Вопрос по константе интегрирования

[Dan B-Yallay]

EUgeneUS в сообщении #1736339 писал(а):

Я Вам уже писал ранее.
У меня был опыт преподавания. FGJ небольшой и давно.
Вел семинары по физике, на которых приходилось давать некоторые сведения по математике, до которых у математиков ещё программа не дошла.

Не припомню, чтобы я ранее интересовался вашими педагогическими достижениями. А теперь вижу, что матан, как систематический курс, вы не давали. Собственно, успехи ТС в понимании поднятого им вопроса (после всех ваших экзерсисов с константами) это наглядно демонстрирует. Он по-прежнему продолжает сокращать константы интегрирования и как следствие, они у него будут продолжать возникать "из ниоткуда."

EUgeneUS в сообщении #1736339 писал(а):

Отличный педагогический приём - взять известную формулу из учебника, переписать её в непривычном виде, и заявить "правильно - вот так".

Не знаю откуда у вас такие фантазии по поводу заявить "правильно - вот так". И очевидно, что если я попрошу указать в каком моём сообщении было подобное категоричное утверждение, вы замнёте этот вопрос.

С моей стороны ТСу был лишь предложен — в методических целях — альтернативный способ понимания, как работать с константами интегрирования и ничего более.

[RIP]

dp в сообщении #1735906 писал(а):

Но можно же написать
$\int dx + \int dx = 2\int dx$ ?

На всякий случай добавлю. Можно, но нужно осознавать, что за этим равенством скрывается на самом деле некоторое утверждение.

$\int\mathrm{d}x + \int\mathrm{d}x$ — это множество всех функций вида $F_1(x)+F_2(x)$, где $F_{1,2}(x)$ — первообразные функции $f(x)=1$, то есть множество всех функций вида $(x+C_1)+(x+C_2)=2x+C_1+C_2$, где $C_{1,2}$ — константы.

$2\int\mathrm{d}x$ — это множество всех функций вида $2F_3(x)=2(x+С_3)=2x+2C_3$.

В обоих случаях получается одно и то же: множество всех функций вида $2x+C$, $C=\textnormal{const}$. То есть это равенство есть следствие того, как устроено множество всех первообразных, а не просто «потому что».

Поэтому $\int\mathrm{d}x - \int\mathrm{d}x$ равно не $0$, как может показаться, а $C$.

-- добавлено через 3 минуты --

EUgeneUS в сообщении #1736339 писал(а):

Если подробно расписывать, то даже три постоянные: одна слева и две справа.

Почему три? Если что, то я говорил про стандартную формулу $\int u\mathrm{d}v=uv-\int v\mathrm{d}u$.

[EUgeneUS]

RIP в сообщении #1736372 писал(а):

Почему три? Если что, то я говорил про стандартную формулу $\int u\mathrm{d}v=uv-\int v\mathrm{d}u$.

Потому что в этой формуле три неопределенных интеграла.

Распишу по шагам в нотации, где константы интегрирования нумеруются.
Вообще говоря, всё начинается с формулы:

$$u dv = d(uv) - v du$$

"Навешиваем" неопределенные интегралы (тут ещё пользуемся свойством линейности неопределенного интеграла).

$$\int\limits_{}^{} u dv = \int\limits_{}^{} d(uv) - \int\limits_{}^{} v du$$

Заменяем символы неопределенных интегралов на обозначения множеств первообразных по формуле из определения: $\int\limits_{}^{} f(x) dx = F(x) +C$

$$U_v(x) + C_1 = uv + C_2 - (V_u(x) + C_3)$$

Вот тут возникает три константы интегрирования.

Далее: $C_4 := C_3 - C_2$

$$U_v(x) + C_1 = uv - (V_u(x) + C_4)$$

И опять "собираем" неопределенные интегралы из первообразных и констант интегрирования:

$$\int\limits_{}^{} u dv = uv - \int\limits_{}^{} v du$$

[RIP]

EUgeneUS в сообщении #1736375 писал(а):

Потому что в этой формуле три неопределенных интеграла.

