Насколько часто критикуют теорию множеств Кантора?

[B3LYP]

Читаю сейчас книгу “Математика. Утрата определённости” М. Клайна. Автор пишет, что теорию множеств Кантора изначально довольно многие критиковали и подозревали в ошибочности что ли. Возможно, в этой теории есть противоречия, которые пока стыдливо называются “парадоксами”.
У меня знаний этой теории совсем немного, и всё-таки можно попробую смутно/полуосознанно её покритиковать. Кантор пишет, что “двумерных векторов не больше чем одномерных чисел, а вот вещественных чисел больше чем целых и рациональных”. Для векторов можно рассуждать про “змейку”: чтобы перечислить все вектора из целых чисел, можно по “змейке”, то есть по часовой стрелке или наоборот, идти от вектора [0;0] до любого, то есть любому вектору можно поставить в соответствие одно целое число согласно этой “змейке” (точнее спирали). А вот мощность множества всех вещественных чисел больше, чем мощность всех целых чисел. Допустим, это можно сформулировать так, что для описания одного случайного целого числа требуется конечный объём информации, а для описания одного случайного вещественного числа – бесконечный, потому что случайное вещественное число можно записать как десятичную дробь с бесконечным числом знаков после запятой. Я заранее извиняюсь если моя формулировка далека от официальной; в любом случае, в ней можно найти полно нестыковок и туманностей. Словосочетание “случайное целое число” явно абсурдно, потому что какое бы целое число мы не взяли, сразу ясно что оно “явно не случайное”. Для вещественных чисел можно сформулировать “случайное вещественное число в интервале от 0 до 1”. Но с этим определением тоже не всё так просто, потому что если мы говорим что у этого числа бесконечный набор десятичных знаков после запятой, то есть что для описания этого числа требуется бесконечный объём информации, то возникает вопрос, а насколько хорошо мы понимаем, что такое бесконечность. В целом мои подозрения к теории Кантора пока скорее интуитивные.

[Mikhail_K]

B3LYP в сообщении #1737140 писал(а):

Автор пишет, что теорию множеств Кантора изначально довольно многие критиковали и подозревали в ошибочности что ли.

Это давно в прошлом.

B3LYP в сообщении #1737140 писал(а):

Возможно, в этой теории есть противоречия, которые пока стыдливо называются “парадоксами”.

Действительно, есть противоречия, поэтому "наивная" канторовская теория множеств была заменена аксиоматической теорией множеств. В ней уже никаких неразрешённых парадоксов нет. Хотя нет и доказательства, что они не могут появиться, однако это представляется крайне маловероятным.

B3LYP в сообщении #1737140 писал(а):

У меня знаний этой теории совсем немного, и всё-таки можно попробую смутно/полуосознанно её покритиковать

Нет, не можно: вначале изучите теорию.
Колмогоров, Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа, глава 1 "Элементы теории множеств"
Верещагин, Шень. Начала теории множеств
Френкель, Бар-Хиллел. Основания теории множеств
Куратовский, Мостовский. Теория множеств

B3LYP в сообщении #1737140 писал(а):

Кантор пишет, что “двумерных векторов не больше чем одномерных чисел, а вот вещественных чисел больше чем целых и рациональных”.

Строго это формулируется так: мощность множества $\mathbb{R}^2$ совпадает с мощностью множества $\mathbb{R}$, и эта мощность больше, чем у множеств $\mathbb{Z}$ и $\mathbb{Q}$. Формулировать ли это в виде "таких-то чисел больше, чем таких-то" - вопрос вкуса; скорее это интуитивное описание строгой формулировки, которое в чём-то удачно, а в чём-то менее удачно.

B3LYP в сообщении #1737140 писал(а):

Допустим, это можно сформулировать так, что для описания одного случайного целого числа требуется конечный объём информации, а для описания одного случайного вещественного числа – бесконечный, потому что случайное вещественное число можно записать как десятичную дробь с бесконечным числом знаков после запятой.

Не связан вопрос о мощности с вопросом об "объёме информации". Вероятность связана с теорией меры, а не с теорией мощности.

B3LYP в сообщении #1737140 писал(а):

в любом случае, в ней можно найти полно нестыковок и туманностей

Угу.

[Anton_Peplov]

B3LYP в сообщении #1737140 писал(а):

Читаю сейчас книгу “Математика. Утрата определённости” М. Клайна.

Книга небезынтересная, но автор сгущает краски. Действительно, в начале XX века по поводу оснований математики разгорелись жаркие споры. Клайн, ЕМНИП, "забывает" упомянуть, что сейчас они утихли. Исследования оснований продолжаются, в том числе и в русле альтернативных логик, альтернативных теорий множеств, разных версий конструктивизма и т.д. Но они интересны в основном тем, кто ими занимается. Большинство математиков за ними не следит и занимается своими вопросами.

