Вопрос по константе интегрирования

[dp]

Всем здравия.

Сразу про мой уровень - скажем первый курс вуза. Математику вспоминаю очень эпизодически.

Вот в курсе наткнулся на такое решение:

Надо решить интеграл
$ \int e^x\cos(x)dx $

Запомним его в
$ \mathcal{I} = \int e^x\cos(x)dx $

Проинтегрируем по частям:
$u=e^x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ du=e^x dx $
dv=\cos(x)dx \ \ \ \ \ \ \ \ v=\sin(x) $

$ \mathcal{I} = \int e^x\cos(x)dx = e^x\sin(x) - \int\sin(x) e^x dx $

Теперь запомним
$ \mathcal{J} = \int e^x\sin(x)dx $

то есть
$ \mathcal{I} = e^x\sin(x) - \mathcal{J} $

опять интегрируем по частям
$u=e^x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ du=e^x dx $
dv=\sin(x)dx \ \ \ \ \ \ \ \ v=-\cos(x) $

$ \mathcal{J} = \int e^x\sin(x)dx = e^x(-\cos(x)) - \int(-\cos(x)) e^x dx = -e^x\cos(x) + \int\cos(x) e^x dx = -e^x\cos(x) + \mathcal{I} $



то есть
$ \mathcal{I} = e^x\sin(x) - \mathcal{J} = e^x\sin(x) - ( -e^x\cos(x) + \mathcal{I} ) = e^x\sin(x) + e^x\cos(x) - \mathcal{I} $

И вот тут вопрос. Почему именно в этот момент откуда-то появляется константа интегрирования C ?

$ 2 \mathcal{I} = e^x\sin(x) + e^x\cos(x) + C $

$ \mathcal{I} = \frac{1}{2} (e^x\sin(x) + e^x\cos(x) )+ C $

Так корректно писать?
Можете кстати подсказать какаие-то источники по хитрым задачам/литературе на эти констранты, когда их несколько получается, когда какие-то нестандартные случаи рассматриваются.
Заранее спасибо.

[Someone]

Сформулируйте, пожалуйста, определение того, что называется неопределённым интегралом. Важно, чтобы Вы это определение помнили.

P.S. Исторически сложившаяся система записи неопределённого интеграла может сбивать с толку.

[ozheredov]

dp
$d(uv+\operatorname{const} )=? $

[Mihr]

dp в сообщении #1735897 писал(а):

то есть
$ \mathcal{I} = e^x\sin(x)dx - \mathcal{J} = e^x\sin(x)dx - ( -e^x\cos(x) + \mathcal{I} ) = e^x\sin(x)dx + e^x\cos(x) - \mathcal{I} $

И вот тут вопрос. Почему именно в этот момент откуда-то появляется константа интегрирования C ?

Вы дважды использовали символ $\mathcal{I}$ - он у Вас и в левой и в правой части равенства, но, строго говоря, то $\mathcal{I}$, что в левой части равенства, и то, что в правой, не совсем одно и то же. Их можно было бы обозначить как $\mathcal{I}_1$ и $\mathcal{I}_2$, например. Каждое из них содержит в себе произвольную константу, но ниоткуда не следует, что константа, входящая в $\mathcal{I}_1$, и константа, входящая в $\mathcal{I}_2$, - одна и та же. Считайте, что это разные константы. И что $\mathcal{I}_1$ и $\mathcal{I}_2$ только этими константами и различаются, больше ничем.

Ещё такое замечание: в результате интегрирования множитель $dx$ должен исчезнуть.

[warlock66613]

Я рискну объяснить то же самое чуть более формально, но возможно менее понятно; исключительно на тот случай, если предыдущие объяснения покажутся неполными.

Неопределённый интеграл -- это не функция, это класс функций. Уравнение для $\mathcal I$ -- это уравнение именно для класса. Мы не можем вот так запросто к такому уравнению применять обычные правила преобразования типа переноса в другую часть с изменением знака, потому что эти свойства могут и не выполняться. Поэтому мы должны расписать уравнение в терминах представителей этого класса, чтобы работать с ним обычными методами. И тут важно следующее: значит ли уравнение $\mathcal I = \ldots - \mathcal I$, что каждый представитель класса должен удовлетворять такому уравнению? Вовсе нет, это значит только, что для каждого представителя $\mathcal I_1$ должен найтись какой-то вообще говоря другой представитель $\mathcal I_2$ такой, что $\mathcal I_1 = \ldots - \mathcal I_2$. А дальше мы знаем, что представители могут отличаться только константой, а значит $\mathcal I_2 = \mathcal I_1 + C$.

В итоге мы получаем уравнение с константой $C$, но зато записанное не для классов функций, а для представителей этого класса, то есть для собственно функций, а раз для функций -- значит дальше можно решать его обычными методами.

[dp]

Someone в сообщении #1735900 писал(а):

Сформулируйте, пожалуйста, определение того, что называется неопределённым интегралом.

В википедии - Неопределённый интегра́л для функции $ f ( x ) $ — это совокупность всех первообразных данной функции

В Выгодском - неопределенным интегралом данного выражения $ f ( x )dx $ (или данной функции $ f ( x ) $ ) называется наиболее общий вид его первообразной функции

Из википедии мне больше нравится.

