/3$, т.е. $0$ — уже не вполне нейтральный элемент суммы.

Я понимаю это следующим образом:
$1+2+3+4+...$ растет быстрее, чем $1+2+0+4+0+0+0+8+...$
Поэтому первая сумма "больше", чем вторая.
Или меня опять заносит?

[вздымщик Цыпа]

Лукомор в сообщении #176319 писал(а):

$1+2+3+4+...$ растет быстрее, чем $1+2+0+4+0+0+0+8+...$

Я очень не уверен, что $1+2+0+4+0+0+0+8+... = 1+2+4+8+... = -1$. Более того, скорее всего это не так.

Последовательность частичных сумм у нее «похожа» на $1+1+1+1+... = -1/2$.

[Лукомор]

вздымщик Цыпа писал(а):

Я очень не уверен, что $1+2+0+4+0+0+0+8+... = 1+2+4+8+... = -1$. Более того, скорее всего это не так.
Последовательность частичных сумм у нее «похожа» на $1+1+1+1+... = -1/2$.

Да, согласен.
Но все-таки это как-то "нелогично" получается.
Если расставить ряды по возрастанию их сумм получится такая картина:
$1+2+4+8+...=-1$
$1+1+1+1+...=-1/2$
$1+2+3+4+...=-1/12$
Первый ряд тут как-то не на своем месте.
Интересно, есть ли еще расходящиеся ряды из натуральных чисел с отрицательной суммой?
Например, чему равна сумма ряда $1+4+9+16+,,,=$ квадратов натуральных чисел?

Добавлено спустя 3 минуты 5 секунд:

Хм-м... Я вот тут подумал...
Каждому действительному числу $N$ можно поставить в соответствие некоторый угол $\varphi=arctg N$.
Соответственно, (плюс/минус) бесконечности будет соответствовать угол $\varphi=\pi /2$ .
Теперь рассуждаем так:
Каждой частичной сумме числового ряда соответствует некоторый угол.
Для гармонического ряда, например, угол, соответствующий сумме ряда, как пределу частичных сумм, составит $\varphi=\pi /2$.
Поскольку ряд $1+1+1+1+,,,$ растет быстрее гармонического, то его сумме будет соответствовать угол $\varphi=arctg(-1/2)$
Следовательно, ряд $1+2+4+8+,,,$ будет расти еще быстрее, и его сумме будет соответствовать еще бОльший угол, например $\varphi=1.75 \pi=-1$ .
Бред?

[Cave]

$1+4+9+16+\ldots= 0$, и пусть вас это не пугает.
Говорят же: нельзя переносить привычные нам свойства на суммы такого рода, они устроены по-другому. Это в некотором роде значки, приписываемые рядам.

[Лукомор]

Cave писал(а):

$1+4+9+16+\ldots= 0$, и пусть вас это не пугает.
Говорят же: нельзя переносить привычные нам свойства на суммы такого рода, они устроены по-другому. Это в некотором роде значки, приписываемые рядам.

В данный момент меня интересует, именно, "как устроены" суммы такого рода.
Действительно, рядам приписаны "в некотором роде значки", но не произвольно,а в соотвествии с некоторого рода формальными правилами.
Привычные свойства на подобные суммы переносить нельзя, это понятно, но это не означает, что подобные суммы не имеют вовсе никаких свойств.
То, что эти свойства "непрвычные" не должно являться препятствием для их изучения.
Где можно подробнее (в электронном/бумажном виде) посмотреть по поводу суммы:
$1+4+9+16+\ldots= 0$

[juna]

Лукомор в сообщении #176656 писал(а):

В данный момент меня интересует, именно, "как устроены" суммы такого рода.
Действительно, рядам приписаны "в некотором роде значки", но не произвольно,а в соотвествии с некоторого рода формальными правилами.
Привычные свойства на подобные суммы переносить нельзя, это понятно, но это не означает, что подобные суммы не имеют вовсе никаких свойств.
То, что эти свойства "непрвычные" не должно являться препятствием для их изучения.
Где можно подробнее (в электронном/бумажном виде) посмотреть по поводу суммы:
$1+4+9+16+\ldots= 0$

Вам будет интересен доклад Ю.В. Матиясевича
http://www.mathnet.ru/php/presentation_ ... us#PRELIST

[Профессор Снэйп]

shwedka писал(а):

Старикаша Эйлер по своему обычаю не волновался о сходимости рядов. Поэтому он рассмотрел степенной ряд
$\sum n x^n$,
путем почленного интегрирования просумировал и, как теперь принято говорить, продолжил результат аналитически до точки $x=1$. Таких вычислений у Эйлера вусмерть

Что-то я не совсем понимаю. Если проделать всё то, что по Вашему проделал Эйлер, то получается

$$ \int \sum_{n=1}^\infty nx^n = \sum_{n=1}^\infty \int nx^n = \sum_{n=1}^\infty \frac{nx^{n+1}}{n+1} $$

И что делать дальше?

[Лукомор]

juna писал(а):

Вам будет интересен доклад Ю.В. Матиясевича
http://www.mathnet.ru/php/presentation_ ... us#PRELIST

Спасибо за ссылку!

[Лукомор]

Еще один вопрос:
Верно ли, что $2+2+2+...=2\cdot(1+1+1+...)=2\cdot(-1/2)=-1$ ?