B3LYP в сообщении #1737140 писал(а):

Автор пишет, что теорию множеств Кантора изначально довольно многие критиковали и подозревали в ошибочности что ли.

Теория Кантора, она же наивная теория множеств, страдала от важного недостатка. У Кантора не было четкого критерия, что является, а что не является множеством. Поэтому можно было сформулировать такое понятие как "множество всех множеств", а оно, как показал сам Кантор, противоречиво. И неясно было, как формулировать, чтобы избежать противоречий.

Этот недостаток преодолен в аксиоматических теориях множеств. Наиболее известная и употребительная из них - теория Цермело-Френкеля (ZF) и она же с аксиомой выбора (ZFC). Есть и другие. Общая черта этих теорий - аксиомы, указывающие, что существуют такие-то множества, и из них можно строить другие множества по таким-то правилам. Например, существует пустое множество, а если есть множество, то есть и его булеан, а если существуют множества $A$ и $B$, то существует и их объединение, и т.д. Аксиомы подобраны так, чтобы можно было построить любое множество, интересное на практике (например, $\mathbb R$), но при этом не появлялось множества всех множеств и прочих брадобреев, бреющих тех и только тех, кто не бреется сам. Строго говоря, неизвестно, есть ли противоречия в современных теориях множеств, но пока на них никто не наткнулся.

ZFC строго, с аксиом, строится в учебнике Куратовский, Мостовский. Теория множеств

B3LYP в сообщении #1737140 писал(а):

попробую смутно/полуосознанно её покритиковать

Даже читать не стал. Все эти вопросы давно решены. Если хотите разобраться с мощностями множеств, читайте учебники по теории множеств. Например, вышеупомянутый. Или соответствующий том Верещагина, Шеня. А если хотите совсем ликбез для детей, то первую главу Колмогорова, Фомина.

[warlock66613]

А я всё-таки добавлю к списку литературы Вавилова "Не совсем наивная теория множеств". Книга не дописана, но очень интересна. Между прочим, автор не согласен с высказывшимися выше и утверждает, что в наивной теории Кантора никаких парадоксов как раз не было, парадоксы появились в первых наивных попытках её аксиоматизации.

[Anton_Peplov]

warlock66613 в сообщении #1737147 писал(а):

Между прочим, автор не согласен с высказывшимися выше и утверждает, что в наивной теории Кантора никаких парадоксов как раз не было

Это зависит от того, что считать теорией Кантора. Кантор сам не аксиоматизировал теорию, т.е. не очертил ее границы. Повторюсь, главная слабость его теории была в отсутствии критерия, что считать, а что не считать множеством. Если считать множеством все, что захочется так назвать, то очень легко наплодить противоречий. Наплодил ли их сам Кантор, я, честно говоря, просто не в курсе.

[warlock66613]

Anton_Peplov, Вавилов с вами не согласен. Он утверждает, что критерий был: "множество определено, когда для каждой вещи определено, является ли она элементом множества или же нет". "Парадоксы" -- это не парадоксы, а доказательства несуществования определённых множеств. Слабость же теории была в том, что множеств получается слишком мало, так как во многих случаях критерий оказывается слишком ограничивающим.

-- добавлено через 2 минуты --

Но надо иметь в виду, что Вавилов вообще был склонен к смелым и экстремальным высказываниям. Но профаном он не был.

[Anton_Peplov]

warlock66613 в сообщении #1737151 писал(а):

Вавилов с вами не согласен

Если он изучал оригинальные труды Кантора, то ему, наверное, виднее. Я пытался в свое время, но быстро оставил это занятие. Слишком много работы нужно, чтобы дистиллировать из его статей то, что потом вошло в учебники по теории множеств. Так что пересказываю то, что у меня отложилось в памяти после чтения чужих выводов. Сейчас даже не вспомню, чьих. Может, это вышеупомянутые Френкель и Бар-Хиллел, может, Коэн, а может, просто введение (или вовсе сноска) в каком-то учебнике по анализу. Так что стоять на своем не буду.

warlock66613 в сообщении #1737151 писал(а):

Он утверждает, что критерий был: "множество определено, когда для каждой вещи определено, является ли она элементом множества или же нет"

Если это было именно так сформулировано, то этот критерий позволяет определить множество всех множеств $M$: если "вещь" (а что такое вещь?) является множеством, то она является элементом $M$.

[warlock66613]

Anton_Peplov, не хочу быть испорченным телефоном. Просто хотел и сказать, что есть (или была, увы) и вот такая точка зрения.