-- добавлено через 7 минут --

Mihr в сообщении #1735904 писал(а):

Вы дважды использовали символ $\mathcal{I}$

Это не я, это в курсе иностранном (как по мне очень даже крутом) так написано.
То есть Вы хотите сказать что в

$ A = \int dx + \int dx$ два интеграла могут давать разные функции отличные на константу ?

Но можно же написать

$ A = \int dx + \int dx = 2\int dx$ ?

По лишним dx спасибо, поправил

[EUgeneUS]

Можно ещё так трактовать:
1. В промежуточных выкладках под $\mathcal I, \mathcal J$ будем понимать какие-то первообразные соответствующих подынтегральных функций.
2. А в самый последний момент перед записью ответа "вспомним", что $\mathcal I, \mathcal J$ - это всё таки неопределенные интегралы, а не первообразные, и добавим константу интегрирования.


Хотя, конечно, первообразную (одну какую-нибудь из всего класса) и неопределенный интеграл лучше разными символами обозначать. Хотя бы в начале, пока вопросы на понимание возникают.

[Mihr]

dp в сообщении #1735906 писал(а):

Но можно же написать

$ A = \int dx + \int dx = 2\int dx$ ?

Какие проблемы? Можно, конечно.
Ну, считайте, что константа, входящая в третий интеграл, это полусумма констант, входящих в первый и второй интегралы. Так чувство протеста снимается?

[dp]

ozheredov в сообщении #1735901 писал(а):

$d(uv+\operatorname{const} )=? $

$ d(uv+C) = d(uv) + dC = d(uv) $

Но не понимаю как это относится к теме.

-- добавлено через 2 минуты --

EUgeneUS в сообщении #1735907 писал(а):

Хотя бы в начале, пока вопросы на понимание возникают.

Я вот спросил - есть ли где-то книжка/статья с задачками на хитрые случаи с этими константами? Что бы сложилось понимание.
А то с этими константами всегда были проблемы помню если что посложнее начинается.

[EUgeneUS]

То есть можно сделать так (с корректными обозначениями):

1. Записать взятие интегралов по частям в виде:

$\int e^x\cos(x)dx = e^x\sin(x) - \int\sin(x) e^x dx $
$\int e^x\sin(x)dx = -e^x\cos(x) + \int\cos(x) e^x dx$

2. Теперь скажем:
$\mathcal I$ - какая-нибудь первообразная для $e^x\cos(x)$
$\mathcal J$ - какая-нибудь первообразная для $e^x\sin(x)$

3. Перепишем уравнения из пункта 1 для первообразных:
$\mathcal I = e^x\sin(x) - \mathcal J$
$\mathcal J = -e^x\cos(x) +\mathcal I$

4. Откуда найдем первообразную $\mathcal I$:
$\mathcal{I} = \frac{1}{2} (e^x\sin(x) + e^x\cos(x) )$

5. Запишем неопределенный интеграл:
$\int e^x\cos(x)dx = \mathcal{I} + C = \frac{1}{2} (e^x\sin(x) + e^x\cos(x) ) + C$

[dp]

Mihr в сообщении #1735908 писал(а):

Так чувство протеста снимается?

Да, но чтобы привыкнуть, надо порешать какое-то колво примеров на константы. Где взять хороший источник?

[EUgeneUS]

dp в сообщении #1735909 писал(а):

Я вот спросил - есть ли где-то книжка/статья с задачками на хитрые случаи с этими константами? Что бы сложилось понимание.

По моему опыту понимание должно сложиться через понимание разницы между первообразной и неопределенным интегралом.
А все "хитрые" случаи сводятся в той или иной степени к аккуратности в работе с этими константами.

[Someone]

dp в сообщении #1735906 писал(а):

Неопределённый интегра́л для функции $ f ( x ) $ — это совокупность всех первообразных данной функции

Да. То есть, это не какая-то конкретная функция, а целый класс функций.
И если функция $f(x)$ непрерывна на некотором интервале $(a,b)$ (или на отрезке, или на полуинтервале), то $f(x)$ имеет первообразную на этом множестве; а если $F(x)$ — какая-нибудь первообразная функции $f(x)$ на этом интервале (или на отрезке, или на полуинтервале), то любую первообразную функции $f(x)$ на этом множестве можно записать в виде $F(x)+C$, где $C$ — некоторое (постоянное) число. Отсюда и появилась запись вида $\int f(x)dx=F(x)+C$. Хотя, строго говоря, следовало бы писать $\int f(x)dx=\{F(x)+C:C\in\mathbb R\}$.

Остальное Вам, вроде бы, объяснили.

[dp]

Всем спасибо, более менее понятно, но это надо закреплять практикой.
Так что если будут ссылки на какие-то ресурсы по данной теме, буду признателен.

[Gagarin1968]

dp в сообщении #1735897 писал(а):

Можете кстати подсказать какаие-то источники по хитрым задачам/литературе на эти констранты, когда их несколько получается, когда какие-то нестандартные случаи рассматриваются.

Классическая книга — "Контрпримеры в анализе" Гелбаума и Олмстеда. Там собраны случаи, когда привычные правила математики ломаются из-за невыполнения условий теорем.
Отлично развивает математическую зоркость.
Ну и статьи на Habr или в Кванте. Погуглите запрос "математические софизмы в интегрировании" — там я помню, популярно объясняется, как, интегрируя по частям функцию $\int \dfrac{1}{x} dx$, можно получить равенство $\mathcal{I} = 1 + \mathcal{I}$ и вывод, что $0 = 1$.
А причина как раз в потере константы $C$.