Насколько часто критикуют теорию множеств Кантора?

[Aelteste]

Mihr в сообщении #1737250 писал(а):

В логике нет понятия "сложносоставного высказывания". Существует понятие "сложносочинённое предложение", но оно - не из логических терминов. И его отрицание, в зависимости от использованного для соединения частей предложения союза (и, или, либо), логика построит по-разному.

Да, спасибо за уточнение, имелось ввиду высказывание, состоящее из нескольких высказываний, связанных между собой or или and.

Mihr в сообщении #1737250 писал(а):

В обычной двузначной логике - не следует.

Не особо получится, хотя можно и в ней определить.

Mihr в сообщении #1737250 писал(а):

Какая была бы польза от такого понятия?

В двоичной логике наверное пользы бы было мало, а в троичной - нельзя было бы делать абсурдных выводов или они бы и классифицировались как абсурд. Например Шалтай существует.

[Someone]

Aelteste в сообщении #1737216 писал(а):

В доказательствах от противного предполагается, что противоречивый объект существует, затем показывается, что такой объект приводит к противоречиям. В теории множеств и логике предлагается такой противоречивый объект запрещать с помощью аксиом, правил (типа нельзя смешивать язык и метаязык). Т.е. его рассмотрение ограничивают и запрещают и тем самым снимают противоречия.

Ничего подобного. Если в теории некоторый объект существует, то его нельзя запретить.
Например, противоречия в теории Кантора обнаружились, когда Фреге ввёл так называемый неограниченный принцип свёртывания: каждому свойству соответствует множество всех объектов, обладающих этим свойством. Тогда свойству, определяемому формулой $x\notin x$, в теории множеств соответствует множество $A$ всех множеств, которые не являются своими элементами.
Как показал Рассел, это множество противоречиво: если мы предположим, что $A\in A$, то по определению множества $A$ получим $A\notin A$; если же предположим, что $A\notin A$, то по тому же определению получим $A\in A$.
Если добавим аксиому, что такое множество $A$ не существует, то противоречие никуда не денется: во-первых, если от неограниченного принципа свёртывания мы не отказались, то мы всё равно можем определить это множество, и сразу получится противоречие с новой аксиомой; а во-вторых, дополнительная аксиома — это дополнительное средство доказательства, и если мы что-то могли доказать без новой аксиомы, то с ней тем более докажем.
Фактически пришлось от принципа Фреге отказаться, хотя в ограниченном виде он используется как аксиома выделения: если есть формула $P(x)$ и множество $A$, то существует множество $B$ всех элементов множества $A$, для которых формула $P(x)$ выполняется.
Поэтому при формулировании формальной теории идут не по пути запретов, а по пути ограничения возможностей языка.
Смешения теории и метатеории это тоже касается: переменные и постоянные в теории могут быть именами объектов теории, но не именами формул. Мы не смешиваем теорию и метатеорию не потому, что это запрещено какой-то специальной аксиомой, а потому, что переменная по определению языка не может быть именем формулы. Например, в теории множеств в формуле $x\in y$ переменные $x$ и $y$ обозначают множества, а не формулы.

Aelteste в сообщении #1737252 писал(а):

В двоичной логике наверное пользы бы было мало, а в троичной - нельзя было бы делать абсурдных выводов или они бы и классифицировались как абсурд.

Вы имеете какое-то представление о многозначных логиках? Или это просто ваши фантазии?
Вообще говоря, математики напридумывали великое множество всевозможных логик. По моим впечатлениям, помимо общеупотребительной классической логики, сколько-нибудь серьёзное применение имеет разве что интуиционистская логика. Не пытайтесь по её названию угадать, чем она отличается от классической. А если захотите в ней разобраться, то для начала всерьёз изучите классическую логику по тем книгам, которые Вам уже рекомендовали.

[Aelteste]

Someone
Спасибо за ответ.

(Оффтоп)

Someone в сообщении #1737256 писал(а):

Если в теории некоторый объект существует, то его нельзя запретить.

Someone в сообщении #1737256 писал(а):

Поэтому при формулировании формальной теории идут не по пути запретов, а по пути ограничения возможностей языка.

Мы не запрещаем Бога, но мы отрежем вам язык, чтобы вы не болтали лишнего о Нем.)

[Aelteste]

И еще вопрос: почему когда Рассел обнаружил парадокс с множеством объектов, удовлетворяющих свойству $x\notin x$ не пошли по пути : $\nexists x: x \notin x$? Вроде сразу избавляемся от парадокса Рассела при таком подходе.