Не соглашусь. Формулы $\int u\mathrm{d}v=uv-\int v\mathrm{d}u$ и $\int u\mathrm{d}v=\int\mathrm{d}(uv)-\int v\mathrm{d}u$ — это разные равенства, хотя и эквивалентные. В первой формуле $uv$ — это именно конкретная функция $u(x)v(x)$, а не неопределённый интеграл.

[EUgeneUS]

RIP в сообщении #1736382 писал(а):

Формулы $\int u\mathrm{d}v=uv-\int v\mathrm{d}u$ и $\int u\mathrm{d}v=\int\mathrm{d}(uv)-\int v\mathrm{d}u$ — это разные равенства, хотя и эквивалентные. В первой формуле $uv$ — это именно конкретная функция $u(x)v(x)$, а не неопределённый интеграл.

Согласен.
Но мне неизвестен способ получить в первой формуле $u(x)v(x)$, не прибегая к неопределенному интегралу $\int\mathrm{d}(uv)$

[RIP]

Вообще, более аккуратная формулировка звучит примерно так: если функции $u(x)$ и $v(x)$ дифференцируемы на промежутке $I$, причём функция $u'(x)v(x)$ имеет первообразную на $I$, то функция $u(x)v'(x)$ тоже имеет первообразную на $I$, причём (на этом же промежутке $I$) справедливо равенство

$$\int u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x.$$

Последнее равенство обычно записывают в виде $\int u\,\mathrm{d}v=uv-\int v\,\mathrm{d}u$, более удобном для запоминания.
(Более общо, равенство можно понимать так: существование любого из неопределённых интегралов влечёт существование другого и справедливость равенства. Но дифференцируемость функций всё равно нужно предполагать отдельно.)

Проверяется в лоб. Пусть $F'=u'v$. Тогда $(uv-F)'=u'v+uv'-F'=uv'$. Таким образом, первообразная существует. Переходя к интегралам и жонглируя постоянными, получаем

$$\int u\,\mathrm{d}v=(uv-F)+C=\dotsb=uv-\int v\,\mathrm{d}u.$$

На самом деле можно (и даже лучше) обойтись совсем без упоминания произвольной постоянной.
На языке первообразных равенство интегралов расшифровывается так: если $F$ — первообразная $u'v$, то $uv-F$ — первообразная $uv'$, и наоборот.
То есть сводится к (тривиальной) эквивалентности

$$F'=u'v \iff (uv-F)'=uv'.$$

Формула с интегралами удобна для вычислений, чтобы на автомате писать равенства типа

$$\int\mathrm{e}^{x}\cos(x)\,\mathrm{d}x=\mathrm{e}^{x}\sin(x)-\int\sin(x)\mathrm{e}^{x}\mathrm{d}x,$$

не думая ни о каких первообразных.

[EUgeneUS]

RIP в сообщении #1736385 писал(а):

Вообще, более аккуратная формулировка звучит примерно так:

Вообще говоря, бОльшая аккуратность Вашей формулировки заключается в необходимых приговорках про дифференцируемость на интервале и существовании первообразной. А дальше можно как угодно: проверять анзац в лоб, как делаете Вы и Фихтенгольц, или пользоваться $\int\limits_{}^{} d(uv) = uv +C$, как у меня и Кудрявцева.

[RIP]

EUgeneUS в сообщении #1736398 писал(а):

А дальше можно как угодно

Разумеется. Просто некоторые неокрепшие молодые умы не понимают махинации с дифференциалами и произвольными постоянными (даже если думают, что понимают), поэтому полезно иметь альтернативный подход.

[dp]

Dan B-Yallay в сообщении #1736273 писал(а):

Считайте, что при каждом событии/шаге избавления от очередного знака неопределенного интеграла (включая интегрирование по частям) – у Вас появляется новая константа $C_i$ где $i$ – это номер указанного "события/шага".