[Aelteste]

Логично предположить, что под вещами Вавилов подразумевал непересекающиеся множества, тогда вместо множества всех множеств он использовал понятие множество всех непересекающихся множеств, а булеан и пересечения уже вещами не являлись в этой логике.

[wrest]

B3LYP в сообщении #1737140 писал(а):

то возникает вопрос, а насколько хорошо мы понимаем, что такое бесконечность.

Не мы, а вы

[B3LYP]

По тому что тут пишут, у меня создалось ощущение, что теория множеств больше прилегает к логике, чем привычные мне теории математики.

Anton_Peplov в сообщении #1737144 писал(а):

Аксиомы подобраны так, чтобы можно было построить любое множество, интересное на практике (например, $\mathbb R$), но при этом не появлялось множества всех множеств и прочих брадобреев, бреющих тех и только тех, кто не бреется сам.

Раз уж речь о брадобреях: приведу пример, и просьба прокомментировать - это всё входит в какие-то разновидности теории множеств?



Доказательство того, что Шалтай-Болтай существует:
Выпишем два утверждения:

1) Шалтай-Болтай существует.
2) Оба эти утверждения ложны.

Предположим, что второе утверждение истинно. Тогда мы получаем противоречие: согласно этому утверждению, оно должно быть ложным (как и первое), а мы предположили, что оно истинно. Следовательно, второе утверждение ложно. Из этого следует, что оба утверждения не могут быть ложными одновременно, т.е. хотя бы одно из них истинно. Поскольку мы доказали, что второе утверждение ложно, этим истинным утверждением может быть только первое. Следовательно, Шалтай-Болтай существует.

[Aelteste]

Из лжи можно доказать все, что угодно. Вы выводите свое доказательство из 2-х априори ложных утверждений, которые оба ложны согласно 2-му утверждению.

[Gagarin1968]

B3LYP
Ваше рассуждение неверно, оно построено на классической логической ошибке, на парадоксе лжеца.
Ошибка кроется вот здесь:

B3LYP в сообщении #1737157 писал(а):

Поскольку мы доказали, что второе утверждение ложно, этим истинным утверждением может быть только первое.

Смотрите сами:
1. Утверждение (2) заявляет: И (1) ложно, и (2) ложно.
2. Вы правильно доказали методом от противного, что утверждение (2) не может быть истинным. Если оно истинно, то оно ложно — это классическое противоречие. Значит, (2) действительно ложно.
3. Что значит "(2) ложно" на самом деле? Отрицанием фразы "Оба утверждения ложны" является фраза "По крайней мере одно из этих утверждений истинно". Это вы тоже определили верно.
4. А вот теперь ошибка: Вы предположили, что раз (2) ложно, то истинным обязательно должно быть утверждение (1). Но это не так. Утверждение (2) может быть ложным и в том случае, если оно само ссылается на себя некорректно, независимо от истинности или ложности утверждения (1).
Если мы подставим в эту систему классическое условие, что Шалтай-Болтай не существует (то есть утверждение (1) ложно), то:
а) Утверждение (1) — ложно.
б) Утверждение (2) — ложно (так как для его истинности нужно, чтобы ложными были оба, но само оно истинным быть не может, иначе возникает парадокс).
В такой ситуации оба утверждения (1) и (2) оказываются ложными.
Но секундочку, если они оба ложны, то утверждение (2) должно быть истинным! И мы снова возвращаемся к неразрешимому парадоксу лжеца.

Вообще говоря, приведённая Вами группа фраз логически некорректна, в формальной логике есть термин "семантически зациклена".
Из ложных или парадоксальных предпосылок, ссылающихся друг на друга, с помощью формальной логики можно "доказать" абсолютно любой абсурд.
Реальное существование материальных объектов или персонажей невозможно доказать исключительно жонглированием словами без обращения к фактам реальности.

[Mikhail_K]

B3LYP в сообщении #1737157 писал(а):

1) Шалтай-Болтай существует.
2) Оба эти утверждения ложны.

Gagarin1968 в сообщении #1737161 писал(а):

Ваше рассуждение неверно, оно построено на классической логической ошибке

На смешении предметного языка и метаязыка.
Грубо говоря, нельзя одновременно говорить об объектах ("Шалтае-Болтае") и об утверждениях.
Обязательно надо разделять одно и другое, иначе будут ошибки.
См. Клини. Математическая логика

[Aelteste]

Gagarin1968 в сообщении #1737161 писал(а):

Реальное существование материальных объектов или персонажей невозможно доказать исключительно жонглированием словами без обращения к фактам реальности.

Не особо понятно при чем здесь реальное существование, в математике такого понятия нет. Что Вы этим имеете ввиду?