Теорема Кантора: конец векового спора.

[nilozov]

Возьмите какое угодно доказательство из любого учебника. Тот же Колмогоров: "Пусть между элементами множества и какими-то элементами множества его подмножеств (то есть какими-то подмножествами из этого множества всех подмножеств) установлено взаимно однозначное соответствие " и далише по тексту (мат символы при цитировании я заменил на слова)
Далее, частный случай из того же Колмогорова (стр 31) "Предположим, что дано какое-то счётное множество (всех или ТОЛЬКО НЕКОТОРЫХ действительных чисел)" (выделение моё)

Далее вся аргументация в точности по смыслу соответствует моей.

Я сейчас воспользуюсь своим правом предположить, что имею дело с образованными учёными-математиками. Как известно, огромное количество работ по математике было написано на немецком языке. Зная это и то, что от меня потребую указать, откуда я взял демонстрацию(1), а заранее включил в текст статьи оригинал доказательства Кантора. Если вам будет угодно, то давайте перейдёмте к анализу этого доказательства - тут уже никто не сможет обвинить меня в "искажении". Кто не знает немецкого - рекомендую поискать русский перевод (на русский том с произведениями Кантора с комментариями Цермело издавался.)
Вы согласны на это? Или, быть может, вы всё-таки сами возьмёте любой учебник, где есть доказательство - и сравните его с моим?

[Сомик]

Хм... о чем тут вообще спорить...
Я еще раз спрашиваю, укажите книгу по математической логике, где утверждается, что

nilozov в сообщении #174535 писал(а):

По правилу логики противоречие опровергает последнюю посылку, которая была сделана.

Кстати, пользуясь таким правилом можно все доказать.
1) Пусть $f:X \to P(X) $
2) Пусть ДКП : "определим множество $Z$ как состоящее из всех тех элементов $x$ множества $X$, которые не принадлежат своим образам $f(x)$"...
3) Пусть $f$ - биекция

Получаем противоречие. При этом оно опровергает именно последнее предположение, что $f$ - биекция.

Одним словом, укажите книгу, где указано это "правило", иначе тут вообще не о чем говорить...

[nilozov]

Вы мне лучше укажите учебник логики, в котором сказано, что при нескольких посылках разрешение противоречия допускает устранение любой из посылок, на ваш выбор.

Вы не имеете права определять предикат выделения до ОПРЕДЕЛЕНИЯ отображения. Пример такого "метода": скажем - "треугольник, который мы сейчас нарисуем, будет равносторонним" - и нарисуем прямоугольный треугольник.

[nikov]

nilozov писал(а):

Теорема Кантора наконец-то действительно логически неопровержимо опровергнута.

Давайте проясним несколько вопросов:
1) Вы действуете в рамках аксиоматической теории множеств? Какую аксиоматику Вы принимаете?
2) К какому выводу Вы пришли? Удалось ли Вам вывести из аксиом теории множеств опровержение тезиса Кантора или же Вы пришли к выводу о его независимости от этих аксиом?
3) Нужно ли понимать Вашу работу, как утверждение о счетности множества всех подмножеств ряда натуральных чисел? Если да, то можете ли Вы привести способ пересчета всех этих подмножеств? Может ли такой способ пересчета существовать в принципе?
4) Допускаете ли Вы возможность строгой формализации Вашего доказательства, чтобы его можно было проверить с помощью одной из существующих систем компьютерной проверки доказательств?

[nilozov]

Конечно же, я забыл добавить - противоречие отрицает последнюю посылку, КОТОРУЮ ОНО ИСПОЛЬЗОВАЛО.

[Сомик]

nilozov в сообщении #174562 писал(а):

Вы мне лучше укажите учебник логики, в котором сказано, что при нескольких посылках разрешение противоречия допускает устранение любой из посылок, на ваш выбор.

Вот именно, что не на мой выбор, а хотя бы из одной посылки. У вас имеется две посылки, про функцию, и про ДПК. И из вашего текста, вы, по своему выбору, именно выбираете вторую посылку, а первую игнорируете.

[nilozov]

1) Аксиоматику, представленную в книге Френкеля и Бар-Хилла (см в конце статьи литературу) (забыл её точное название)
2) Я пришёл к выводу, что доказательство теоремы Кантора с помощъю ДПК противоречит постулаты выделения.
3)Я не утверждаю, что множество действительных чисел счётно. Что-то мне подсказывает, что вопрос о счётности-несчётности множества действительных чисел математически неразрешим. Примите это в качестве тезиса (всё в конечном счёте упирается в определение понятия действительное число).
4) Мне кажется - что человек умнее машины. В конце концов, машина докажет только на основе тех принципов, которые в неё вложил человек. Я допускаю строгую формализацию, но мне, чесно говоря, непонятно, как можно написать более логически формальное опровержения, нежели представленное мной в пунке 5 статьи?

nikov, спасибо за вопросы!