Dan B-Yallay в сообщении #1736273 писал(а):

$$ \begin{align} \int e^x\cos(x)dx & = \textcolor{blue} {e^x\sin(x) + C_1} - \int e^x(\sin(x)) dx \\ & = e^x\sin(x) + C_1 + \textcolor{blue}{e^x\cos(x) + C_2} - \int e^x \cos(x) dx \\ \end{align}$$

Не понимаю что именно является "событием избавления от знака интеграла". В вышеприведенном примере как справа, так и слева стоят знаки интеграла. То есть появление чего-то без знака интеграла это и есть нужное событие? И как следствие лучше сразу применять эту формулу для интегрирования по частям? :

EUgeneUS в сообщении #1736317 писал(а):

$$\int\limits_{}^{} u dv = uv + C - \int\limits_{}^{}v du$$

RIP в сообщении #1736338 писал(а):

Формула означает, что эти множества совпадают, то есть для любой постоянной $C$ найдётся постоянная $D$ (и наоборот), что

$$F_0(x)+C=u(x)v(x)-G_0(x)-D.$$

Это равносильно тому, что

$$F_0(x)=u(x)v(x)-G_0(x)+E,\quad E=\textnormal{ \operatorname{const}}.$$

(То есть две постоянные можно «объединить» в одну $E=-D-C$.)

Никак не понимаю в каких случаях можно переносить через знак равно, в каких нет. Можно если множества совпадают? Как это определять?

И вот тут:

RIP в сообщении #1736367 писал(а):

$$\int\mathrm{e}^x\cos(x)\,\mathrm{d}x=\mathrm{e}^x\sin(x)+\mathrm{e}^x\cos(x)−\int\mathrm{e}^x\cos(x)\,\mathrm{d}x.$$

не понимаю каким преобразованием получилось произведение экспненты и производной косинуса на интеграл от произведения экспоненты и косинуса.
Прочитал дальнейшие выкладки, там тоже не увидел подобных преобразований.

на всякий случай повторю информацию из первого поста:
Сразу про мой уровень - скажем первый курс вуза. Математику вспоминаю очень эпизодически.

[rascas]

Попробую и я вам что-нибудь объяснить.

1. Перепишем формулу

dp в сообщении #1735897 писал(а):

$ \mathcal{I} = e^x\sin(x) - \mathcal{J} = e^x\sin(x) - ( -e^x\cos(x) + \mathcal{I} ) = e^x\sin(x) + e^x\cos(x) - \mathcal{I} $

в виде:
$\int = h - \int$
Где $h$ - это функция

Первое что надо понять, что это равенство между двумя множествами.

Если есть интеграл значит за ним скрывается множество функций вида:
$F +\operatorname{const}$
Где $F$ - первообразная.
$\operatorname{const}$ - произвольная константа выбранная из множества действительных чисел. Из-за этой константы у нас и множество.

$\int = F + \operatorname{const}$

2. Перепишем интегралы как множество первообразных

$F +\operatorname{const}_1 = h - F + \operatorname{const}_2$


3. Перенесём первообразные в левую часть равенства. А $\operatorname{const}_2$ не переносим!

$2F +\operatorname{const}_1 = h + \operatorname{const}_2$

4. Теперь мы можем (нам разрешено) слева собрать интеграл.

$2{\cdot}\int = h + \operatorname{const}_2$

Без константы слева и справа мы собрать интеграл не можем!

Вот и ответ на ваш вопрос.

dp в сообщении #1735897 писал(а):

Почему именно в этот момент откуда-то появляется константа интегрирования C ?

[dp]

rascas в сообщении #1736484 писал(а):

Попробую и я вам что-нибудь объяснить.

Да, Ваше объяснение мне абсолютно понятно. Надеюсь что сейчас не придут другие и не скажут что тут на самом деле все не так...
Но тут же уже обсуждают про перенос констант через равно, события избавления от знака интеграла итд, что я перечислил выше.
И вот тут уже для меня не так все очевидно.