Насколько часто критикуют теорию множеств Кантора?

[Anton_Peplov]

Про Шалтая-Болтая уже ответили, мне добавить нечего. К рекомендации учебника Клини присоединяюсь.

B3LYP в сообщении #1737157 писал(а):

По тому что тут пишут, у меня создалось ощущение, что теория множеств больше прилегает к логике, чем привычные мне теории математики.

Одна из аксиом ZFC носит название аксиомы замены для предиката. Ее формулировку я приводить не буду: в отличие от других аксиом ZFC, она не очень интуитивна. Однако одна из первых теорем, доказываемых с помощью этой аксиомы, вполне понятна: если существует множество $A$, то для всякого предиката $P$ существует множество $B$ таких $x \in A$, что верно $P(x)$. Эта теорема позволяет выделять из множеств подмножества, удовлетворяющие определенным условиям. Например, для всякого множества действительных чисел $A$ есть подмножество, состоящее из элементов $A$, которые больше нуля (возможно, пустое).

Как видим, ZFC напрямую использует понятие предиката. Так что да, ее нужно использовать с логикой предикатов. Обычно используют классическую логику предикатов первого порядка. Но можно, наверное, взять какую-нибудь неклассическую логику предикатов и посмотреть, что в этом случае получится с ZFC, и наверняка кто-то так делал. Однако Вам такими экспериментами интересоваться рано.

[ozheredov]

B3LYP в сообщении #1737140 писал(а):

Словосочетание “случайное целое число” явно абсурдно, потому что какое бы целое число мы не взяли, сразу ясно что оно “явно не случайное”

Игральный кубик вышел из чата

[B3LYP]

ozheredov в сообщении #1737170 писал(а):

Игральный кубик вышел из чата

В игральном кубике только шесть элементов от 1 до 6, семёрка в это множество уже не попадает. Что такое "множество, в которое попадает вообще любое число, хоть семёрка хоть гугльплекс и так далее"?

[mihaild]

B3LYP в сообщении #1737188 писал(а):

Что такое "множество, в которое попадает вообще любое число, хоть семёрка хоть гугльплекс и так далее"?

$\mathbb N$
Если Вы верите в существование равномерного распределения на отрезке, то, поскольку из него легко делается распределение на $\mathbb N$, при котором вероятность любого числа ненулевая, и непонятно, непонятно, что Вас смущает в "случайном натуральном числе".

Вообще, "отсутствие равномерного распределения на натуральных числах" означает, что у нас есть некоторые "естественные" группа, действующая на натуральных числах (все биекции) и "естественная" же сигма-алгебра (все подмножества), но при этом нет вероятностной меры, инвариантной относительно этой группы. А для отрезка мы берем существенно другую группу (например циклических сдвигов), и замечаем, что там инвариантная мера есть. Не очень понятно, что в этом интересного.

[Someone]

B3LYP в сообщении #1737188 писал(а):

В игральном кубике только шесть элементов от 1 до 6, семёрка в это множество уже не попадает. Что такое "множество, в которое попадает вообще любое число, хоть семёрка хоть гугльплекс и так далее"?

Ну, процедуру выбора случайного натурального числа придумать можно. Например, бросаем так называемую "правильную" монету. Если герб выпал при первом подбрасывании, то берём число $1$. Если не выпал, то бросаем второй раз. Если герб выпал, то берём число $2$, а если не выпал, то бросаем третий раз. И так далее. Вероятность получить число $n$ равна $\frac 1{2^n}$.
Замечание. Научиться "правильно" бросать монету не так просто, как кажется.

Что касается противоречий, «которые стыдливо называют "парадоксами"», то в математической логике термины "противоречие" и "парадокс" употребляются как синонимы. Без какой-либо "стыдливости". В отличие от бытового употребления, где слово "парадокс" может обозначать нечто, противоречащее так называемому "здравому смыслу", который фактически есть бытовой опыт. Например, все знают, что спутник на низкой орбите тормозится из-за сопротивления атмосферы. В результате этого "торможения" скорость спутника увеличивается. С точки зрения нашего бытового опыта здесь получается парадокс: атмосфера тормозит спутник, а его скорость становится больше. (Это называется "парадокс спутника".) А противоречия с механикой здесь нет.

[Aelteste]

Mikhail_K в сообщении #1737162 писал(а):

B3LYP в сообщении #1737157 писал(а):

1) Шалтай-Болтай существует.
2) Оба эти утверждения ложны.

Gagarin1968 в сообщении #1737161 писал(а):

Ваше рассуждение неверно, оно построено на классической логической ошибке

На смешении предметного языка и метаязыка.
Грубо говоря, нельзя одновременно говорить об объектах ("Шалтае-Болтае") и об утверждениях.
Обязательно надо разделять одно и другое, иначе будут ошибки.
См. Клини. Математическая логика

Я прошу прощения, и допускаю с большой вероятностью, что неправ, но причину ошибки вижу в том, что ТС основывает свои выводы на предположении об истинности заведомо ложного утверждения. Если изначально оба утверждения ложны, то предположение об истинности одного из них ложно и далее никаких выводов нельзя делать. Если я неправ и это как-то обязательно соотносится со смешением метаязыка и языка, то поправьте меня пожалуйста.

[Anton_Peplov]

Aelteste в сообщении #1737203 писал(а):

причину ошибки вижу в том, что ТС основывает свои выводы на предположении об истинности заведомо ложного утверждения

Про доказательства от противного что-нибудь слышали?