[MaximKat]

nilozov
в теории множеств есть следующая аксиома: если X - множество, а P - свойство, характеризующее элементы X, то существует подмножество множества Х, содержащее в точности те элементы Х для которых Р - истинно
вы не возражаете против этой аксиомы? налагаются ли на Р какие-либо ограничение, кроме того что оно должно характеризовать элементы Х?

[nilozov]

Цитата:

Вот именно, что не на мой выбор, а хотя бы из одной посылки. У вас имеется две посылки, про функцию, и про ДПК. И из вашего текста, вы, по своему выбору, именно выбираете вторую посылку, а первую игнорируете.

Не по своему выбору, а по закону логики. Вы меня в тупик поставили. "Не на мой выбор, а хотя бы из одной"? без комментариев. Хорошо: вы предлагаете, по своему же произволу, проотрицать первую посылку? А почему не вторую? Я этим не утверждаю, что я отрищаю ворую посылку по своему произволу, я лишь хочуть указать - ваши аргументы не достигают вашей же цели.

Добавлено спустя 11 минут 56 секунд:

MaximKat - я категорически не согласен с вашей формулировкой постулата выделение - неужели вы не понимаете, что именно из-за этой формулировки и возникло большинство парадоксов теории множеств? Смотрите, что по этому поводу пишет Френкель (книги нет под рукой - смотрите сами в том разделе, где вводятся постулаты теории множеств).

ЕЩЁ РАЗ ПОВТОРЯЮ: предикат P должен иметь, кроме всего прочего, определённый СМЫСЛ для КАЖДОГО элемента множества: это означает, для любого элемента он должен давать однозначный ответ - принадлежит или НЕ ПРИНАДЛЕЖИТ. Неопределённость ответа на вопрос принадлежности хотя бы одного элемента отрицает законность субсумирования под постулат выделения. Этот постулат вмещает в себя все предикативные определения подмножеств. ДПК имеет смысл только как предикативное определении - и т.д.

На это (определение постулата) и указывает Френкель. Да и действительно, разве множество можно считать вполне определённым, если для какого-то элементы неизвестно, принадлежит ли он ему?

[MaximKat]

разумеется Р должен быть определен для каждого элемента Х, я не против

с такой формулировкой согласны?
если X - множество, а $P: X\to\{TRUE, FALSE\}$, то существует подмножество множества Х, содержащее в точности те элементы Х для которых $P(\cdot)=TRUE$

[nilozov]

Да, с эти полностью согласен.

Добавлено спустя 1 минуту 1 секунду:

Но только почему вы из этого не делаете никаких выводов касательно ДПК для биекций?

Добавлено спустя 1 минуту 8 секунд:

Неужели я 5 часов должен в одиночестве отстаивать тривиальные доводы?

[MaximKat]

теперь рассмотрим произвольную функцию $f:X\to2^X$
является ли $P(x)=(x\notin f(x))$ функцией из Х в $\{TRUE,FALSE\}$ определенной для любого элемента множества Х?

[nikov]

nilozov писал(а):

MaximKat - я категорически не согласен с вашей формулировкой постулата выделение - неужели вы не понимаете, что именно из-за этой формулировки и возникло большинство парадоксов теории множеств? Смотрите, что по этому поводу пишет Френкель (книги нет под рукой - смотрите сами в том разделе, где вводятся постулаты теории множеств).

ЕЩЁ РАЗ ПОВТОРЯЮ: предикат P должен иметь, кроме всего прочего, определённый СМЫСЛ для КАЖДОГО элемента множества: это означает, для любого элемента он должен давать однозначный ответ - принадлежит или НЕ ПРИНАДЛЕЖИТ.

Ага, так Вы требуете, чтобы предикат был задан некоторым алгоритмом? Если так, то это уже совсем другая аксиоматика, не ZFC. Вполне возможно, что в ней теорема Кантора и не будет доказуемой.
Даже в ZFC мощность множества всех (конечных или бесконечных) последовательностей натуральных чисел, порождаемых некоторыми алгоритмами, счетно, т.к. счетно множество самих алгоритмов. Аналогично с действительными числами - есть счетное множество конструктивных действительных чисел. Даже есть такое направление в математике - конструктивный анализ.

[nilozov]

Функция сюрьективна или не-сюрьективна? Согласитесь, мы можем совершенно законно разбить доказательство на два: одно для тех функций, другое для этих. К примеру, если что-то доказывается для всех чисел, то тоже самое можно доказать отдельно для чётных, и отдельно для нечётных. Вы согласны?

[MaximKat]

как хотите, пускай будет сюръективна