-- добавлено через 13 минут --

Someone в сообщении #1737196 писал(а):

то в математической логике термины "противоречие" и "парадокс" употребляются как синонимы.

А в теории меры, тесно связанной с теорией множеств, уже не обязательно. Парадокс Банаха - Тарского - не противоречие. Между тем это один из результатов, вызвавших дискуссию об основаниях, поскольку доказательство парадокса Банаха - Тарского базируется на аксиоме выбора.

[Aelteste]

Anton_Peplov в сообщении #1737204 писал(а):

Aelteste в сообщении #1737203 писал(а):

причину ошибки вижу в том, что ТС основывает свои выводы на предположении об истинности заведомо ложного утверждения

Про доказательства от противного что-нибудь слышали?

Спасибо за ответ. Конечно слышал, но если мы пошли по этому пути, то по сути получили противоречие: "оба утверждения ложны" и утверждение о том, что Шалтай-Болтай существует- истинно". Значит наше предпположение о том, что второе утверждение истинно- неверно, ч.т.д. Смешение языка и метаязыка как бы ни при чем в этом случае. Хотя я допускаю, что ошибаюсь и оно причем и поэтому и прошу этот момент разъяснить.

[Gagarin1968]

Anton_Peplov в сообщении #1737204 писал(а):

Someone в сообщении #1737196 писал(а):

то в математической логике термины "противоречие" и "парадокс" употребляются как синонимы.

А в теории меры, тесно связанной с теорией множеств, уже не обязательно. Парадокс Банаха - Тарского - не противоречие.

Anton_Peplov
Совершенно верно.
И парадокс Хаусдорфа об удалении из сферы конечного множества точек — тоже не противоречие.
И парадокс Галилея, и парадокс "отель Гильберта" — также не противоречие. Равномощность своему подмножеству — свойство любых бесконечных множеств

[Aelteste]

Gagarin1968 в сообщении #1737207 писал(а):

Равномощность своему подмножеству — свойство любых бесконечных множеств

Как насчет подмножества целых в множестве вещественных?

[warlock66613]

Aelteste в сообщении #1737206 писал(а):

то по сути получили противоречие: "оба утверждения ложны" и утверждение о том, что Шалтай-Болтай существует- истинно"

Пожалуйста, продемонстрируйте как именно вы получаете противоречие. Никакого противоречия нет: первое предложение оказывается истинным, второе, соответственно, ложным.

[Aelteste]

warlock66613 в сообщении #1737211 писал(а):

Aelteste в сообщении #1737206 писал(а):

то по сути получили противоречие: "оба утверждения ложны" и утверждение о том, что Шалтай-Болтай существует- истинно"

Пожалуйста, продемонстрируйте как именно вы получаете противоречие. Никакого противоречия нет: первое предложение оказывается истинным, второе, соответственно, ложным.

Спасибо за ответ, в авторской версии доказательства продемонстрировано как это получается, у Вас получилось по-другому, но относительно Вашего результата: поскольку мы предположили, что второе утверждение истинно, то оба утверждения должны быть в этом случае ложными, а Вы получаете первое истиным, а второе ложным- снова противоречие. Значит наше предположение ложно, ч.т.д. Как по мне - это классический пример того, как из лжи можно вывести все, что угодно. Мой вопрос в том, как это соотносится со смешением языка и метаязыка, если соотносится.

[warlock66613]

Aelteste, пожалуйста напишите чётко как именно вы получается противоречие. Никакого противоречия нет.

Aelteste в сообщении #1737212 писал(а):

это классический пример того, как из лжи можно вывести все, что угодно

И что является ложью в данном случае? Ложью, из которой выводится существование Шалтая.

[Aelteste]

warlock66613 в сообщении #1737214 писал(а):

Aelteste, пожалуйста напишите чётко как именно вы получается противоречие. Никакого противоречия нет.

Я не знаю как Вы выводили: 1- истино, 2- ложно- это Ваш вывод. Этот вывод противоречит 2 и согласуется с его отрицанием.

-- добавлено через 3 минуты --

warlock66613 в сообщении #1737214 писал(а):

И что является ложью в данном случае? Ложью, из которой выводится существование Шалтая.

Предположение о том, что 2 истино, если уже в самом 2 сказано, что оно ложно. Этим предположением мы создаем противоречивый в рамках бинарной логики объект, и с его помощью делаем дальнейшие выводы. Ах вот, как раз понял кажись: само 2- это объект, а утверждение о его истинности- метаязык, но т.к. 2 содкржит утверждение о своей истинности, то это смешение языка и метаязыка. Правильно?

-- добавлено через 43 минуты --

В доказательствах от противного предполагается, что противоречивый объект существует, затем показывается, что такой объект приводит к противоречиям. В теории множеств и логике предлагается такой противоречивый объект запрещать с помощью аксиом, правил (типа нельзя смешивать язык и метаязык).

-- добавлено через 4 секунды --

В доказательствах от противного предполагается, что противоречивый объект существует, затем показывается, что такой объект приводит к противоречиям. В теории множеств и логике предлагается такой противоречивый объект запрещать с помощью аксиом, правил (типа нельзя смешивать язык и метаязык). Т.е. его рассмотрение ограничивают и запрещают и тем самым снимают противоречия.

[Mihr]

Aelteste в сообщении #1737208 писал(а):

Как насчет подмножества целых в множестве вещественных?

Очевидно ведь: имелось в виду, что свойством бесконечного множества является его равномощность некоторой своей правильной части (а не любой своей правильной части вообще).